热力学与统计物理

填空题（共40分）1.N个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr）,系统的状态可以用（2Nr）维「空间中的一个代表点表示。2对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为Q,则每一微观状态出现的概率为（1/Q）,系统的熵为）。(klnQ）。玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0WfsW1。玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件（或e-a<<1）或ea>>1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。dU二工addU二工ade+5.i11 111给出内能变化的两个原因，其中（da）1 1项描述传热,（工ade）项描述做功。项描述传热,11=(0)。06.对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色一一爱因斯坦凝聚）。这时系统的能量U=（0），压强p=（0），=(0)。000,粒子的平均能量为（2kT—7.已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为e二—（p2+p2+p2）+ax2,粒子的平均能量为（2kT—2mxyzbz/4a）。当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。如果系统的分布函数为P，系统在量子态s的能量为E，用P和Es _ \、 s s s表示：系统的平均能量为（E二ZpE），能量涨落为ss（Ep（E-E）2）（如写成E2-（E）2也得分）。10.与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数P具有特点（dP/dt=0或与时间无关等同样的意思也得分），同时P也满s s足归一化条件。二.计算证明题（每题10分，共60分）1.假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0,3,23,,000,33,。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，问：,000,（1）与总能量33相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（2） 根据公式Q{a^=~N-口®a计算每种分布的微观态数Q；1na!111（3） 确定各种分布的概率。解：能级：£， £， £， £，…12 3 4能量值： 0，3，23，33，…

简并度:1，1，1，1,…分布数：ai，a2，a3，a4,分布｛a｝要满足的条件为：工a=N=6满足上述条件的分布有：简并度:1，1，1，1,…分布数：ai，a2，a3，a4,分布｛a｝要满足的条件为：工a=N=6满足上述条件的分布有：A：B：C：{a}={3,3,0,0,0,...}i0A=歸1=6；6!各分布对应的微观态数为：0B=命X1=30；6!0C=丽X1=20所有分布总的微观态数为：0=0+0+0=6+30+20=56ABCp=0/0=6/56=0.107;

A A各分布对应的概率为：p=0/0=30/56=0.536;B Bp=0/0=20/56=0.357;CC2•表面活性物质的分子在液面(面积为A)上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m,总粒子数为N。m,(1)求单粒子的配分函数Z；1(2)在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x到x+dx，y到y+dy内，动量在p到p+dp，p到p+dp内的分子数dN；y(3)写出分子按速度的分布;(4)写出分子按速率的分布。解:(1)单粒子的配分函数z=丄刖1h2Ae-卫（Px2+Py2）dxdydpdP=—（2兀mkT）xy h22）dN=e-（«+Ps） xa=——e-Psh2 Z1dxdydpdpxyh2(3)将(1)代入(2)，dxdydpdpxyh2mdN一=N( )e-忑(v2+v2)dvdvv 2兀kT xyxy(4)有(3)可得分子按速率的分布为：m mv2 m mv22兀N（ ）e"2kTvdv=N（ ）e一2kTvdv2兀kT kT=一£，103.定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级££=£，其中£大于零且为外参量=一£，10200温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明

在极端高温和极端低温时粒子数比的特点;系统的内能和热容量;极端高温和极端低温时系统的熵。解：(1)单粒子的配分函数为：Z e-psl=e-P&]+e-Ps2二eps0+e-ps01epseps0处于基态的粒子数为：N二二N1Z ePs0+e-Ps01处于激发态的粒子数为：N=—e-Ps2=N丝;2Z ePs0+e—Ps01温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为:N=e-卩£0=e一N ePe0 勺1 ekT极端高温时：£极端高温时：£《kT,0即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同;极端低温时：£0极端低温时：£0kT,即粒子几乎全部处于基态。的内e—Ps的内e—Ps0―ePs00e—Ps0+ePs0热容量：cv=(罟)v=—击喘)v=欝e—Ps—ePs1—(- 0 -5)2e—ps0+eps0(2)qlnz 3U二一N十二一N ln(ePs0+e-P&0)二Ns3P 3p(3)极端高温时系统的熵：S=kInQ=kln2N=Nkln2极端低温时系统的熵：S=04•对弱简并的非相对论费米气体，求:粒子数分布的零级近似f与一级修正项Af；01证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e七。解：费米气体分布函数为：f= 1ea+肽+解：费米气体分布函数为：f= 1ea+肽+1f=e-a—Ps1+e—a—Ps/.f=e—a—Ps,Af=—e—2a—2Ps01D(s)ds=CVs2dsAN=fAJ下=ae_^-肽(1—e_^-肽)=e-a~P£—e-2a-2psD(s)ds fe—2a—2Ps= OCe—ae-a-PsCVs2dsfD(s)ds f0AU_f网I~UsD(s)dsxe—afsD(s)ds0金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n.(1)简述：T=0K时电子气体分布的特点，并说明此时化学势叽的意义;£=—R 2⑵证明：T=0K时电子的平均能量050，简并压强P0=尹；T=0K卩0 T=0K卩0 £(1)u表示T=0K时电子的最能量。电子从£=0的能级开始，先占据低能级，然后占据咼能级，遵从泡利不相容原理。f=1(e<u)；f=00JR0£2d£3= =7卩I1 [ 1 50JR0CV£JR0£2d£3= =7卩I1 [ 1 50JR0CV£2d£J%£2d£0023 2=Rn=Rn350 50⑵0NJ%fD(£)d£02U2UN2

p= = =—£n0 3V3NV30⑶T〉OK时：门-(s<pi)；f二-(£=»)；/〈丄(£〉卩)TOC\o"1-5"\h\z^2 ^2 ^2T>0K时，只有在u附近kT量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为N，则N=NkT。每一电子对C的eff eff R V贡献为3kT/2,则金属中自由电子对Cv的贡献为小3,“ 3kkT3NkIT3Nk 3Nk 、Ce=kXN=N= ()= ( )= ()V2eff2R2R2kT2Tf fCe1T晶格的热容量为Cv=3Nk，C—= —t0(T:104-105)C2TfV f6•固体的热运动可以视为3N个独立简正振动，每个振动具有各自的简U=U+工 i—正频率si，内能的表达式为： 0;e^/kT-1，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。(1)写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解：(1)爱因斯坦模型：N个分子的振动简化为3N