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高等数学求极限的14种方
x
f(x)A（i）A0，则有0，使得当0|xx0|f(x)0（ii）若有0使得当0|xx0|f(x0,则A0xxx0的极限。要特别注意判
f(x)A
f(x)
limA
f(x)Alimlimx
x x0000（vi）（）
limf
存在的充分必要条件是：0,0,使得当x、xUo(x)时，恒有|f(xf
)| 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求0。300
f(x)g(x)
f(x)
或f(x)g(x)
g(x)1f
1f(x)g(x) f1f“00
1
eg(x)lnf(x)0公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候2ex1x2
x n (nn
3sinxx3
(2m
(2m3)!
2cos=12
x4
x2m
(2m2)!
22
n1
(n(1+x)u=1uxu(u1)x2CnxnCn1(1x)un1 两多项式相除:设an,bm均不为零P（x）=axn xn1axa,Q(x)bxm xm1bx an,(mb
（ii）若
0
P(x)P(x0lim
0,(n,(n
lim0
Q(x0定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）nanbnabcnanbn解：由于axnan3,以及limaa,lim(an3)a， 定理可知limxn
1
lim
n
n 解：由01 1
1，以及lim0lim10可知，原式
(2)
n1111n2n2n2n2n
nnn1nnnn2
1111
,以及n21nn21nn2n2n2n2n2n2n2n2n2n21n
求lim12x3x2nxn1
)1n1nlim11 =lim1111
n1
2
n(n1)
n
(n
n
(nxx与xn1已知
2,
2
=A，（A0）A21A22A102A2x1
2,x2
22,,xn
xn1,求lim2xk22解：（i）显然x1x22（ii）假设xk1xk2, 2xk222所以，xn是单调递增数列，且有上界，收敛。设limA，（显然A0)则A2A2A20A=2.
limxn（i）limsinx
0 x(ii)lim1x1e，在“1x还有个非常方便的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的，nn快于快于指数型函数bn(bxarccosx 2。解：设tarccosx
,则x0时，t0,且xcos(t
sint
arccosx
arccosx原式=lim
2
1
2sin 1利用定积分求数列极限。例如：求极限lim1111n，所以nnn
n
nn
n
1n lim111lim11121lnnnn
n
nn
n1 1n 1nn nn 0x0f(axf(a0' fa
1n
f(a)0,
(a存在，求lim
n n fa1f n
f f(a1)f
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