二重积分的应用

PAGEPAGE4/4§9.3二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性<即:当闭区域D分成许多闭区域d时,所求量U相应地分成许多部分量U,且U U>.2DdU可近似地表示为

f(x,y)d,其中(x,y)d ,称f(x,y)d为所求量U的元素,并记作dU.<注:f(x,y)d的选择标准为:Uf(x,y)d 是d直径趋于零时较d更高阶的无穷小量>3、所求量U可表示成积分形式

U f(x,y)dDD一、曲面的面积DS

f(x,y)

给出,

xyS

xoy

面上的投影区域,函数面的面积

f(x,y)在A.

Dxy上具有连续偏导数

f(x,y)x

fy(x,y)

,现计算曲Ddd>,在dP(xy)SM(xyf(xy))SMTdz轴的柱面,STd的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积.S

M 指向朝上的那个>为它与z轴正向所成夹角d

的方向余弦为dA而

cos11f2(x,y)f2(x,y)xy所以

d这就是曲面S的面积元素,故z

2 z2A 故 Dxy

1x

dxdy yx2[例1]求球面面积.

y2

z2

a2 x2含在柱面

y2

axa0解:所求曲面在

xoy

面的投影区域

D {(x,y)|x2y2ax}xya2a2x2y2曲面方程应取为 ,则x ya2x2a2x2y2a2x2y2x y,xoy D曲面在 面上的投影区域为据曲面的对称性,有若曲面的方程为

xg(y,z)或

yh(z,x)

,可分别将曲面投影到

yozzox

Dyz D面或 面,设所得到的投影区域分别为 或或二、平面薄片的重心1、平面上的质点系的重心

zx,类似地有其质点系的重心坐标为xMy

nmxi ii1

yMx

nmyi ii1m nmii1 ,

m nmii12、平面薄片的重心xoyD,在点x,y处的面密度为xy)xyD上连续,如何确定该薄片的重心坐标(xy).这就是力矩元素,于是

m(x,y)d又平面薄片的总质量 D从而,薄片的重心坐标为特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则十分显然,这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,因此,习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心.2]

D为介于两个圆racos ,rbcos<0

b>之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心<形心>.D的对称性可知:y0rM xd2dbosry

cosdr而D acos而2Mx M

b2baa2故 A a)三、平面薄片的转动惯量1、平面质点系对坐标轴的转动惯量n

(x,y

),(x,y

), ,(x,y)设平面上有

个质点,它们分别位于点1 1 2 2 n n处,质量分别为

m,m1

,,mn.xy轴的转动惯量依次为2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量设有一薄片,占有

xoyD,在点(xy(xy),D (x,y) y D 假定 在 上连续.现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量x,y.与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为3]

yx2 y1 与直线 所围成的均匀薄片<面密度为常数>对于直线

y1的转动惯量.解:转动惯量元素为四、平面薄片对质点的引力xoyD,在点(xy