课件-3-xtk1.理解导数与微分概念,几

第3章

导数与微分大纲要求典型例题习题课1理解导数与微分的概念,理解导数与微分的几何意义及函数的可微、可导与连续性之间的关系.掌握导数与微分的四则运算法则,掌握复合函数及基本初等函数求导法.了解高阶导数的概念，掌握一阶、二阶导数及一些有规律的函数的高阶导数的求法.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求相关变化率.了解微分的近似计算.2一、大纲要求P59

8.设f

(x)为可导的奇函数，则f

(x)是偶函数hf

(

x)

lim

f

(

x

h)

f

(

x)h0hf

(

x)

lim

f

(

x

h)

f

(

x)h0h

lim

f

(

x

h)

f

(

x)h0

h3h0

lim

f

(

x

h)

f

(

x)

f

(

x)证1

用导数定义证由f

(

x)

f

(x)

f

(x)是偶函数P59

8.设f

(x)为可导的奇函数，则f

(x)是偶函数4证2

用法则证由f

(

x)

f

(x)f

(

x)

(1)

f

(

x)

f

(

x)

f

(

x)

f

(x)是偶函数P59

9.设f

(x)在x0可导，n

,n

分别趋于0的正数列，证明证0n

f

(

x

)nn

nlim

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)n

nnlim

f

(

x0

n

)

f

(

x0

n

)

n

)

f

(

x0

)

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)]n

n

n

n

lim[

f

(

x0n]5nn

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)

nn

n

n

n

n

lim[

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)n]nn

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)

nn

n

n

n

n

lim[

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)n]n

n

n

n

lim

[

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)

n

n

n

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)

nn

nnn

lim

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)nn

n6

lim

[

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)

f

(

x0

n

)

f

(

x0

)]

nn

n设f

(x)在x0可导，n

,n

分别趋于0的正数列n

f

(

x0

)证明xf

(

x)满足：(1)

f

(

x

y)

f

(

x)

f

(

y),

x,

y

R(2)f

(x)

1

xg(x),而lim

g(x)

1x0证明:

f

在R上处处可导,且

f

(

x)

f

(

x).f

(

x)

lim

f

(

x

x)

f

(

x)x0x

lim

f

(

x)

f

(x)

f

(

x)x0x7x0

f

(

x)

lim

f

(x)

1

f

(

x)

lim

g(x)x0

f

(

x).解y2

y89解101112例1221

x2

1

1 1

x2

14arctan 1

xln

,求y.设y

解设u

421

x2

,则y

1

arctan

u

1

ln(u

1)

1

ln(u

1),1

1

12(1

u2

)

4

u

1

u

1y

u411

u4

1

(

)1

2

x

2

x4

,2

u

( 1

x

)x,x1

x

2二、补充例题.131(2

x

x3

) 1

x2

yx

yu

ux

求f

(2).x2x2

x

2例解

f

(2)

lim

f

(

x)x

2设f

(

x)在

x

2处连续,且

lim

f

(

x)

3x2lim[(

x

2)

x2x

2

]

0f

(

x)x

2f

(2)

lim

f

(

x)

f

(2)

lim

f

(

x)

3x2x2

x

214x2或

lim

f

(

x)

3,

lim

f

(

x)

0,

f

(2)

0例F

(

x)

(1

sin

x

)

f

(

x)在x

0可导

f

(0)

0.设f

(x)有一阶连续导数，证明证x

0F

(0)

lim

F

(

x)

F

(0)x0x

0

lim

(1

sin

x

)

f

(

x)

f

(0)x0x x

015

lim[

sin

x f

(

x)

f

(

x)

f

(0)]x0]lim[

f

(

x)

f

(0)x x

0sin

x f

(

x)x0F(0)存在

f

(0)

0

f

(0),xx0

f

(0)

0时,

lim

sin

x f

(

x)

存在xx0xx0lim

sin

x f

(

x)

lim

sin

xf

(

x)xx0xlim

sin

x f

(

x)

lim

(

sin

x)

f

(

x)

f

(0),x0f

(x)有一阶连续导数16设f

(x)

x

x(x

2),求f

(x).17例解先去掉绝对值f

(

x)

当x

2或x

0时,

f

(

x)

3当0

x

2时,

f

(

x)

3

x

2

4

x;2

x

(

x

2),

x2

(

x

2),

x

00

x

2x

2

x2

(

x

2),当x

0时,x

0f

(0)

limx0limf

(

x)

f

(0)

x

0x2

(

x

2)

0x0

0.x

0f

(0)

lim

f

(

x)

f

(0)x0

limx

0

x2

(

x

2)

0x0

0.

f

(0)

f(0)

f(0)

0,

f

(x)在x

0处可导.2

x

2

(

x

2),

x

2x

(

x

2),0

x

2,

x

2

(

x

2),

x

0f

(

x)

18当x

2时,x

2f

(2)

limx2limf

(

x)

f

(2)

x

2

(

x

2)x2

4.x

2f

(2)

limx2limf

(

x)

f

(2)

x

2x

2x

2

(

x

2)x2

4.f(2)

f(2),

f

(x)在x

2处不可导.20

x

2,

3

x

4

x,f

(

x)

0,

x

0,3

x2

4

x,

x

2,或x

02

x

2

(

x

2),

x

2x

(

x

2),0

x

2,

x

2

(

x

2),

x

0f

(

x)

19f

(

x)

(

x

1)5

x

1(

x

2)2

x(

x

1)(

x

2)3

x

3不可导的点可能有：0,

1,

2,

3f

(x)在x

0处不可导;在x

1处可导;在x

2处可导;在x

3处不可导.20(

n),求

y

.x2

14x2

1设y

例解4

x2

1y

x2

111

4

3

x

12

x

1

23

(1)

(1)

(

x

1)2

(

x

1)2y

x2

14(

x2

1)

333(1)(2)

3

(1)(2)(

x

1)2

(

x

1)y

3321

1(1)

2!32(

x

1)

(

x

1)3

4

x2

12

(

x

1)(

x

1)21

4

3

(

x

1)

(

x

1)].121(

x

1)n1(

x

1)n1

y(

n

)

3

(1)n

n![3(1)(2)

3

(1)(2)2 (

x

1)

(

x

1)3y

223321

1(1)

2!32(

x

1)(

x

1)设y

arctan

x,求y(n)(0).例解11

x2y

2n(

x)

(1

x

)

C

y0

(

n1)

y(n1)

(0)

n(n

1)

y(n1)

(0)n

nn(

n)

0 (

n)

v

C

u(u

v)

C

u2 (

n2)1 (

n1)

Ck

u(

nk

)v(

k

)

Cnuv(

n)n

nv

C

u

v

(1

x2

)

y

1v

u2

(

n1)223

y(

n1)

(

x)

(1

x2

)

ny(

n)

(

x)

(2

x)

n(n

1)

y(

n1)

(

x)

2

01

(

n)n

n(

x)

(2x)

C

y

(

x)

2

C

y

0

0设y

arctan

x,求y(n)(0).

y(n1)

(0)

n(n

1)

y(n1)

(0)(1)

(2k)!,

n

2k

1

y

(0)

k(

n)y(

2k

)

(0)

0,y(

2k

1)

(0)

(1)k

(2k)!,0,

n

2k一般地

y(0)

0,

y

(0)

0,一般地1241

x2y

又

y(0)

1,

y(3)(0)

2!,y(5)

(0)

4

3

y(3)

(0)

4!,设y

x(sin

x)cos

x

,求y.例解ln

y

ln

x

cos

x

ln

sin

xxsin

xcos2

xyy

1

sin

x

ln

sin

x

)251sin

xcos2

xxcos

x(

sin

x

ln

sin

x

y

x(sin

x)d2

yf有二阶导数，f

1，求dx2已知

y

y(

x)由方程xe

f

(

y

)

e

y所决定,解由xe

f

(

y

)

e

y

,

ln

x

f

(

y)

y,x

1

f

(

y)

dy

dy

,,26dx

dx1dx x(1

f

(

y))

dy

例2dx2,

dy

1dx

x(1

f

(

y))x2

(1

f

(

y))2

(1

f

(

y))2

f

(

y)x2

(1

f

(

y))3x2

(1

f

(

y))2

(1

f

(

y)

xf

(

y)

dy

)

dx

d

y

dx

27

[

1

(1

f

(

y))

x

(0

f

(

y)

dy

]3

x)2

，求dudyx2

x3(2

y

1)(2x

1)2解128例

设x

y

2

y，u

(

x

23dyx2

x3(2

y

1)(2x

1)2例

设x

y

2

y，u

(

x

2

x)2

，求du解229例0x

xn

sin

1

x

0x

0设f

(x)

解x

0,x

xn2n1sin

x

cosf

(

x)

nxx

0,x

0x0xx0f

(0)

lim

f

(

x)

f

(0)

lim

xn1

sin

1

00x

x

f

(

x)

nx

n1

sin

1

xn

2

cos

1

x

0x

0(0)

1

130

x

0f

(

x)

ff

(0)

limx0自然数n至少多大，可使函数在0点处二阶可导，并求f

(0)n

1]1x

xx0

lim[

nxn2

sin

1

xn3

cos

0x

031f

(0)

lim

f

(

x)

f

(0)x0使上式极限存在的自然数n至少为4这时函数在0点处二阶可导，且

f

(0)

00x

x

f

(

x)

nx

n1

sin

1

xn

2

cos

1

x

0x

0n

1x

g(

x)

cos

x

,

x

0已