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一元二次方程的实根分布问题一元二次方程的实根分布问题一元二次方程的实根分布问题xxx公司一元二次方程的实根分布问题文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度一元二次方程的实根分布问题问题1.试讨论方程的根的情况。根的个数：b、c满足什么条件时，方程有两个不等的实根相等实根无实根根的大小：b、c满足什么条件时，方程有两个正根两个负根一正根、一负根一根为0根的范围：b、c满足什么条件时，方程两根都大于1都小于1一根小于1，一根大于1说明对于一元二次方程的根的研究，主要分为四个方面（A）有没有实数根；（B）有实数根时，两根相等还是不等；（C）根的正负；（D）根的分布范围。利用根的判别式，可以解决（A），（B），结合运用韦达定理，可以解决（C）。而要解决（D），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。思路1（方程思想）设方程有两个大于1的实根的充要条件是：方程有两个小于1的实根的充要条件是：方程有一根大于1，一根小于1的充要条件是思路2（函数思想）设，结合图形，则（1）方程有两根都大于1的条件是：方程有两根都小于1的条件是：方程有两根一个大于1，小于1的条件是：令，导出下题。问题2关于x的方程，分别在下列条件下，求实数n的取值范围。（1）有一个根小于—1，一个根大于1；（2）两根均在内。解：（1）设为使有一个根小于—1，一个根大于1，则有即为所求。（2）两根均在内的充要条件是即为所求。思考：（1）中为什么不考虑（2）中为什么要考虑四个条件，缺一行吗问题3若关于x的方程有两个不同的实数根，且只有一根在[1，2]内，求a的取值范围。解：令，若方程在（1，2）上有一根。若，此时a=8,方程的两根为适合题意。若，此时a=4，方程的两根为不适合题意。综上所述，a的取值范围是说明：在进行一元二次方程根的讨论时，一定要注意是在方程有实根的前提下进行的，所以“≥0”千万不可漏掉，对于一元二次方程根的讨论，通常有以下几种情况：（1）有两个正根的条件是（当a＞0时，简化为）（2）有两负根的条件是（当a＞0时，简化为）（3）两根异号的条件是＜0a＞0，简化为c＜0．（4）两根异号，且正根绝对值大的条件是（当a＞0时，简化为）（5）两根异号，且负根绝对值大的条件是（当a＞0时，简化为）例4如果关于x的方程＋3x＋5m＝0的两个实数根都小于1．求实数m的取值范围．分析：我们知道，两数、都为负数的条件是，那么是不是，就可由来决定呢不，不能．我们通常是将，，转化为，，从而由来解决．解：设原方程的两个根为、，则+=，·=m由题意，知﹤1，﹤1，∴－1﹤0，－1﹤0∴（－1）（－1）﹥0，·－（+）+1﹥0，m++1﹥0∴m﹥－1又∵△=9－4×2×5m=9－40m≥0∴m≤，∴∴－1﹤m≤说明：利用根与系数的关系确

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