分章节课件-第3章综合指标分析

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计

学（多

教学课件）第三章

综合指标分析.本章相关内容本章教学内容本章小结本章思考与练习题本章学习目的本章重点、难点本章参考资料..本章教学内容（10学时)第一节 绝对数与相对数第二节 分布的集中趋势特征第三节 分布的离中趋势特征..静态分布动态趋势总量指标（绝对规模）相对指标（相对关系）平均指标（集中趋势）变异指标（离散趋势）水平指标（绝对规模）速度指标（相对变化）因素分析（趋势>原始加工

统计数据整理

指标..静态分布动态趋势总量指标相对指标平均指标变异指标水平指标速度指标因素分析原始加工

统计数据

整理

指标人口总数人口

比例平均标准差不同年份人口数人口自然增长率人口数量模型..第一节 绝对数与相对数一、绝对数二、相对数三、绝对数与相对数的应用..一、绝对数（第53页）.（一）绝对数的意义绝对数的概念绝对数又称总量指标。它是用绝对数表示的反映社会经济现象总体在一定时间、地点、条件下的总规模和总水平的统计指标。绝对数的特点①绝对数的数值大小随统计总体范围的大小而增减。总体范围增大，绝对数数值增多，总体范围缩小，绝对数数值减少。如，全国的人口数比省的人口数多。②其数值表现形式是绝对数。③只对有限总体才能计算绝对数。.是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其他统计指标的基础。.3.绝对数的意义.总体标志总量总体单位总量按反映的总体内容不同分为：按反映的时间状况不同分为：时期指标时点指标按计量单位不同分为：实物指标价值指标劳动指标（二）绝对数的种类..总体标志总量总体单位总量总体所包含的总体单位的数量总体单位某一数量标志的标志值总和1.总体单位总量和总体标志总量工业企业数；—总体单位总量工业企业职工人数

—总体标志总量一个总体中只有一个单位总数，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。工业企业增加值工业企业固定资产—总体标志总量—总体标志总量..时期数（指标）时点数（指标）表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、人数表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由

登记

得到2.时期数和时点数..实物单位价值单位劳动单位多个单位的结合运用：复合单位双重单位多重单位（如：人·次、吨·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/吨/千瓦）综合能力大差适用范围小强.如：台、件如：米、平方米如：标准吨自然单位度量衡单位标准实物单位如：工日、工时如：元、万元、亿元（三）绝对数的计量单位.＝拖拉机混合产量＝4台.拖拉机标准实物产量＝5台.身高的差异水平：cm.体重的差异水平：kg.二、相对数（第54页）（一）相对数的意义（二）相对指标的种类..甲企业乙企业利润

利总额 占用

润率500

3000

16.7%万元

万元5000

40000

12.5%万元

万元比较两厂经济效益不可比

不可比可比..一、相对数（第54页）（一）相对数的意义1.相对数的概念相对数也称为相对指标是指两个有联系的指标对比计算的比率，用以反映现象间的数量对比关系。相对数=分子分母例如：人口密度＝人口总数/土地面积第三产业

＝第三产业增加值/国内生产总值利润率＝利润总额/

占用额人均GDP＝GDP/平均人口数..2.相对数的特点它是个抽象化的数值，反映现象间的相对程度；其次，相对数的大小与研究总体范围的大小无直接联系相对数的意义通过相对数可以反映现象的发展程度、密度或普遍程度等。使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状况。..无名数有名数用倍数、系数、成数、﹪、‰等表示重计量单位表示的复名数4.相对数的表现形式人口密度指标的计量单位是“人/平方公里”人均GDP指标的计量单位是“元/人”某地2005年的产量比上年增长了1成我国2005年的人口出生率为12.40‰总人口数2005比1953年增长了1.19倍分母

分母为

分母

分母

分母为为1

1.00

为10

为100

1000分子大

分母大..（三）相对数的种类和计算方法相对指标的种类静态相对指标.（一）结构相对指标（二）比例相对指标（三）比较相对指标（四）强度相对指标（五）计划完成相对指标（六）动态相对指标.1.结构相对数结构相对数（又称值对比计算求得的）是用部分数值与总体全部数或比率。即同一时间、同一总体

分数值与全部数值之比。计算公式：结构相对数=总体部分数值×100%总体全部数值..例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则：消费额占国民收入

12945

100﹪

65.7﹪使用额的比率

19715积累额占国民收入

6770

100﹪

34.3﹪使用额的比率

19715说明⒈为无名数，一般用百分数表示；⒉同一总体各组的结构相对数之和为1；⒊用来分析现象总体的

构成状况；4.分子分母不可互换。..2.比例相对数比例相对数是将同一总体内的各部分数值对比计算的相对数，表明事物

的比例关系。即同一时间、同一总体内各部分数值之比。计算公式：×

100%总体中某部分数值比例相对数=同一总体中另一部分数值..例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则：积累

与消费额比率⒈为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；⒉用来反映组与组之间的联系程度或比例关系；3.分子分母可以互换。说明..3.比较相对数比较相对数是指在同一时间，不同空间条件下，两个相同指标对比求得的指标，反映现象发展水平的差别程度。计算公式：比较相对数=某种空间条件下的某类指标数值×100%另一空间条件下的同类指标数值..例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则：甲公司商品销售额

5.4

1.5是乙公司的倍数

3.6⒈为无名数，一般用倍数、系数表示；⒉用来说明现象发展的不均衡程度；3.分子分母可以互换。说明..4.动态相对数它是同一总体同类指标在不同时间的对比，用来说明现象发展变化程度的指标。计算公式：动态相对数=报告期水平×100%⒈为无名数；⒉用来反映现象的数量在时间上的变动程度;3.分子分母不能互换。说明.基期水平例：2005、2006年甲公司商品销售额分别为5.4亿元和8.6亿元。则：甲公司商品销售额发展水平为8.6/5.4＝159.26%.5.强度相对数强度相对数是两个性质不同，但有一定联系的总体指标数值之比，用以反映现象的强度、密度或普遍程度的统计指标。计算公式：某一总体的指标数值.强度相对数=另一性质不同但有联系的总体指标数值.例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区人口出生率

1106

8600

1000‰

8.6‰一般用﹪、‰表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。无名数的强度相对数..的医院床位数每1000

口拥有

24700张

24.7张

40.5人张每所医院床位

1106负担的人口数

24700

（正指标）（逆指标）映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区有名数的强度相对数.为 重计量单位表示的复名数，反.强度相对数和其他相对数的区别：强度相对数多数采用复合计量单位，如人口密度（人/平方公里）；强度相对数涉及到两个总体指标数值的对比，带有平均的含义，但不同于平均数。如：人均粮食产量（粮食总产量/总人口数）为强度相对数，分子与分母属于两个总体，分母变动时分子不随之变动。而：人均粮食消费量属于平均数（粮食总消耗量/总人口数），此时分母数值变大时，分子数值随之变大，分子数值是分母每个人的粮食消耗量之和，二者属于同一总体；某些强度相对数的分子分母位置可以互换，因而有正指标、逆指标之分。..6.计划完成程度相对数又可称为计划完成程度相对指标或计划完成百分比。它是现象在某一段时间内的实际完成数与计划任务数对比的结果。计算公式：计划完成程度相对数=实际完成数×100％.计划任务数.⒈短期计划完成情况的检查⑴计划数与实际数同期时，直接应用公式:计划完成程度=实际完成数×100﹪相对数

计划任务数.A.计划任务数表现为绝对数时.全年计划

11

100﹪

110﹪完成程度

10⑵计划执行进度情况:计划完成

累计至本期止实际完成数=

×

100﹪进度

全期计划任务数例：某企业2000年计划产量为10万件，而实际至第三季度末已生产了8万件，全年实际共生产11万件。则：第三季度末

8=

×

100﹪=

80﹪计划完成进度

10..⒉长期计划完成情况的检查⑴累计法计划指标按计划期内各年的总和规定任务计划完成

计划期内实际完成累计数=

×

100﹪程度

计划任务总数=

-提前完成

计划全自计划执行日起至累计实际数量计划时间部时间已达到计划任务数所需要的时间..例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份19961997199819992000合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2000年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.8⒈该市“九五”期间固定资产投资计划的完成程度;⒉提前完成计划的时间。已累计完成固定资产投资额60亿元要求计算：..解：计划完成

61.7

100﹪

102.8﹪程度

60.提前完成计划时间：因为到2000年10月底已完成固定资产累计投资额60亿元（61.7–0.8–0.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。.年份19961997199819992000合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2000年各月份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.81.1

0.8如何确定提前完成计划的时间?思考..例：某市计划“九五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：【分析】月份123456789101112投资额1.11.11.21.11.11.11.21.21.31.10.80.8已累计完成固定资产投资额59亿元已累计完成固定资产投资额60.1亿元假定10月份每天都完成相等的投资额59亿元60

60.1亿元1亿元0.1亿元..可以判断出，计划任务应是在2000年10月份的某一天完成的1.11.0

31

28.18

29天1.10.1

31

2.82

2天即提前完成任务两个月零两天。【方法二】在2000年10月为完成超额的0.1亿元的投资额所用的天数：即提前完成任务两个月零两天。..【方法一】在2000年10月为完成尚差的1.0亿元投资额的计划任务需要的天数：⑵水平法计划指标以计划末期应达到的水平规定任务×

100﹪计划末期实际达到的水平计划规定末期应达到的水平计划完成=程度计划全 出现连续12个月的实际完成数=-提前完成计划时间部时间 达到计划任务数所需要的时间..年份19961997199819992000产量（万辆）108114117119123其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：⒈该厂“九五”期间产量计划的完成程度；⒉提前完成计划的时间。月份1234567891011121999年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12000年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.4+0.5 +0.5

=120要求计算：..例：某自行车厂计划“九五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：解：计划完成

123

100﹪

102.5﹪程度

120提前完成计划时间：因为自1999年3月起至2000年2月底连续12个月的时间内该厂自行车的实际产量已达到120万辆〔119+﹙10.1–9.6﹚+（10.1–9.6）=120〕，即已完成计划任务，提前完成计划10个月。..年份19961997199819992000产量（万辆）10811411711912310.0

10.010.5

10.5如何确定提前完成计划的时间?思考..例：某自行车厂计划“九五”末期达到年产自行车120万辆的产量，实际完成情况为：其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万辆）：月份1234567891011121999年9.69.69.89.89.99.910.010.010.110.110.110.12000年10.110.110.210.210.210.210.210.310.310.410.410.4【分析】23

4

5

6789

10

11

129.6

9.8

9.8

9.9

9.9

10.

10.

10.

10.1

10.1

10.10

0

1月份

11999年

9.62000年

10.0+0.4月份1789

10

11

121999年2000年10.4

10.5

10.5可以判断出，计划任务应是在2000年3月份的某一天完成的10.0

10.

10.

10.

10.

10.

10.

10.

10.4

10.5

10.5+0.4

=1219.8（2

尚2未完2成计2

划）3

32

3

4

5

69.6

9.6

9.8

9.8

9.9

9.9

10.

10.

10.

10.1

10.1

10.10

0

110.0

10.0

10.

10.

10.

10.

10.

10.

10.+0.4

+0.4

+02.4

=2120.22（已2超额2

完成3

计划3）...8万辆年

月10.2万辆年

月每轮换一天将增加（

0.4

31）万辆在2000年3月份为完成尚差的0.2万辆的计划任务还需要的天数：0.2

0.4

31

15.5

1即提前完成任务九个月零15天。..全月轮换将共增加0.4万辆百分数提高降低百分数提高降低100﹪1

计划1

实际计划完成程度

实际为上年的百分数100﹪相对数

计划为上年的百分数B.计划任务数表现为相对数时例：己知某厂2000年的计划规定产品产量要比上年实际提高5﹪而实际提高了7﹪。则：计划完成

1

7﹪100﹪

101.9﹪程度

1

5﹪..三、绝对数与相对数的应用正确选择对比的基础；指标对比要有可比性；相对指标要与总量指标结合运用；多种相对指标结合运用。..正确选择对比基础本行业（ ）平均（先进）水平经济效益指数＝

某经济效益指标实际值 该经济效益指标标准值价格定基指数＝

某期价格水平

某固定基期的价格水平经济发展、价格水平均较为正常的时期..本单位历史水平注意指标间的可比性2000年的工业总产值（当年价格）1980年的工业总产值（当年价格）

元）1980年中国的国民收入（1980年

的国民收入（

）..相对指标抽象掉了具体的数量差异:1:2=50%

10000:20000=50%1998年相对于1997年，的GDP增长速度为3.9％，同期中国GDP增长速度为7.8％，恰好为的2倍；但根据同期汇率（1兑换8.3元），1998年中国GDP总量约合9671亿，约相当于同期GDP总量84272亿美元的1/9。相对指标应当结合总量指标使用..结构相对数比例相对数比较相对数强度相对数（部分与总体关系）（部分与部分关系）（横（纵比关系）比关系）动态相对数计划完成相对数（实际与计划关系）（关联指标间关系）多种相对指标应当结合运用..人口

比为1.03：11999年末我国共有总人口12.6亿人，其中

人口为6.4亿，女性人口为6.2亿。人口的为50.8﹪比1980年末的9.9亿人增加了28﹪人口密度是的4.5倍人口密度为130人/平方公里人口出生率为15.23‰女性人口的为49.2﹪..数据分布特征的反映：分布数列可初步反映数据分布的基本特征。要进一步掌握数据分布的特征和规律，需找出反映数据分布特征的代表值。数据分布的集中趋势——平均指标数据分布的离散程度——变异指标..数据分布的特征集中趋势(位置)离中趋势(分散程度)偏度和峰度（形状）..数据分布的特征和测度数据的特征和测度分布的形状集中趋势离散程度众

数中位数均

值峰

度偏

度平均指标极差平均差四分位差方差和标准差离散系数变异指标..第二节

分布的集中趋势特征一、统计平均数概述二、算数平均数三、调和平均数四、几何平均数五、众数六、中位数与分位数七、各种平均数之间的关系..中间集中的趋势，用平均指标来反映。集中趋势指总体中各单位的次数分布从两边向可以反映现象总体的客观规定性；可以对比同类现象在不同的时间、地点和条件下的一般水平；可以分析现象之间的依存关系。测定集中趋势的意义：指同质总体中各单位某一数量标志的一般水平，是对总体单位间数量差异的抽象化..VAR000012083名

的身高算术平均数分布的集中趋势、中心数值..一、平均数概述（第61页）（一）平均数的概念、特点和种类平均数的概念即统计平均指标，表明同类社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的指标。平均数的特点①它是一个抽象化的数值。它将总体各单位具体的数量差异抽象掉了，从而显示出总体的一般特征或趋势。②它是一 性数值。它用一个数值来代表总体各单位在具体条件下的典型水平。③它是一个特征值。它反映了总体分布集中趋势的一般特征。总体各单位的标志值总是以平均数为中心上下波动，所以平均数反映了总体分布的集中趋势特征。..㈠

算术平均数㈡

调和平均数㈢ 几何平均数㈣ 中位数㈤ 众数数值平均数位置平均数2.平均数的种类..（二）平均数的作用.平均数可以比较不同空间同类现象的一般水平。平均数可以作为评断事物的一种客观标准或参考。平均数可以反映同一总体某类现象在不同时间上的变化，以说明其发展变化的规律性。它可以分析现象之间的依存关系。平均数是计算其它统计量的基础。.算术

总体标志总量=平均数

总体单位总数（一）基本形式：平均工资=工资总额职工人数平均成本=总成本总产量例：直接承担者※注意区分算术平均数与强度相对数.二、算术平均数（均值）(Mean).1.简单算术平均数——适用于总体资料

分组整理、尚为原始资料的情况（二）算术平均数的计算nnni

x

x

i1x

1

2

n

x

x

x

1nx代表算术平均数，x

代表各单位标志值，n

代表总体单位数。..5.平均每人日销售额为：x

x

520

600

480

750

440n

5

2790

558元某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】.2.算术平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况fff

xfnfini1

xifi

i1

x21

nx

1112

nn

fffxxxfffx代表算术平均数，x

代表各单位标志值，f

代表各组频数（单位数）。..【例】某企业某日工人的日产量资料如下：.日产量（件）x工人人数（人）107011100123801315014100合计800计算该企业该日全部工人的平均日产量。.8001410070

100x

xf

10

70

f

9710

12.1375(件）解：若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明..

fx

xf

ff

x

x

xf

f算术平均数的计算公式可变形为：上网时数（小时）组中值x人数（人）f（％）0-2302-4844-6606以上26合计——200＝1×15％＋3×42％＋5×30％+7×13％=3.82（小时）

..例：某校学生上网时间资料如下，计算学生的平均上网时间：

xfx

f分析：成绩（分）x人数（人）f甲班乙班丙班6039平均成绩（分）619980起到权衡轻重的作用决定平均数的变动范围..表现为次数、频数、单位数；即公式

中的x

xf

f表现为频率、

；即公式

fX

Xf

f

X

f

中的

f

f指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度。对平均数的大小衡轻重的作用。（能反映各x的重要性）权数绝对权数相对权数权数的实质：其权衡轻重作用真正体现在频率上。..算术平均当各组单位数（频率）相等时，数等于简单算术平均数即；当

f1

=

f2

=

f3

=…=

fn

=

A，时算术平均数简单算术平均数

fx

xf

A

xAnnx

x..即：（三）算术平均数的主要数学性质⒈变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，⒉变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：(x

x

)

0(x

x

)2

min..离差的概念x1

x2

x4x3

x5

x61543768x

5-1-1-213(x

x)

1

0

(2)

3

1

(1)

0(x

x)2

12

02

(2)2

32

12

(1)2

16..⒉再求算术平均数：44

6

2

8

1

1

1

1

⒈求各标志值的倒数：1

1

1

12

4

6

8⒊再求倒数：.4

6

2

8

1

1

1

1

4.三、调和平均数H是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数【例】设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：——适用于总体资料

分组整理、尚为原始资料的情况式中：H为调和平均数;n为变量值的个数；xi为第i

个变量值。1.简单调和平均数x

n

11

1

1x1

x2

xnnnH

1

1

1

1x1

x2

xn..2.调和平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况xn

mnm1

m2H

m1

m2

mnx

m

mx1

x2m

=

x

f式中：H

为调和平均数;mi为第i组的标志总量；xi为第i

组的变量值。..调和平均数x

mx

xf

fH

m

xf

xf算术平均数调和平均数是算术平均数的变形。算术平均数和调和平均数的计算，没有根本的区别，只是由于所掌握的资料不同，而采取了不同的计算方法而已。.——当己知各组变量值和标志总量时，调和平均数作为算术平均数的变形使用。.【例】某企业某日工人的日产量资料如下：.计算该企业该日全部工人的平均日产量。日产量（件）各组工人日总产量（件）xm101112456019501400合计9710.800H

m9710

1

m

700

1400X

10

14

9710

12.1375件.即该企业该日全部工人的平均日产量为12.1375件。解：.某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)xi成交额(元)xi

fi=m甲1.2018000乙0.5012500丙0.806400合计—3690048000xH

m成交额

m

36900

0.76（9

元）成交额批发价格..【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格。由于比值（平均数或相对数）不能直接相加，求解比值的平均数时，需将其还原为构成比值的分子、分母原值总计进行对比。设比值x

mf分子变量分母变量则有：m

xf

,

f

mx当标志值（x）表现为相对数或平均数时，次数f不一定是正确的权数。正确的权数应该满足两个条件：①它是标志值的直接承担者；②它与标志值相乘有明确的经济意义或能体现标志总量。..当自变量表现为比值时，求解其平均数的方法：xx

m

xf

m

f

f

1

m已知m、f，采用基本平均数公式己知

x、

f，采用

算术平均数公式己知x、

m，采用

调和平均数公式比值X

mf..【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）计划产值（万元）90以下85280090～1009532500100～1101051017200110以上11534400合计—1824900计算该公司该季度的平均计划完成程度。..季【例】某完成情况如计划完成程度（﹪）计算该公司该季度的平均计划完成程度。程度分析：计划完成X

实际产值m计划产值

f

应采用算术平均数公式计算组中值

企业数

计划产值（﹪）x

（个）

（万元）249001.15

4400800

4400x

xf

0.85800

f

26175

105.12﹪..【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下（按计划完成程度分组）：计算该公司该季度的平均计划完成程度。.计划完成程度（﹪）组中值（﹪）企业数（个）实际产值（万元）90以下85268090～1009532375100～1101051018060110以上11535060合计—1826175.【例】某季情况如下（计划完成程度（﹪）190以下

2

85

6809合计18—26175实际产值m程度计划完成

X

计划产值

f

分析：应采用调和平均数公式计算24900x

mH

m

26175

105.12﹪企业数

组中值

实际产值（个）

（﹪）

x

（万元）m.计算该公司该季度的平均计划完成程度。.各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。.四、几何平均数G是n项变量值连乘积的开n次应用：用于计算现象的平均比率或平均速度应用的前提条件：.1.简单几何平均数分组整理尚为原始——适用于总体资料资料的情况nx

n

xG

n

x1

x2式中，G：几何平均数；n：标志值的个数；x

：各单位标志值；∏：连乘符号。...【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的分别为95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整个流水生产线产品的平均。分析：设最初投产100A个单位，则第一道工序的合格品为100A×0.95；第二道工序的合格品为（100A×0.95×0.92）；……第五道工序的合格品为（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；.因该流水线的最终合格品即为第五道工序即该流水线总的

等于各工序的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。G

5

0.95

0.92

0.90

0.85

0.80

5

0.5349

88.24﹪解..思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均。..分析：因各车间彼此独立作业，所以有第一车间的合格品为：100×0.95；第二车间的合格品为：100×0.92；……第五车间的合格品为：100×0.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=100×0.95+……+100×0.80..500

442

88.4﹪100

100

fX

Xf应采用算术平均数公式计算，即

0.95

100

0.80

100X

合格品m产品

f.不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。又因为.f

2

f3

fn

x2

x3

xn

f

f

1G

x1式中：f—各组标志值的次数.2.

几何平均数——适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况.第1年末的本利和为：V

1

3﹪第2年末的本利和为：V

1

3﹪1

3﹪………

………﹪V

第12年末的本利和为：计息基础第12年的计息基础.【例】某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有4年为3﹪，2年为5﹪，2年为8﹪，3年为10﹪，1年为15﹪。求平均年利率。分析：设本金为V，则至各年末的本利和应为：第2年的.V1

0.034

1

0.052

1

0.15本金

V总的本利和则该笔本金12年总的本利率为：

1

0.034

1

0.052

1

0.15即12年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。G

421

1

0.034

1

0.052

1

0.15

12

2.2154

106.85﹪平均年利率

G

1

106.85﹪1

6.85﹪解：..利用计算器计算几何平均数：例：求10的5次

。10yxxy5

=2ndF..思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：……第12年末的应得利息为：V

0.03V

0.03……V

0.15设本金为V，则各年末应得利息为：..利息率X

利息m假定本金为V本金

f.则该笔本金12年应得的利息总和为：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为.算术平均数公式计算平所以，应采用均年利息率，即：12V

0.83V

6.92﹪

fV

4

V

1解：X

Xf

V

0.03

4

V

0.151..是否为比率或速度各个比率或速度的连乘积是否等于总比率或总速度是否为其他比值G

n

xG

f

x

f是否否是否是几何平均法x

x

xn

xf

f算术平均法xx

m

xf

m

f

f

1

m求解比值的平均数的方法数值平均数计算公式的选用顺序指标..五、众数

M

0指总体中出现次数最多的变量值，它不受

数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。一组数据中出现次数最多的变量值。不受

值的影响。一组数据可能没有众数或有几个众数。用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。..日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例】已知某企业某日工人的日产量资料如下:0.M1.单项式数列确定众数－－出现次数最多的标志值就是众数。如果出现次数最多的标志有两个，称为复众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。.

dΔ1

Δ2Δ1

Δ2Δ1M

0

L

或U

Δ2

d的近似值。式中：众数所在组的下限；L：△1：众数组频数与其前一组频数之差；△2：众数组频数与其后一组频数之差；d：众数所在组的组距。

d.

dM

0

U

(

fm

fm

1)(

fm

fm

1)

(

fm

fm

1)(

fm

fm

1)(

fm

fm

1)

(

fm

fm

1)M

0

L

.2.组距式数列确定众数先确定众数组，即次数最多的一组，而后计算众数【例】某车间50名工人件200以下200～400400～6003732600以上

83104250—合计

50计算该车间工人月产量的众数。Xo

M

L

d1

2125

200

502件25

24o月产量（M

400

..当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。.众数的原理及应用.出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.01606040200没有突出地集中在某个年份413名学生出生时间分布直方图.（无众数）.6050403020100413名学生的身高分布直方图（双众数）当数据分布呈现出双众数或多众数时，可以断定这些数据来源于不同的总体。出现了两个明显的分布中心..Me中位数是一种位置平均数，不受

标志值或开口组的影响。中位数的数学性质:是变量值与其中位数的绝对离差的总和是一个最小值。即：∑|

x－Me

|

＝

最小值六、中位数和分位数（一）中位数（Median）：将数据依其大小顺序排列，位于中间位置的数据称为中位数（Me）。50%

50%..中位数的位次为：N

1

5

1

32

2即第3个单位的标志值就是中位数

Me

520元.（1）未分组资料【例】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则.中位数的位次为：N

1

6

1

3.52

2中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即2.eM

520

600

560元【例】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则.

f

Sm

1Me

L

2

dfm∑f

：数列的频数总和；fm：中位数所在组的频数；Sm-1：中位数所在组之前组的向上累计频数；∑f/2：中位数的位次。U：中位数所在组的上限；Sm+1：中位数所在组之前组向下累计频数；

f

Sm

1Me

U

2

dfm..⑵由分组（组距）数列确定中位数。①确定中位数所在组（采用向上或向下累计的方法）；②根据下列公式确定中位数的近似值：式中L：中位数所在组的下限；车月产量（上累计次数200200～400～600600以上以400

7

10合计32

428

5050

—计算该车间工人月产量的中位数。Xfme【例】某

M

L

f

Sm1

d资料如下：23250

10eM

400

2

600

400

493.75件..（组距数列）2共

f

个单位2共

f

个单位共Sm1

个单位共Sm1

个单位LU中位数组组距为d个单位共fm假定该组内的单位呈均匀分布共有单位数2m1

S

f中位数下限公式为fm

dMe

L

f

Sm12该段长度应为fm

d

f

Sm12..1.

排序后处于25%和75%位置上的值。2.

不受QL

QM值的影响。QU25%25%25%25%（二）四分位数(quartile)3.

主要用于顺序数据，也可用于数值型数据。十分位数和百分位数分别是将数据分成十等分和一百等分的数值。..xMo

Mex

Me

Mo对称分布左偏分布右偏分布x

Me

Mo对同一资料用三种方法计算，其结果是算术平均数最大，几何平均数次之，调和平均数最小。只有当所有变量值都相同时，三者结果才相等。X

G

H算术平均数、中位数、众数的关系：三者的关系与数据分布是否偏斜有关。..第三节

分布的离中趋势特征一、标志变异指标的概念、作用和种类二、极差和分位差三、平均差四、方差和标准差五、标志变异系数六、分布的偏度和峰度..课程学生语文总成绩平均成绩数甲606570乙65656565丙55657565单位：分某班三名同学三门课程的成绩如下：请比较三名同学学习成绩的差异。..离中趋势数据分布的另一个重要特征；反映各变量值远离其中心值的程度（离散程度）；从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度；离散程度越大，平均数的代表性越小。..20151050500100150集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱x

164cmx

164cm..一、变异指标的概念和作用.(一）变异指标的概念变异指标是反映统计数据差异程度的综合指标。平均指标是说明数据一般水平的综合指标，反映了数据分布的集中趋势。变异指标从相反的角度研究数据的差异状况和分布的离散程度。变异指标越大，反映数据的差异程度越大。.（二）标志变异指标的作用用来衡量和比较平均数代表性的大小；用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性；用来测定变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。..描述分布差异程度的指标偏度峰度（三）标志变异指标的种类描述变量值差异程度的指标全距

分位差平均差

标准差变异系数..极差（R）＝最高组的上限－最低组的下限极差（R）＝max(x)

－min(x)（未分组数列）（分组数列）【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则

750

440

310元.

X

minR

X

max.二、极差和分位差（一）极差(Range)又称全距：是数据中最大值与最小值之差，说明数据的变动范围。计划完成程度（﹪）组中值（﹪）X企业数（个）计划产值（万元）90以下85280090～1009532500100～1101051017200110以上11534400合计—1824900

120

80

40﹪

110

10

90

10

X

min解：R

X

max..【例】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：全距的特点优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中...（二）四分位差

(quartile

deviation)也称为内距或四分间距，上四分位数与下四分位数之差Qd

=

QU

–

QL反映了中间50%

数据的离散程度不受

值的影响.（适用未分组数列）（适用分组数列）

x

xn简单平均差：MAD

f

x

x

f加权平均差：MAD

三、平均差：是数据与其均值之间离差绝对值的平均数。平均差的计算方法:平均差弥补了全距的不足，考虑了所有的数据，能较好地反映各数据相对于均值的平均差异（离散）程度，能全面反映数据的离散程度。....NN

5

X440

558

750

558MAD

i1

Xi

468

93.6

元5

55即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。..【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解X

440

480

520

600

750

2790

558元所以，A

组学生的考分比B

组学生的考分离散程度更大。xA

xBn

xA

xAMADA

nxB

xBMADB

∵

MADA＞MADB530

6(分/人524

4.8(分/人解：=

75学生序号考分（分）离差离差

离差绝对

值离差绝对值xAxBxA

xAxB

xBxA

xAxB

xB甲6568-10-7107乙7070-5-555丙75760-101丁80805555戊8581106106合计375375——3024A、B两组那一组学生的成绩的离散程度更大？..平均差的特点优点:不易受 数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标——标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况..四、方差(variance)和标准差(standard

deviation).数据离散程度的最常用测度值；反映了各变量值与均值的平均差异；方差是标准差的平方。.标准差是测定数据变异程度最常用的指标，其意义与平均差基本相同，但在数学处理方法上不同。（适用未分组数列）（适用分组数列）n

(x

x)2简单标准差σ

)(2

fx标准差σ

（一）数量标志的方差、标准差标准差（用σ表示）是各数据与其算术平均数离差平方的平均数的

。又叫均方差。而σ2

称为方差。标准差的计算方法..解55x

750

2790

558元（比较：其销售额的平均差为93.6元）55n440

5582

750

5582

(x

x

)2

60080

109.62

元即该售货小组销售额的标准差为109.62元。..【例】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。所以，A组学生的考分比B

组学生的考分差异更大。n（x

x）2σA

（x

x）2nσB

∵σA

＞σB550

7.07(分/人250

5136

27.2

5.2(分/人试问A、B两组那一组学生的考分差异更大？解

xA

xB

75学生序号考分（分）离差离差离差平方离差平方xAxBxA

xAxB

xB(xA

xA)2(xB

xB)2甲6568-10-710049乙7070-5-52525丙75760-101丁8080552525戊858110610036合计375375——250136..月工资（元）组中值（元）X职工人数（人）300以下250208300～400350314400～500450382500～600550456600～700650305700～800750237800～90085078900以上95020合计—2000..【例】计算下表中某公司职工月工资的标准差。X

250

208

950

20

1045900

522.95元解2000200056386595.01

167.9元2000

2000250

522.952

208

950

522.952

20

即该公司职工月工资的标准差为167.9元。（比较：其工资的平均差为138.95元）..标准差的特点不易受

数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便地用于数学处理和统计分析运算...分组单位数变量值具有某一属性N11不具有某一属性N00合计N—（二）是非标志的方差、标准差是非标志：指总体中全部单位只具有“是”或“否”、“有”或“无”两种表现形式的标志，又叫交替标志合格

（是）不合格（非）为研究是非标志总体的数量特征，令..具有某种标志表现的单位数所占的成数NP

N1不具有某种标志表现的单位数所占的成数NQ

N0

N

1N

N1

N0NN

N0N且有P

Q

N1指是非标志总体中具有某种表现或不具有某