线性代数矩阵的特征值与特征向量课件

介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-1-1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临灭绝的危险。

数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究,并建立了种群模型形如的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等领域。介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-1-1990年11.相似关系定义:-2-性质:(反身性)(对称性)(传递性)∽∽∽∽记作(1)(2)(3)∽∽∽一、特征值与特征向量的定义1.相似关系定义:-2-性质:(反身性)(对称性)(传2引入.假设∽即存在可逆矩阵，使得：引入.假设∽即存在可逆矩阵，使得：3定义.-4-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙！注意.特征向量特征值问题仅对方阵而言。若存在设则称为的特征值,为的属于特征值的特征向量。定义.-4-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因-5-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。把方程例如,中的看成输入变量,看成输出变量,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.特征值为对应的特征向量为由知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。-5-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示5-6-所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判断给出的数是否是特征值。例1.设

判断

是否是

的特征向量？

解：

容易验证

v不是A的特征向量.(也可从图看出)-6-所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量6例2.-7-设阶方阵满足：求的特征值.解：例2.-7-设阶方阵满足：求的特征值.解：注2.-8-注1.可类似证明,的特征值只能是零。则(1)

若则(2)

若的特征值只能是1或-1。(1)设是的特征值,为任一多项式,则是的特征值。(2)设是的特征值,必为的特征值。(3)设是的特征值,且非奇异,则为的特征值。注2.-8-注1.可类似证明,的特征值只能是零。则8-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定义.(2)的非零解.是即特征向量-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定义.(2)的非零称为A的特征方程,其根为A的特征值.-10-特征值与特征向量的求法：即对应于特征值的线性无关的特征向量.称为A的特征方程,其根为A的特征值.-10-特征值与特征例3.求矩阵-11-的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为例3.求矩阵-11-的特征值及与之对应的线性无关的特征向11-12-(2)求的特征向量：

当-12-(2)求的特征向量：当12-13-

当同解方程组为得基础解系为即为时的线性无关的特征向量.同解方程组为-13-当同解方程组为得基础解系为即为时的线性无关的特13-14-得基础解系为：即为时的线性无关的特征向量。同理得对应于时的线性无关的特征向量为：-14-得基础解系为：即为时的线性无关的特征向量。同理得14例4.-15-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为例4.-15-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向15-16-(2)求的特征向量：

当同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：-16-(2)求的特征向量：当同解方程组为：对应的线性16-17-

当同解方程组为对应的线性无关的特征向量为-17-当同解方程组为对应的线性无关的特征向量为17三、特征值与特征向量的性质-18-三、特征值与特征向量的性质-18-18证:-19-于是,∽∽(2)从而，A与B的特征值也相同.证:-19-于是,∽∽(2)从而，A与B的特征值也相同.19-20--20-20注1.注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。-21-注1.注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。21定义.-22-定义.-22-22四、矩阵的对角化定义.定理1.∽证:即存在可逆矩阵使得由特征值与特征向量的引入知,假设-23-四、矩阵的对角化定义.定理1.∽证:即存在可逆矩阵使得由特征23定理2.推论.-24-定理2.推论.-24-24定义.设是的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为线性无关,且有称为将矩阵对角化的变换矩阵。它的每一列是的特征向量。-25-定义.设是的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为线性无25例5.（对于例3中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.解:由例3知,-26-例5.（对于例3中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换26所以，A可对角化。且变换矩阵为-27-所以，A可对角化。且变换矩阵为-27-27解:例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.由例4知,-28-解:例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出28所以A可对角化,且变换矩阵为且-29-所以A可对角化,且变换矩阵为且-29-29例7.三阶方阵满足：求已知向量:解：由题设知,所以对应的特征向量为且线性无关，所以A可对角化,故相似于对角阵.令-30-例7.三阶方阵满足：求已知向量:解：由题设知,所以对应的特征30则有故-31-则有故-31-31注：这是常用的求方阵幂的方法.-32-注：这是常用的求方阵幂的方法.-32-32-33-特征值与特征向量的应用例如,求解常系数线性方程组的初值问题：其中，解：步骤(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)写出解,从而在平面上画出轨迹.离散动力系统连续动力系统-33-特征值与特征向量的应用例如,求解常系数线性方程组33-34--34-34-35-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特征向量的定义;求法;性质;矩阵的对角化。-35-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特351.-36-解：分析：若3阶矩阵A使得所以，A的全部特征值为0,3,-1。则A的全部特征值为_____.综合题.考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。1.-36-解：分析：若3阶矩阵A使得所以，A的全部特征36-37-因为A与B相似,而相似矩阵有相同的特征值,2.已知3阶矩阵A与B相似,A的特征值为1,1/2,1/3,则行列式解：又因为A的特征值为1,1/2,1/3,所以B的特征值为1,1/2,1/3。的特征值为1,2,3。的特征值为2,3,4。-37-因为A与B相似,而相似矩阵有相同的特征值,2.已373.-38-解：(1)求的特征值：的全部特征值与对应的求矩阵线性无关的特征向量。3.-38-解：(1)求的特征值：的全部特征值与对应的求38-39-(2)求的特征向量：同解方程组为：-39-(2)求的特征向量：同解方程组为：39-40-即为属于时的线性无关的特征向量。同解方程组为:-40-即为属于时的线性无关的特征向量。同解方程组为:40-41-即为属于时的线性无关的特征向量。-41-即为属于时的线性无关的特征向量。41凯莱（ArthurCayley,1821～1895)英国纯粹数学的近代学派带头人。1821年8月16日生于萨里郡里士满，1895年1月26日卒于剑桥。1839年入剑桥大学三一学院学习，1842年毕业，后在三一学院任聘3年，开始了毕生从事的数学研究。因未继续受聘,又不愿担任圣职（这是当时继续在剑桥的数学生涯的一个必要条件），于1846年入林肯法律协会学习并于1849年成为律师，以后14年他以律师为职业，同时继续数学研究。因大学法规的变化，1863年被任为剑桥大学纯粹数学的第一个萨德勒教授，直至逝世。-42-凯莱（ArthurCayley,1821～1895)42凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来并发表了一系列文章。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱最主要的贡献是与西尔维斯特一起，创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对几何学的统一研究也作了重要的贡献。他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学会的会长。凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、天文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文几乎涉及纯粹数学的所有领域，收集在共有14卷的《凯莱数学论文集》中，并著有《椭圆函数专论》一书。-43-凯莱一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作43介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-44-1990年,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话,猫头鹰将濒临灭绝的危险。

数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究,并建立了种群模型形如的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键.虽然讨论的是离散动力系统,但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多,还被用来研究连续动力系统,为工程设计提供关键知识.另外还出现在物理、化学等领域。介绍性实例——动力系统与斑点猫头鹰-1-1990年441.相似关系定义:-45-性质:(反身性)(对称性)(传递性)∽∽∽∽记作(1)(2)(3)∽∽∽一、特征值与特征向量的定义1.相似关系定义:-2-性质:(反身性)(对称性)(传45引入.假设∽即存在可逆矩阵，使得：引入.假设∽即存在可逆矩阵，使得：46定义.-47-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙！注意.特征向量特征值问题仅对方阵而言。若存在设则称为的特征值,为的属于特征值的特征向量。定义.-4-特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因-48-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。把方程例如,中的看成输入变量,看成输出变量,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换.特征值为对应的特征向量为由知横轴方向部分变换到负方向,纵轴方向尺度不变。-5-二阶方阵特征值的几何意义二阶矩阵的特征值表示48-49-所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量,也易证判断给出的数是否是特征值。例1.设

判断

是否是

的特征向量？

解：

容易验证

v不是A的特征向量.(也可从图看出)-6-所以u是对应于特征值-4的特征向量。易证给定的向量49例2.-50-设阶方阵满足：求的特征值.解：例2.-7-设阶方阵满足：求的特征值.解：注2.-51-注1.可类似证明,的特征值只能是零。则(1)

若则(2)

若的特征值只能是1或-1。(1)设是的特征值,为任一多项式,则是的特征值。(2)设是的特征值,必为的特征值。(3)设是的特征值,且非奇异,则为的特征值。注2.-8-注1.可类似证明,的特征值只能是零。则51-52-二、特征值、特征向量的求法(1)定义.(2)的非零解.是即特征向量-9-二、特征值、特征向量的求法(1)定义.(2)的非零称为A的特征方程,其根为A的特征值.-53-特征值与特征向量的求法：即对应于特征值的线性无关的特征向量.称为A的特征方程,其根为A的特征值.-10-特征值与特征例3.求矩阵-54-的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为例3.求矩阵-11-的特征值及与之对应的线性无关的特征向54-55-(2)求的特征向量：

当-12-(2)求的特征向量：当55-56-

当同解方程组为得基础解系为即为时的线性无关的特征向量.同解方程组为-13-当同解方程组为得基础解系为即为时的线性无关的特56-57-得基础解系为：即为时的线性无关的特征向量。同理得对应于时的线性无关的特征向量为：-14-得基础解系为：即为时的线性无关的特征向量。同理得57例4.-58-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解:(1)求的特征值：的特征方程为例4.-15-求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向58-59-(2)求的特征向量：

当同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：-16-(2)求的特征向量：当同解方程组为：对应的线性59-60-

当同解方程组为对应的线性无关的特征向量为-17-当同解方程组为对应的线性无关的特征向量为60三、特征值与特征向量的性质-61-三、特征值与特征向量的性质-18-61证:-62-于是,∽∽(2)从而，A与B的特征值也相同.证:-19-于是,∽∽(2)从而，A与B的特征值也相同.62-63--20-63注1.注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。-64-注1.注2.用处在于已知n-1个特征值,求最后一个特征值。64定义.-65-定义.-22-65四、矩阵的对角化定义.定理1.∽证:即存在可逆矩阵使得由特征值与特征向量的引入知,假设-66-四、矩阵的对角化定义.定理1.∽证:即存在可逆矩阵使得由特征66定理2.推论.-67-定理2.推论.-24-67定义.设是的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为线性无关,且有称为将矩阵对角化的变换矩阵。它的每一列是的特征向量。-68-定义.设是的特征值,对应的线性无关若令的特征向量分别为线性无68例5.（对于例3中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.解:由例3知,-69-例5.（对于例3中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换69所以，A可对角化。且变换矩阵为-70-所以，A可对角化。且变换矩阵为-27-70解:例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出变换矩阵.由例4知,-71-解:例6.（对于例4中的矩阵)判别是否可对角化,若可以,求出71所以A可对角化,且变换矩阵为且-72-所以A可对角化,且变换矩阵为且-29-72例7.三阶方阵满足：求已知向量:解：由题设知,所以对应的特征向量为且线性无关，所以A可对角化,故相似于对角阵.令-73-例7.三阶方阵满足：求已知向量:解：由题设知,所以对应的特征73则有故-74-则有故-31-74注：这是常用的求方阵幂的方法.-75-注：这是常用的求方阵幂的方法.-32-75-76-特征值与特征向量的应用例如,求解常系数线性方程组的初值问题：其中，解：步骤(1)求A的特征值1，-2;(2)特征向量;(3)写出解,从而在平面上画出轨迹.离散动力系统连续动力系统-33-特征值与特征向量的应用例如,求解常系数线性方程组76-77--34-77-78-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特征向量的定义;求法;性质;矩阵的对角化。-35-本节主要围绕矩阵的特征值与特征向量展开特征值与特781.-79-解：分析：若3阶矩阵A使得所以，A的全部特征值为0,3,-1。则A的全部特征值为_____.综合题.考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。1.-36-解：分析：若3阶矩阵A使得所以，A的全部特征79-80-因为A与B相似,而相似矩阵有相同的特征值,2.已知3阶矩阵A与B相似,A的特征值为1,1/2,1/3,则行列式解：又因为A的特征值为1,1/2,1/3,所以B的特征值为1,1/2,1/3。的特征值为1,2,3。的特征值为2,3,4。-37-因为A与B相似,而相似矩阵有相同的特征值,2.已803.-81-解：(1)求的特征