九年级中考数学复习动态问题综合练习

中考数学复习动态问题综合练习1.如图，已知，点是以线段为弦的圆弧的中点，，点，分别是线段，上的动点，设，，则能表示与的函数关系的图像是（）A.B.C.D.2.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标可能是（）A.（，） B.（2，3） C.（4，3） D.（4，3）3.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A. B.C. D.4.如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（）A. B. C. D.5.如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是()A. B.C. D.6.已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）A. B.C.周长的最小值是 D.是的一个根7.如图，中，，，点为动点，连接、，始终保持为，线段、相交于点，则的最大值为__________．8.如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为_____．9.如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是__．10.在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，（1）当时，________；（2）取的中点，连接、，则的最小值为________．11.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，（1）若2是此函数的不动点，则m的值为____．（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为________．12.在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC=_______；（2）取EF的中点G，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为________13.如图，在正方形ABCD中，点F是边DC上一个动点，连接BF，在其上取一点E，使得AE=AD，AE与BD交于点G．解答下面问题：（1）如图（1），探究大小是否为定值，如果是，则求出；如果不是，则说出理由；（2）如图（2），若正方形的边长为2，当时，求DF长；（3）如图（3），连接EC，若，求证：．14.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分．且，．（1）求证：；（2）若点P为线段CE上一动点，当与相似时，求EP的长．15.小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．（1）请求出b和n的值；（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？16.抛物线yx2+kx+c过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求点C、D的坐标．（2）点E是线段OB上一动点，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM．若△AEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的坐标；（3）抛物线上一点T，点T的横坐标是﹣3，连接BT，与y轴交于点P，点Q是线段AT上一动点（不与点A，点T重合）．将△BPQ沿PQ所在直线翻折，得到△FPQ．当△FPQ与△TPQ重叠部分的面积是△TBQ面积的时，求线段TQ的长度．17.如图1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝_____秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？18.（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，，，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为______；（2）【问题探究】如图2，在中，AD为BC边上的高，且，点P为内一点，当时，求的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边BC的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC边上取点E，并沿PE、DE修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（）尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．19.如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，点在轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点．（1）点的坐标为________；（2）当时，二次函数的最大值是8，求的值；（3）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，点的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？20.如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；21.已知二次函数yx2＋bx＋c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式．（2）如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．（3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（-1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ

①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．23.如图，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点.（1）如图1，若点P与点D重合，连接AP，则AP与BC的位置关系是；（2）如图2，若点P在线段BD上，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，则CF，BE和EF这三条线段之间的数量关系是；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE的延长线交直线AD于点M，求证：CP=AM；（4）如图4，已知BC=4，若点P从点B出发沿着BC向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为，线段CF的长度为，试求出点P在运动的过程中的最大值.

2022年中考数学复习动态问题综合练习参考答案1.如图，已知，点是以线段为弦的圆弧的中点，，点，分别是线段，上的动点，设，，则能表示与的函数关系的图像是（）A.B.C.D.【答案】解：延长DC交AB于点H，∵点是以线段为弦的圆弧的中点，∴，且，∴，∴在和中，，，∴，∴，即，整理，得，∴可知与的函数为二次函数，其图像为抛物线，开口向下，且经过原点．故选：A．2.如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标可能是（）A.（，） B.（2，3） C.（4，3） D.（4，3）【答案】解：如图，连接PD．∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，∵点E是AB的中点，∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，在Rt△AED中，，∴PB+PE的最小值为，∴点Q的纵坐标为，∵AE∥CD，∴，∵，∴，∴点Q的横坐标为，∴．故选：D3.如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（）A. B.C. D.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵∠ABE=∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠BEC=90°，

∴点E在以BC为直径的半圆上移动，

如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，

连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE=4，

∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，

∴OG=12，（勾股定理），∴，∴PD+PE的长度最小值为，故选D．4.如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，，点是上的一个动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】解：连接AD与OC相交于点P，连接BD，OD，如图：∵，点O是AB的中点，∴OC垂直平分AB，∴AP=BP，∴的最小值为AD的长度；∵AB为直径，则∠ADB=90°，∵∠BOC=90°，，∴∠BOD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=，∴；∴的最小值为；故选：A．5.如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当Q到达终点时，P停止移动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是()A. B.C. D.【答案】解：当0≤t≤1时，，∴该图象y随x的增大而减小，当1＜t≤2时，，∴该图象开口向下，当2＜t≤3，，∴该图象开口向下，故选：C．6.已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）A. B.C.周长的最小值是 D.是的一个根【答案】解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；B、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴x=3时，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵抛物线开口向下，则a<0，∴0＞a>-，故B正确；C、点A关于x=1对称点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BA´与直线x=1的交点即为点P，则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，∴AB=，BA´=，即△PAB周长的最小值为+，故C错误；D、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．故选C．7.如图，中，，，点为动点，连接、，始终保持为，线段、相交于点，则的最大值为__________．【答案】解：由题意，设，则，，在和中，，，，即，解得，则，令，则，整理得：，关于的一元二次方程有实数根，方程根的判别式，即，令，解得，由二次函数的性质可知，当时，，则的最大值为，即的最大值为，故答案为：．8.如图，矩形ABCD中，AB=2cm，AD=5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为_____．【答案】解：设△PCD的面积为y，由题意得：AP=t，PD=5-t，∴y=CD•PD=×2×(5−t)=5-t，∵四边形EFPC是正方形，∴S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，∵PC2=PD2+CD2，∴PC2=22+（5-t）2=t2-10t+29，∴S△DEF=（t2-10t+29）-（5-t）=t2-4t+=（t-4）2+，当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．故答案为：．9.如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是__．【答案】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．①当D与B对应时，有ADE∽ABC．∴AD：AB＝AE：AC，∴t：6＝（12﹣2t）：12，∴t＝3；②当D与C对应时，有ADE∽ACB．∴AD：AC＝AE：AB，∴t：12＝（12﹣2t）：6，∴t＝4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故答案为：3秒或4.8秒．10.在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，（1）当时，________；（2）取的中点，连接、，则的最小值为________．【答案】（1）解：如图作FH⊥BD于点H，作AG⊥BC于点G，∵△ABC为等边三角形，∴∠C=60°，∴，∴，∵，，∴DE=BC－BD－EC=6－2－2=2，∵∠B＝60°，∴△BDF为等边三角形，∴，∴，∴，故答案为：．（2）解：作GH⊥AB于H，设CH为x，则AH为（6-x），连接BG，BG，设GH=h，则，，而CG＋GA最小时，，，且当时取等号，∴时，CG＋GA取最小，则GH在△ABC的中线上，即B，G，H三点共线，若要B，G，H三点共线，且G为EF中点，有且只有当GF∥AC时成立，此时DF，GF重合，又∵BD=EC，∴此时BD=EC=3，此时，且FE为△ABC中线，∴，∴，∴，∴，∴GC＋AG最小为，故答案为：．11.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，（1）若2是此函数的不动点，则m的值为____．（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为________．【答案】（1）由题意得2=22+3×2+m，解得m=-8，故答案为-8；（2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根，且a＜1＜b，整理，得：x2+2x+m=0，由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下：则，解得m＜-3，故答案m＜-3．12.在等边三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的动点，F是AB上的动点，且BF=BD=EC=k，连接FE（1）当k=2时，S△DEF：S△ABC=_______；（2）取EF的中点G，连接GA、GC，则GA+GC的最小值为________【答案】（1），S△BFD：S△ABCS△DEF：S△ABC=1：9（2）如图，作关于的对称点，连接，则当三点共线时，取得最小值，此时为的中位线，为中点，.，即的最小值为故答案为：1:9，13.如图，在正方形ABCD中，点F是边DC上一个动点，连接BF，在其上取一点E，使得AE=AD，AE与BD交于点G．解答下面问题：（1）如图（1），探究大小是否为定值，如果是，则求出；如果不是，则说出理由；（2）如图（2），若正方形的边长为2，当时，求DF长；（3）如图（3），连接EC，若，求证：．【答案】（1）解：∠DEF为定值，∠DEF＝45°，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵AE＝AD，∴AD＝AB＝AE，∴D、E、B在以A为圆心，AD为半径的圆上，∴∠DBE＝∠DAE，∠BDE＝∠EAB，∴∠DEF＝∠DBE+∠BDE＝∠DAE+∠EAB＝（∠DAE+∠EAB）＝∠BAD＝45°，即∠DEF大小为定值45°；（2）解：由（1）得：∠DBE＝∠DAE，∠DEF＝∠DBE+∠BDE＝45°，∵∠BDE＝∠DAE，∴∠DBE＝∠DEF＝15°，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝2，∠BCD＝∠ABC＝90°，∠DBC＝∠ABC＝45°，∴∠FBC＝∠DBC﹣∠DBE＝45°-15°＝30°，∴CF＝BC＝，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣；（3）证明：如图所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCF＝∠ADC＝90°，∠BDF＝∠ADC＝45°，由（1）得：∠DEF＝45°，∴∠BDF＝∠DEF，又∵∠DFB＝∠EFD，∴△BDF∽△DEF，∴＝，即DF2＝BF•EF，∵EC⊥BF，∴∠CEF＝90°，∴∠CEF＝∠BCF，又∵∠CFE＝∠BFC，∴△ECF∽△CBF，∴＝，∴FC2＝BF•EF，∴DF2＝FC2，∴DF＝FC14.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，AC平分．且，．（1）求证：；（2）若点P为线段CE上一动点，当与相似时，求EP的长．【答案】（（1）证明：连接OC，∵，∴，又∵AC平分，∴，∴，∴∥，又∵DE是⊙O的切线，∴，∴；（2）解：连接BC，∵AB⊙O直径，∴，又∵，，∴，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，，①当∥时，，∴，即，∴；②当点P与点C重合时，，∴；综上：当与相似时，或．15.小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标．（1）请求出b和n的值；（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接，当点P的坐标为何值时？的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）由题意可知解得：（2）解得当时为原点，舍去将代入得∴点M的坐标为（3）过P点做y轴的平行线，交线段于Q．∵M的坐标为∴直线OM的解析式为：∴设∵，抛物线开口向下，∴当时，点P的坐标为时，的面积最大，最大面积为．16.抛物线yx2+kx+c过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求点C、D的坐标．（2）点E是线段OB上一动点，过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM．若△AEM的面积是△MON面积的2倍，求点E的坐标；（3）抛物线上一点T，点T的横坐标是﹣3，连接BT，与y轴交于点P，点Q是线段AT上一动点（不与点A，点T重合）．将△BPQ沿PQ所在直线翻折，得到△FPQ．当△FPQ与△TPQ重叠部分的面积是△TBQ面积的时，求线段TQ的长度．【答案】（1）解：把A（﹣1，0）和点B（3，0）代入yx2+kx+c得：，解得，∴抛物线解析式是yx2+x，在yx2+x中，令x＝0得y，∴C（0，），∵yx2+x（x﹣1）2+2，∴顶点D（1，2），答：C坐标是（0，），顶点D坐标是（1，2）；（2）如图：设E（m，0），（0＜m＜3），则M（m，m2+m），设直线BM解析式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线BM解析式为y（m+1）x（m+1），在y（m+1）x（m+1）中，令x＝0得y（m+1），∴N（0，（m+1）），∵AE=m+1，∴S△MONON•mm（m+1）m（m+1），S△AEMAE•yM（m+1）（﹣m2+m），∵△AEM的面积是△MON面积的2倍，∴（m+1）（﹣m2+m）＝2m（m+1），化简整理得：m2+4m﹣3＝0，解得m＝﹣2（舍去）或m＝﹣2，∴m＝﹣2，∴E（﹣2，0）；（3）∵抛物线上一点T，点T的横坐标是﹣3，∴T（﹣3，﹣6），设直线BT解析式是y＝k2x+b2，∴，解得，∴直线BT解析式是y＝x﹣3，当x＝0时y＝﹣3，∴P（0，﹣3），过T作TG⊥y轴于G，则TG＝3，PG＝3，∴TP3，又BP3，∴BP＝TP，∴P是线段BT的中点，∴S△BPQ＝S△TPQ，∵△BPQ沿PQ所在直线翻折，得到△FPQ，∴S△FPQ＝S△BPQ＝S△TPQ，①当F在BT下方时，设FQ、PT交于M，如图：△FPQ与△TPQ重叠部分是△PQM，连接FT，∵S△PQMS△BTQ，∴S△PQMS△TPQS△FPQ，∴MT＝MP，MQ＝MF，∴四边形QTFP是平行四边形，∴TQ＝PF，∵PF＝BP，∴TQ＝BP＝3；②当F在BT上方时，设FP与TQ交于N，△FPQ与△TPQ重叠部分是△PQN，连接FT，如图：同理可得四边形FTPQ是平行四边形，∴QF＝TP＝BP，∵QF＝BQ，∴BQ＝BP＝3，设直线AT解析式为y＝k3x+b3，∴，解得，∴直线AT解析式为y＝3x+3，设Q（t，3t+3），（﹣3＜t＜﹣1），BQ3，解得t＝0（舍去）或t，∴t，∴Q（，），∴TQ，综上所述，TQ的长度是3或．17.如图1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝_____秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？【答案】（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，∴∠DCF＝∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC，在△DCF和△BCE中，,∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF＝BE；（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB＝6，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，∴AB＝x＝6，x＝6，则AE′＝6∴DE′＝6+6，DF＝BE′＝12，时间t=6+6，故答案为：6+6，12；（3）∵CE＝CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP＝90°时，如图2①，∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，∴∠CBD＝∠CEF，∵∠BPC＝∠EPQ，∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∵AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴DE＝6，∴t＝6秒；②当∠EPQ＝90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE＝6，∴t＝6秒，综上所述，t＝6秒或6秒时，△EPQ直角三角形．18.（1）【问题提出】如图1，在矩形ABCD中，，，点E为AD的中点，点P为矩形ABCD内以BC为直径的半圆上一点，则PE的最小值为______；（2）【问题探究】如图2，在中，AD为BC边上的高，且，点P为内一点，当时，求的最小值；（3）【问题解决】李伯伯家有一块直角三角形菜园ABC，如图3，米，，，李伯伯准备在该三角形菜园内取一点P，使得，并在内种植当季蔬菜，边BC的中点D为菜园出入口，为了种植方便，李伯伯打算在AC边上取点E，并沿PE、DE修两条人行走道，为了节省时间，要求人行走道的总长度（）尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：取BC的中点F，连接EF、PF，如图1所示，∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是AD、BC的中点，∴四边形ABFE为矩形，，，，，当且仅当E、P、F三点共线时，PE取最小值，此时，故答案为：7；（2）解：作AD的垂直平分线l，如图2．∵，∴点P到BC的距离等于，∴点P在内直线l上．作点B关于直线l的对称点，连接、、，交直线l于点，连接，则，，，∴．∵，∴当点P在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．∵，，，∴．∴为等腰直角三角形，∴，即的最小值为．图2（3）解：如图3，作点D关于AC的对称点，连接交AC于点E，则，∴，∴当点P、E、共线时，取得最小值，∴当取得最小值时，的值最小．以AB为边向左作等边，作的外接圆⊙O，连接OB、OP、如图3．∵，，∴点P劣弧上运动，连接交⊙O于点，则．∵，，∴，即的最小值为的长．∵⊙O为等边的外接圆，∴BO平分∠ABM，∴．又∵，∴．∵米，，，∴米，∴易得米，米，∴（米），∴（米）．即的长度存在最小值，最小值为米．19.如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，点在轴上，点在轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点．（1）点的坐标为________；（2）当时，二次函数的最大值是8，求的值；（3）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，点的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？【答案】（1）∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为（2，-1），∴当时，，∴P（2，1），故答案为（2，1）；（2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数的值随的增大而减小，∴二次函数的最大值是8，即，解得，，，，（舍去），∴；（3）在抛物线上，，，，∴当时，的值最小，最小值是．20.如图，抛物线y=ax2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；【答案】（1）解：在y＝ax2−2ax−3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2−2ax−3a＝0，解得：x1＝3，x2＝−1，∴A（−1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，−3），∴−3a＝−3，∴a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2−2x−3；（2）解：∵OB＝OC＝3，OA＝1，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AB＝4，BC＝，∵PM⊥x轴，∴PM∥y轴，∴∠CPM＝∠OCB＝45°，∴∠CPM＝∠OBC，分情况讨论：①当△PCM∽△BAC时，设直线BC解析式为y＝kx＋b，代入B（3，0），C（0，−3）得：，解得：，∴直线BC解析式为：y＝x−3，设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），∴PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝，∵△PCM∽△BAC，∴，即，整理得：，解得：或（舍去），当时，m−3＝，∴此时P的坐标为（，）；②当△PCM∽△BCA时，则有，由①可得，整理得：，解得：或（舍去），当时，m−3＝，∴此时P的坐标为（，）；综上所述：当△PCM和△ABC相似时，点P的坐标为（，）或（，）；（3）解：分三种情况讨论：①当点P在线段BC上时（不与B，C重合），由（2）可知直线BC解析式为：y＝x−3，设点M的坐标为（m，m2−2m−3），则P的坐标为（m，m−3），PM＝m−3−（m2−2m−3）＝−m2＋3m，PC＝，∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y轴，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴，整理得：，解得：，m2＝0（舍去），当m＝时，m−3＝，∴此时P的坐标为；②当点P在线段CB的延长线上时，由（3）中情况①可知：PM＝m2−2m−3−（m−3）＝m2−3m，PC＝，∵PC＝PM，∴，整理得：，解得：，m2＝0（舍去），当m＝时，m−3＝，∴此时P的坐标为；③当点P在线段BC的延长线上时，点P的对应点N不可能落在y轴上，故此情况不存在；综上所述：当点P的对应点N恰好落在y轴上时，点P的坐标为或．21.已知二次函数yx2＋bx＋c的图象与x轴交于A（1，0）和B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式．（2）如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．（3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：把A（1，0）和B（-3，0）代入y=x2+bx+c得：，解得，∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-3；（2）解：令x=0，则y=-3，∴C（0，-3），∴OB=OC=3，则△BOC是等腰直角三角形，∴∠BOC=45°，根据题意，AD=t，BD=4-t，BE=t，当∠BDE=90°时，△BDE为直角三角形，此时BE=BD，即t=(4-t)，解得：t=2；当∠BED=90°时，△BDE为直角三角形，此时BD=BE，即4-t=×t，解得：t=；综上，当△BDE为直角三角形时，求t的值为2或；（3）解：y=x2+2x-3=(x+1)2-4，∴抛物线的对称轴为x=-1，设直线AC的解析式为y=kx-3，把A（1，0）代入得：k-3=0，∴k=3，∴直线AC的解析式为y=3x-3，当x=-1时，y=-6，∴抛物线的对称轴与直线AC的交点F的坐标为（-1，-6），设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则AH=2，FH=6，AF=，过点Q作QG⊥AC于点G，由题意知QH=QG，设QH=QG=n，∴Rt△FAH∽Rt△FQG，∴，当点Q在原点上方时，FQ=6+n，当点Q在原点下方时，FQ=6-n，∴或，解得：n=或n=∴点Q的坐标为（-1，）或（-1，）.22.如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（-1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC

（1）求这个二次函数的