考研数学-D5考研基础班课件

第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积分的计算方法四、典型例题与解答第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积1一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定积分的定义:一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数2积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：dx(1)区别：是一个确定的常数.定与不定的区别？积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：dx(3(5)(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，使用什么字母表示无关.即dudtdx.而与积分变量的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程否则称在区间上不可积.(5)(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上4曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值2.定积分的几何意义abxyoabxyodxdx1)当时，A2)当时，曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值2.定积分的几何意义abxy53)当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：dx故3)当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.6定理13.存在定理函数在区间上连续即dx存在.在区间上可积.定理2且只有有设函数在区间上有界，限个间断点则在区间上可积.定理的证明省略,只要求知道结论.定理3设函数在区间上只有有限个第一类间断点则在区间上可积.故改变积分区间内有限个点处的函数值，不影响积分值.定理13.存在定理函数在区间上连续即dx存在.在区间上可积.74.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(4)（性质中涉及到的定积分均存在）解:例.比较积分值的大小.(估值定理)(5)则(6)定积分中值公式则至少存在一点使4.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(8说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因dx说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值95.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号存在的条件及概念.2)在存在的情况下，它们的区别与联系.的区别：一个确定的常数无数个函数一个函数一个确定的常数认识它吗？5.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号10的联系：的联系：11☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题如:☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题如:12例1.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:例1.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:13解:

将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求解:将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准14例3.如图连续函数在区间，上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间，上的图形分别是直径为周，设，则下列结论正确的是（）的上、下半圆B.

C.

D.A.例3.如图连续函数在区间，上的图像分别是直径为1的上、下半圆15考研数学-D5考研基础班课件16设连续，则解:A例4.练习：求设连续，则解:A例4.练习：求17例5.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得例5.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得18例6.设求解:无法直接求出f(x),因为没有初等函数的原函数，所以采用分部积分法.例6.设19设连续，且解：例7则思考题:解：求定积分为常数,故应用积分法定此常数.设,则设连续，且解：例7则思考题:解：求定积分20三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常规计算方法有三种）（1）微积分基本公式（2）定积分的换元公式（3）定积分的分部积分公式注意各个公式成立的条件(牛顿—莱布尼茨公式)

则定理1(微积分基本公式)注意：该公式条件是在积分区间上连续，可推广为积分区间上有有限个第一类间断点时公式也成立.设函数在区间上具有连续导数，则有定理2(分部积分公式)定理3(定积分的换元法)

设函数单值函数满足:1)2)在上则三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常规计算方法21说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意不换元时不换限，换元的同时应换限,3)与定积分的换元公式相比，这里没有要求当然最好选单调区间.上限与上限对应，下限与下限对应.单调，4)如果在上的值域超出时，只要在这个值域上连续即可.5)该公式的作用是可以简化计算.说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意22如：计算解令则∴原式=且由定积分的几何意义P243例1x0at0如：计算解令则∴原式=且由定积分的几何意义P2423当时计算解令则且当时∴原式=说明：若由x的范围求t的范围时如下做法对吗？在上x0at当时计算解令则且当242.定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等）(1)(3)n为偶数n为奇数2.定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等253.几个重要的代换技巧及常用结论

1)奇偶函数的定积分即oxy-aaa-axy0结论1：当在上连续，且有(2)为奇函数，则为偶函数，则(1)3.几个重要的代换技巧及常用结论1)奇偶函数的定积分即ox26证:奇偶偶倍奇零证:奇偶偶倍奇零27奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积28证:例2.证明证毕则经验：特点：使限变号特点：不改变积分限证:例2.证明证毕则经验：特点：使限变号特点：不改变积分限29结论2：若在上连续，证明（1）（2）证:（1）设x0t0特别的：2)两个常用公式(n为正整数)结论2：若在上连续，证明（1）（2）证:（1）设x0t030(2)设证:(2)设证:31例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数练习：

求提示：

分部积分后用公式例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数练习：求提示323)积分上限函数的奇偶性为偶函数（1）为奇函数（2）证明（1）同理可证明（2）设是连续函数，.证明：结论3：P250第10题3)积分上限函数的奇偶性为偶函数（1）为奇函数（2）证明（133当为周期函数，也是周期函数设是连续函数，是的原函数，则（）设是连续函数，下列函数必为偶函数的是（）02研1999研当为奇，必偶当为偶，必奇当为单调增函数，也是单调增函数当为周期函数，也是周期函数设344)周期函数的定积分设是以T为周期的连续函数，则证明由于证毕结论4：4)周期函数的定积分设是以T为周期的连续函35四、典型例题与解答证:

例1.右端设为连续函数，试证分部积分=左端四、典型例题与解答证:例1.右端设为36例2.设证

:设且试证:则故F(x)在[a,b]上单调递增,证毕例2.设证:设且试证:则故F(x)在[a,b]37例3.证明

证：是以为周期的函数.证毕04研提示：例3.证明证：是以为周期的函数.证毕04研提示：38练习：设在上连续，为偶函数，且满足条件(1)证明：(2)利用(1)的结论计算:提示：证:练习：设在上连续，为偶函数，且满足条件(1)39练习：设在上连续，为偶函数，且满足条件(1)证明：(2)利用(1)的结论计算:练习：设在上连续，为偶函数，且满足条件(1)40例4.解:考研题计算例4.解:考研题计算41另解

求解:

令则原式另解求解:令则原式42例5.求解:如图例5.求解:如图43例6.计算周期的周期函数解:例6.计算周期的周期函数解:44思考:

1.下列作法是否正确?2.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,定理3(定积分的换元法)

设函数单值函数满足:1)2)在上则思考:1.下列作法是否正确?2.有时通过换元,反常积45练习:如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2005考研)＝043211234xO(分部积分法)练习:如图,曲线C的方程为解:是它的一个拐点,线46第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积分的计算方法四、典型例题与解答第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积47一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定积分的定义:一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数48积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：dx(1)区别：是一个确定的常数.定与不定的区别？积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：dx(49(5)(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，使用什么字母表示无关.即dudtdx.而与积分变量的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程否则称在区间上不可积.(5)(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上50曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值2.定积分的几何意义abxyoabxyodxdx1)当时，A2)当时，曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值2.定积分的几何意义abxy513)当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：dx故3)当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.52定理13.存在定理函数在区间上连续即dx存在.在区间上可积.定理2且只有有设函数在区间上有界，限个间断点则在区间上可积.定理的证明省略,只要求知道结论.定理3设函数在区间上只有有限个第一类间断点则在区间上可积.故改变积分区间内有限个点处的函数值，不影响积分值.定理13.存在定理函数在区间上连续即dx存在.在区间上可积.534.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(4)（性质中涉及到的定积分均存在）解:例.比较积分值的大小.(估值定理)(5)则(6)定积分中值公式则至少存在一点使4.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(54说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因dx说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值555.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号存在的条件及概念.2)在存在的情况下，它们的区别与联系.的区别：一个确定的常数无数个函数一个函数一个确定的常数认识它吗？5.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号56的联系：的联系：57☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题如:☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题如:58例1.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:例1.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:59解:

将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求解:将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准60例3.如图连续函数在区间，上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间，上的图形分别是直径为周，设，则下列结论正确的是（）的上、下半圆B.

C.

D.A.例3.如图连续函数在区间，上的图像分别是直径为1的上、下半圆61考研数学-D5考研基础班课件62设连续，则解:A例4.练习：求设连续，则解:A例4.练习：求63例5.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得例5.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得64例6.设求解:无法直接求出f(x),因为没有初等函数的原函数，所以采用分部积分法.例6.设65设连续，且解：例7则思考题:解：求定积分为常数,故应用积分法定此常数.设,则设连续，且解：例7则思考题:解：求定积分66三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常规计算方法有三种）（1）微积分基本公式（2）定积分的换元公式（3）定积分的分部积分公式注意各个公式成立的条件(牛顿—莱布尼茨公式)

则定理1(微积分基本公式)注意：该公式条件是在积分区间上连续，可推广为积分区间上有有限个第一类间断点时公式也成立.设函数在区间上具有连续导数，则有定理2(分部积分公式)定理3(定积分的换元法)

设函数单值函数满足:1)2)在上则三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常规计算方法67说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意不换元时不换限，换元的同时应换限,3)与定积分的换元公式相比，这里没有要求当然最好选单调区间.上限与上限对应，下限与下限对应.单调，4)如果在上的值域超出时，只要在这个值域上连续即可.5)该公式的作用是可以简化计算.说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意68如：计算解令则∴原式=且由定积分的几何意义P243例1x0at0如：计算解令则∴原式=且由定积分的几何意义P2469当时计算解令则且当时∴原式=说明：若由x的范围求t的范围时如下做法对吗？在上x0at当时计算解令则且当702.定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等）(1)(3)n为偶数n为奇数2.定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等713.几个重要的代换技巧及常用结论

1)奇偶函数的定积分即oxy-aaa-axy0结论1：当在上连续，且有(2)为奇函数，则为偶函数，则(1)3.几个重要的代换技巧及常用结论1)奇偶函数的定积分即ox72证:奇偶偶倍奇零证:奇偶偶倍奇零73奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积74证:例2.证明证毕则经验：特点：使限变号特点：不改变积分限证:例2.证明证毕则经验：特点：使限变号特点：不改变积分限75结论2：若在上连续，证明（1）（2）证:（1）设x0t0特别的：2)两个常用公式(n为正整数)结论2：若在上连续，证明（1）（2）证:（1）设x0t076(2)设证:(2)设证:77例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数练习：

求提示：

分部积分后用公式例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数练习：求提示783)积分上限函数的奇偶性为偶函数（1）为奇函数（2）证明（1）同理可证明（2）设是连续函数，.证明：结论3：P250第10题3)积分上限函数的奇偶性为偶函数（1）为奇函数（2）证明（179当为周期函数，也是周期函数设是连续函数，是的原函数，则（）设是连续函数，下列函数必为偶函数的是（）02研1999研当为奇，必偶当为偶，必奇当为单调增函数，也是单调增函数当为周期函数，也是周期函数设804)周期函数的定积分设是以T为周期的连续函数，则证明由于证毕结论4：4