《工程数学》形成性考核册作业答案

《工程数学》形成性考核册作业答案《工程数学》作业题参考答案一、 填空题（每小题3分，共18分）i=5,k=4；TOC\o"1-5"\h\z40；国z;吒另告£-的与一3。；_,2:充分。1.16：2■:r=n,r1（）.-17;11.-l<i<1o二、 简答题（每小题4分，12分）举出任何反例皆可。当AB=BA时，^^U+5）3=A2+2^+S3一定不为零。若A的特征值H=Q，则存在£#0使得版=衣=6，即方程依=0有非零解，所以|A|=0,即A不可逆，与己知矛盾。不相似。否则有可逆阵C使C-1AC=B,即人=8,矛盾。分别是㈣=・14叶屮1圓=14（4分）。不相似（2分）。否则，存在可逆阵C使C-1AC=B,即人=日，矛盾（2分）。MB一定为正定阵因为4欢正走阵所以血耳宣日記赤〉oy友>。，从而+ 所以A+B一定为正定阵。三、 计算题（一）（每小题8分，共32分）值为120（答案错误可适当给步骤分）。解：由+泌+里化简得以-叫=（4-£«£）,201\A-E\=-l^A-E可逆，所以x= 030c

X(I*t)•l漩一耕身b?乱乌*^t-*m*旳曲*q泉（I）•lfe+r)cQ-r)=ff¥r^W^WW«:湖-i(;此计'&机龍W母)(_)®M44oto=j+y=xY310'頤也'8顔-呼E=p-祈‘（g+v）a-v）=x（a-v）哥鳳矛》+田=7+打甲'8，顷g）（”：（£）:I0，顷g）（”：（£）:I0(2)。乙靈4I形垒'(Z-40)(I)'L。臨法翼丹部（亡刊=aw）：［号=i/I⑴的铲'応］“-蜜*舜斟晋七虹甲='朮:］T:卜，却勇谄考由陣：瓣t。（濫最晚31W站準）剧渓生我案¥轡力一华也〈叨v叨建％也淬（2） 当2=1时，原方程组的三个方程成为吒十9十马二1，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1,所以方程组有无穷多解，其解为厶=1I,*0弓」0（、"毛为任意实数）或写为吒=1一气一马石为qL°JLiJL°J任意实数）。（3） 当1=-2时，A（4）=2^jr（4）=3,此时原方程无解。解：（1） 因初一4=（“野|/一（"以*3缶-1）1迎-同=（4-2）寸-3）,A与B相似，故A与B有相同的特征多项式，即顾：-4二|招-询，解得a=5,"6（2） 当人=2时，求解齐次方程组（2E-^x=0,其基础解系为4*妙名2（疗当2=6时，求解齐次方程组（硒-力乒=0,其基础解系为4=a-纣111■令p=ta.«,«J=-10-2,则有使宀尸=矿、0 1 3解：方程组的系数得列式与二（!-驴G+2）（3） 当即2。圾2日-2吋，方程组有惟解；141 1 （4+n,= =f*'=-TTT-（4） 当;1=1时，原方程组的三个方程成为吒+吃十。=1其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等均为1,所以方程组有无穷多解，F[_11 「1] rr其解为「=1。右十。（〜.玉为任意实数）xjL0J1 [o或写为吒=1-与（孔玉为任意实数）（5） 当2=-2时，/t（4）=2*/（^0=3,此时原方程无解。特征值2=-9,9,18。所求正交阵是「-1-22-2-2-1o2 12五.证明题(每小题7分，共14分)证明：由广・立『得『・|』广.故|』,卜|虹-&■|4「t驴。，所以#可逆。由》=&不，左乘A得E= '所以5，T=j4证明：必要性反证法，设。属;皿线性相关，则有不全为零的数K谿电，使得了可由..%皿线性表出，设表示式为詞4■玷普…久=P两式相加得：(七+衍，(处+&)乌+…H虹+E)q二后因炽匕...伫不全为零，故效效...无与作+届火+效…思+E是两组不同的数，这与列由瓦，么广•，辺线性表示且表示法惟一矛盾。・充分性；设D有两种表示7k.a.+七日，+・・・+妃』.=阡•ik.a.十k、&、+・一十妃4.=则两式相减，得，监-居词+(fc-虹跷+…+代-衫)瓦=6"由即必,•••,％线性无关知怕=兄灼=虹...也=頒故表示法惟一…因f=xTAx正定，故存在可逆方阵B,使A=BtB=BtEB,故f=(xtBt)E(Bx)=(Bx)t(Bx),令y=Bx,贝i]x=B-iy,取C=Bi,就有可逆线性变换x=Cy使？=尸丁尸。只需证明％,a