基本初等函数讲义(完整版)

、一次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)=ax2bxc(a二0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2k(a=0)③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a=0)(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 f(x)更方便.(3)二次函数图象的性质-. 2.・ 一f(x)=ax+bx+c(a#0)a>0a<0图像1x=J2c1rx=b2a定义域(-0 +30)对称轴bx=2a顶点坐标< . „ 「2、b4ac-b,12a4a)

值域J .2 、4ac-b ,十8<4a J4 4ac-b2'、’4al单调区间ij—od,—|递减< 2al1_b_，+0a'递增12a ),㈤，—-b-、'递增k 2aJ<b———,十℃>递减12a )2 一 b①.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x=——，顶2ab4ac-b2、点坐标是(———, )2a4a②当a>0时，抛物线开口向上，函数在2a②当a>0时，抛物线开口向上，函数在2a］上递减，在［)上递增，当b,工,、b,工,、4ac-b2x=时，fmin(x)= 2a 4a；当a<0时，抛物线开口向下，函数在—b、(―00，一 ］上递2ab—增，在［———，+*b—增，在［———，+*)上递减，当2ax=——2a时,fmax(x)=4ac-b24a三、骞函数(1)募函数的定义般地，函数y=x"般地，函数y=x"叫做哥函数，其中x为自变量,口是常数.(2)募函数的图象y=x过定点：所有的哥函数在 (0,也)都有定义，并且图象都通过点 (1,1).四、指数函数(1)根式的概念：如果xn=a,awR,xwR,n>1,且nWN+,那么x叫做a的n次方根.(2)分数指数哥的概念m①正数的正分数指数哥的意义是：an=n/am(a>0,m,nwN+且n>1).0的正分数指数哥等于0.m1m1-②正数的负分数指数帚的思义ZE：an=(—)n=n(—)(aA0,m,nwN+且n>1).0aa的负分数指数哥没有意义.(3)运算性质①a①aras=ar*(a:>0,r,swR)②(ar)s=ars(a0,r,sR)③(ab)r=arbr(a0,b0,rR)(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y=ax(aA0且a#1)叫做指数函数图象a>10<a<1V，y=1X x/y=a(0,1)X x'\y=ay=i\^y(0,1)OxOx定义域R值域(0,f过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况ax>1(x>0)ax=1(x=0)ax<1(x<0)ax<1(x>0)ax=1(x=0)ax>1(x<0)a变化对图象的影响在笫一象限内，a越大图象越局；在第二象限内， a越大图象越低.五、对数函数(1)对数的定义①若ax=N(aa0,且a#1),则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN,其中a叫做底数，N叫做真数.②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化： x=logaNuax=N(a>0,a=1,N>0).(2)几个重要的对数恒等式loga1=0,logaa=1,logaab=b.(3)常用对数与自然对数常用对数：lgN,即logioN；自然对数：lnN,即logeN(其中e=2.71828…).(4)对数的运算性质 如果a>0,a=1,M>0,N>0,那么①加法：logaM+logaN=loga(MN) ②减法：logaM-logaN=logaN③数乘：nlogaM=logaMn(nwR) ④alogaN=N⑤logabMn=nlogaM(b=0,nR)ab⑥换底公式：logaN=logbN(b>0,Jib^1)logba(5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=logax(aa0且a#1)叫做对数函数图象a>10<a<1iyi x=1； y=logaxJiyxx=1। y=logaxr\；(1,0)O/；(1，0) xOKx定义域(0,~)值域R过定点图象过定点(1,0),即当x=1时，y=0.奇偶性非奇非偶单调性在(0,•卜8)上是增函数在(0,——)上是减函数函数值的变化情况lOgax>0(x>1)lOgax=0(x=1)logax<0(0<x<1)lOgax<0(x>1)lOgax=0(x=1)logax>0(0<x<1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内， a越大图象越靠高.(6)反函数的概念设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得式子x=%y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=④(y),X在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=^(y)表示x是y的函数，函数x=④(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f,(y),习惯上改写成y=f,(x).⑺反函数的求法①确定反函数的定义域， 即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=f,(y)；③将x=f」(y)改写成y=f,(x),并注明反函数的定义域.(8)反函数的性质①原函数y=f(x)与反函数y=f,(x)的图象关于直线y=x对称.②函数y=f(x)的定义域、值域分别是其反函数 y=f,(x)的值域、定义域.③若P(a,b)在原函数y=f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y=f,(x)的图象上.④一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.例题一、求二次函数的解析式例1.抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标是()A.(2,0) B.(2,-2)C.(2,-8) D.(-2,-8)例2.已知抛物线的顶点为( -1,-2),且通过(1,10),则这条抛物线的表达式为()A.y=3(x-12-2 B.y=3(x-1242C.y=3(x+12-2 D.y=-3(x+1)-22例3.抛物线y=x—2mx+m+2的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是( )A.mv—1或m>2B.m<0或m>—1C.—1vmv0D.mv—1例4.已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1+x尸f(1_x);(2)f(x)的最大值为15;f(x)=0的两根立方和等于17求f(x)的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5.当—2ExM2时，求函数y=x2—2x—3的最大值和最小值.例6.当xA0时，求函数y=-x(2-x)的取值范围.例7.当tWx-t+1时，求函数y=1x2—x-5的最小值(其中t为常数).2 2三、哥函数例8.下列函数在（㈤,0）上为减函数的是（）1TOC\o"1-5"\h\za 3 2 3 2A.y=x3 B.y=xc.y=xD.y=x例9.下列募函数中定义域为lxx>0）的是（）\o"CurrentDocument"2 3 2 3— — —f -="a.y=x3 b.y=x2c.y=x3d.y=x22. .- … 5■、 … - , 、例10.讨论函数y=x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并回出图象的示意图.例10,已知函数y=如5-2x—x2.（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间.四、指数函数的运算1TOC\o"1-5"\h\z例11.计算(Q—2的结果是( )A、2BB>—C、-22. D、--2 216 8 4 2A、aB、aC、aD、a„ h a-2b例13.若3a=8,3b=5,贝U33 =五、指数函数的性质例14.M={y|y=2x},p={y|y=Jx_1}，则Mm（）A.{y|y>1}B.{y|y*} C.{y|y>0}D.{y|y^0}例15.求下列函数的定义域与值域:2M（1）y=2 （2）y=（—）3例16.函数y=a'2+3 (a>0且a¥1)的图像必经过点 ( )A.(0,1)B.(1,1)C.(2,3)D.(2,4)ox例17求函数y=2_」的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性2x1五、对数函数的运算a例18.已知3=2,那么log38—2log36用a表不是（ ）A、a-2B、5a-2C、3a-(1a)2D、3a例19.2l0ga（M一2助二阻乂+由小，则M的值为（ ）A、1B、4C、1D、4或14例20.已知例20.已知lOg71lOg3(lOg2X)]=0,那么1x”等于2百°、2后"3值例21.lOga2<1,则例21.lOga2<1,则a的取值范围是（3A、；0,|jUDB、1*3,1D、五、对数函数的性质例22.下列函数中，在（0,2 为增函数的是（A、y=logi(x+1)B、y=log2Vx2-12A、2y=log1(x-4x2y=log1(x-4x5)C、y—log2-D、x例23.函数y=1gA、X轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线y=x对称例23.求证函数f（x）=1g（&+1-X）是（奇、偶）函数。课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的 （）\J74wxYA B_9^2 .2.对抛物线y=2(x2)—3上y[ yj^OhC DO/vo\2 jy=-2(x2)+4的说法/、止确的是()A.抛物线的形状相同 B.C.抛物线对称轴相同 D.2.二次函数y=-X—2x1图像的顶点在（）A.A象限 B.第二象限.如图所示，满足a>0,bv0的函数y=ax抛物线的顶点相同抛物线的开口方向相反C.第三象限 D.第四象限?+bx的图像是（）C--2.如果抛物线y=x6xc的顶点在x轴上，那/A.0 B.6 C.3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在A B C.在卜列图象中,一次函数 y=ax2+bx+c与函数y/个、工BAJi\zoAC的值为（）D.9同一坐标系中的图象大致是（ ）Db=（a）x的图象可能是 （）Ct i-4' 01A8,若函数f（x）=（a—1）x2+（a2—1）x+1是偶函数，则在区间［0,+8）上心）是（ ）A.减函数B.增函数C.常函数D.可能是减函数，也可能是常函数9.已知函数y=x2-2x+3在闭区间［0,m］上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是（ ）A.[1,+8)b.[0,2]C.[1,2]10、使x2>x3成立的x的取值范围是A、x<1且xWOC、x>1D.(—8,2]a11、若四个募函数y=xB、D、cy=A.[1,+8)b.[0,2]C.[1,2]10、使x2>x3成立的x的取值范围是A、x<1且xWOC、x>1D.(—8,2]a11、若四个募函数y=xB、D、cy=x，）0Vx<1x<1dy=x在同一坐标系中的图象如右图， 则a、b、c、A、B、C、d的大小关系是(d>c>b>aa>b>c>dd>c>a>bD、a>b>d>c( )12.若哥函数fx一m-1X在(0+8正是减函数，则a.m>iB.m<ic.m=id,不能确定.若点A（a,b）在哥函数Q）的图象上，那么下列结论中不能成立的是A.2B.lb<0C.b<0D[b>0.若函数f(x)=log1(x2-6x+5)在(a,A.(一c.(-oooo2,1]B.(3,+8)，3)D.[5,+8)+°°）上是减函数，则a的取值范围是（ ）15、设集合S={y|y=3X，xwR}，T={y|y=x2TxWR}则SPIT是()A、B、TA、B、TC、D、有限集16、函数y=2+log2x（x）1）的值域为（）A、2,二B、一二,2A、2,二B、一二,2C、2.二D、3,•二17、A、y3 y1 17、A、y3 y1 y2B、V2Vly3C、y〔 y3 y2D、v_40.9v_80.48v-1y1-4 ,y2-8 ,y3-设 12，，则18、在b=l0gd)(5一a)中，实数a的取值范围是()A、a>5或a<2b、2<a<3或3<a<5 c、2<a<5d、3<a<4TOC\o"1-5"\h\z2 219、计算的2)+(旗)+2lg2,lg5等于()A、0 B、1 C、2 D、320、已知aT0g32,那么log38-2log36用a表示是()2 cA、5a-2 B、a-2 C、3a-(1+a)D、3a-a-121、已知哥函数f(x)过点(2,?),则f(4)的值为()A、1 B、1 C、2 D、82二、填空题.抛物线y=8x2—(m—1)x+m—7的顶点在x轴上)则m=.32.函数y-x的定义域为..设f(x)=(m-2)xm+,如果f(x)是正比