2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区九年级（上）期中数学试卷一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确答案的代号字母填入答题卷）1．（3分）一元二次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，其中一次项系数是（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣22．（3分）二次函数y＝4（x﹣3）2+7的顶点为（）A．（﹣3，﹣7） B．（3，7） C．（﹣3，7） D．（3，﹣7）3．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）4．（3分）下面有4个汽车标致图案，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠2 D．k＜16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．57° B．60° C．67° D．77°7．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝818．（3分）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣39．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y210．（3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．-74 B．3或-3 C．2或-3 D．2二、填一填、看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将你的答案写在处）11．（3分）方程x2＝4的解为．12．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．13．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝cm．14．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为个．16．（3分）如图（1）在等边三角形△ABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，4），则图象最低点的纵坐标是．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）已知二次函数y=-12x2+x+32，一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m18．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，求证：CD＝2AB．19．（8分）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是．（2）当x满足时，y随x的增大而增大．（3）当x满足时，函数值大于0．（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是．20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形ABCD的四个顶点都是格点，点E也是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，按步骤完成下列问题．（1）将线段BE绕B点逆时针旋转90°，点E的对应点为F，画出线段BF；（2）画线段EF的中点G；（3）连接BG，并延长交CD于点H，直接写出CH的长．21．（8分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E，将△CBA绕点C顺时针α°旋转得到△CDF．（1）求证：∠CAB＝∠CAD．（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．22．（10分）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中以AB为边在正方形内构造等边△ABE，等边△ABE边AE交正方形对角线BD于F点，求证：BFFD（2）将等腰Rt△BEF绕B点旋转至如图2的位置，连接DE，M点为DE的中点，连接AM、MF，求MA与MF的关系；（3）如图3，将等腰Rt△BEF绕B点旋转一周，若EF＝4，AB＝1，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为．24．（12分）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于C；（1）如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3，①求抛物线的解析式；②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P点横坐标的取值范围；（2）如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA、QB分别交y轴于点D，E，判断CD：DE的值是否为定值．说明理由．

2021-2022学年湖北省武汉市东西湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选一选，比比谁细心（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把正确答案的代号字母填入答题卷）1．（3分）一元二次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，其中一次项系数是（）A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2【解答】解：化为一般式为：3x2﹣6x+1＝0∴故一次项系数为﹣6，故选：B．2．（3分）二次函数y＝4（x﹣3）2+7的顶点为（）A．（﹣3，﹣7） B．（3，7） C．（﹣3，7） D．（3，﹣7）【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故选：B．3．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（）A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）【解答】解：点（﹣3，﹣1）关于原点的对称点的坐标为：（3，1）．故选：A．4．（3分）下面有4个汽车标致图案，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．5．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）A．k＞1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠2 D．k＜1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4+4（k﹣2）＞0，解得k＞﹣1，∵k﹣2≠0，∴k≠2，∴k的取值范围k＞﹣1且k≠2，故选：C．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．57° B．60° C．67° D．77°【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠B＝∠AB'C'，∴△ACC'是等腰直角三角形，∴∠ACC'＝45°，∴∠AB'C'＝∠ACC'+∠B'C'C＝45°+32°＝77°，∴∠B＝77°，故选：D．7．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．100（1﹣x%）2＝81 D．100x2＝81【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100（1﹣x）2＝81．故选：B．8．（3分）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的新抛物线的解析式为y＝3x2，则平移前的抛物线解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x﹣2）2﹣3 D．y＝3（x+2）2﹣3【解答】解：y＝3x2，此抛物线的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移3个单位再向右平移2个单位所得对应点的坐标为（2，﹣3），所以原抛物线解析式为y＝3（x﹣2）2﹣3．故选：C．9．（3分）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3 B．y1＞y2＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＝y2【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象的对称轴为直线x=-2而P1（﹣1，y1）和P2（3，y2）到直线x＝1的距离都为2，P3（5，y3）到直线x＝1的距离为4，所以y1＝y2＞y3．故选：A．10．（3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．-74 B．3或-3 C．2或-3 D．2【解答】解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜﹣2时，x＝﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m=-74，与m＜﹣2②当﹣2≤m≤1时，x＝m时，二次函数有最大值，此时，m2+1＝4，解得m=-3，m③当m＞1时，x＝1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝2，综上所述，m的值为2或-3故选：C．二、填一填、看看谁仔细（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将你的答案写在处）11．（3分）方程x2＝4的解为x1＝2，x2＝﹣2．【解答】解：开方得，x＝±2，即x1＝2，x2＝﹣2．故答案为，x1＝2，x2＝﹣2．12．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为5．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝5，故答案为5．13．（3分）如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1cm，则BF＝2+2cm【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC＝1cm，∴DE=2EM=2由旋转的性质可知：CF＝CE＝1cm，∴BF＝BC+CF＝CE+DE+CF＝1+2+1＝2+故答案为：2+214．（3分）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为x（20﹣x）＝64．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，∵长方形的周长为40cm，∴宽为＝（20﹣x）（cm），得x（20﹣x）＝64．故答案为：x（20﹣x）＝64．15．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为3个．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c＝2，∵抛物线的对称轴为直线x=-b∴b＝2a，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．综上所述，共有3个正确结论，故答案为：3．16．（3分）如图（1）在等边三角形△ABC中，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，4），则图象最低点的纵坐标是23【解答】解：∵图象过点（0，4），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝4，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝2，由点到直线的距离，垂线段最短可知，当AD=12AB时，y即图象最低点的纵坐标是23故答案为：23三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）已知二次函数y=-12x2+x+32，一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m【解答】解：∵二次函数y=-12x2+x+32经过点A∴m=-12×9+（﹣3又∵一次函数y＝kx+6的图象经过点A（﹣3，m），∴m＝﹣3k+6，即﹣6＝﹣3k+6，解得，k＝4．∴m和k的值分别是﹣6、4．18．（8分）如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，求证：CD＝2AB．【解答】证明：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△EBD，∴BC＝BD，∠CBD＝60°，∴△CBD是等边三角形，∴CD＝BD，∴CD＝2AB．19．（8分）如图，利用函数y＝x2﹣4x+3的图象，直接回答：（1）方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3．（2）当x满足＞2时，y随x的增大而增大．（3）当x满足x＜1或x＞3时，函数值大于0．（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8．【解答】解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝1或x＝3，故方程x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3，故答案为：x1＝1，x2＝3；（2）由图象可得，当y＝0时，x＞1+32=2时，y故答案为：＞2；（3）由图象可得，当x＜1或x＞3时，函数值大于0，故答案为：x＜1或x＞3；（4）由图象可得，函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x=1+32=2，当x＝2∴当0＜x＜5时，x＝2取得最小值﹣1，x＝5时y的值为8，即当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣1≤y＜8，故答案为：﹣1≤y＜8．20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形ABCD的四个顶点都是格点，点E也是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，按步骤完成下列问题．（1）将线段BE绕B点逆时针旋转90°，点E的对应点为F，画出线段BF；（2）画线段EF的中点G；（3）连接BG，并延长交CD于点H，直接写出CH的长．【解答】解：（1）如图所示，线段BF即为所求；（2）如图所示，连接EF，根据矩形的性质可知对角线的交点即为点G；（3）如图，在Rt△FED中，EF=D∵G是EF的中点，∴FG=1∵∠FGH＝∠D＝90°，∠GFH＝∠DFE，∴△GFH∽△DFE，∴GFDF∴342∴FH=17∴CH＝HF﹣CF=17∴CH的长为12521．（8分）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E，将△CBA绕点C顺时针α°旋转得到△CDF．（1）求证：∠CAB＝∠CAD．（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．【解答】（1）证明：∵将△CBA绕点C顺时针α°旋转得到△CDF．∴∠CAB＝∠CFD，∠ABC＝∠CDF，AC＝CF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠CDF＝180°，∴点A，点D，点F三点共线，∵AC＝CF，∴∠CFD＝∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD；（2）解：∵∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，∴AD=AB2如图，过点D作DH∥AB交AC的延长线于H，∴∠H＝∠BAC，∴∠DAC＝∠H，∴AD＝DH＝5，∵AB∥DH，∴△ABE∽△HDE，∴BEDE∴S1：S2=BE22．（10分）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该服装店销售这批秋衣日获利W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？【解答】解：（1）设y＝kx+b，根据题意得：60k+b=8050k+b=100解得：k＝﹣2，b＝200，∵球衣进价为30元，销售单价不高于每件60元，∴30≤x≤60，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）由题意得：W＝（x﹣30）y﹣450＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450，∴W与x之间的函数关系式为W＝﹣2x2+260x﹣6450；（3）W＝﹣2x2+260x﹣6450＝﹣2（x﹣65）2+2000，∵﹣2＜0，∴x＜65时，W随x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值，最大值为1950，∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，最大值为1950元．23．（10分）（1）如图1，正方形ABCD中以AB为边在正方形内构造等边△ABE，等边△ABE边AE交正方形对角线BD于F点，求证：BFFD（2）将等腰Rt△BEF绕B点旋转至如图2的位置，连接DE，M点为DE的中点，连接AM、MF，求MA与MF的关系；（3）如图3，将等腰Rt△BEF绕B点旋转一周，若EF＝4，AB＝1，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为42π．【解答】（1）证明：如图1中，过点F作FH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，∴∠ABD＝45°，∠BAF＝60°，设AH＝m，则FH＝BH=3m∴AB＝m+3m＝（1+3）∴BD=2AB＝（2+6）m，BF=2∴DF＝BD＝BF=2m∴BFDF（2）解：结论：MA＝MF，MA⊥MF．理由：如图2中，延长AM到T，使得MT＝MA，连接ET，FT，AF，延长TE交AB的延长线于点H，设BF交EH于点J．∵AM＝MT，∠AMD＝∠TME，MD＝ME，∴△AMD≌△TME（SAS），∴∠DAM＝∠MTE，AD＝ET，∴AD∥TH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴AB＝ET，∴∠H＝180°﹣∠BAD＝90°，∵∠H＝∠EFJ＝90°，∠HJB