高一物理必修 2第六章 万有引力定律之行星的运动

5/55/55/5高一物理必修2第六章万有引力定律之行星的运动课程导读一、学习目标：1.掌握开普勒三定律的内容,能写出第三定律的数学表达式并能进行简单计算。2.了解万有引力定律得出的思路和过程。理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。3.了解卡文迪许实验装置及其原理,知道引力常量的数值及其意义。二、重点、难点：重点：1.理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。2.了解卡文迪许实验装置及其原理难点：理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。会进行简单计算。三、考点分析：开普勒行星运动三定律的理解是行星运动和进一步学习天体运动知识的根底,在高考中占有重要位置,涉及本节内容的高考命题的重点是：应用开普勒定律分析人造卫星的运动,有时和天文现象相联系,命题以选择题,填空题为主,有时涉及计算题。万有引力定律是高中物理的重点知识也是高考的热点,高考中主要考查天体运动类问题。知识梳理一、开普勒天文三定律：1.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2.太阳与任何一个行星的连线〔矢径〕在相等的时间内扫过的面积相等。3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。即R3／T2=k二、万有引力定律1.万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比。其中m1、m2是两个质点的质量,r为两质点间的距离,G是万有引力常量,数值为：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。〔万有引力常量是英国物理学家卡文迪许首先测量出的〕。G在数值上等于：质量都是1kg的物体,在相距1m时的相互作用力的大小等于6.67×10－11N。2.万有引力定律的使用条件：①万有引力定律适用于质点间的相互作用,表达式中的r是两个质点间的距离。②两个质量分布均匀的球体间的相互作用也可以用万有引力定律的表达式来计算,其中应把r理解为两个球心的距离。例如：我们可以把地球看作各层质量均匀分布的球体,所以地面上质量为m的物体所受地球的引力可以表示为F=GMm/R2,式中M和R分别表示地球的质量和地球的半径。③一般质量很小的物体之间的引力十分微小,特别是在研究微观粒子时,万有引力一般忽略不计。辨析：由万有引力定律公式可知,当时,。这个结论对吗？答：这个结论不对！万有引力定律公式只适用于求两个质点〔或两个物体均可视为质点〕之间的万有引力〔假设两个物体不能视为质点,那么要将它们分割成许多小块〔质点〕,然后用此式去计算每一对小块间的引力,最后将其中一个物体所受的各个引力进行矢量合成〕。既然,就不能将两个物体视为质点了！所以我们不能将物理问题纯数学化！3.万有引力定律的推导：向心力公式→用周期表示的向心力公式→吸引力提供向心力→吸引力是相互的。具体推导如下：4.用牛顿的万有引力定律推导开普勒第三定律：通过上面的推导可以看出,在太阳系内研究太阳系内的行星运动,其半长轴的三次方跟它的运动周期的二次方的比值是恒定不变的,它的大小决定于太阳质量。推理可知各个人造地球卫星的半长轴的三次方跟它的运动周期的二次方的比值也是恒定的,其大小决定于地球的质量。但卫星绕地球旋转的这个恒定比值与地球绕太阳旋转的恒定比值不同。开普勒第三定律适用于任何天体运动,但不同系统内的比值不一定相等。三、引力常量的测定及其意义1.卡文迪许扭秤实验：卡文迪许的扭秤实验,后世称为卡文迪许实验。他用一根39英寸的镀银铜丝吊一6英尺木杆,杆的两端各固定一个直径为2英寸的小铅球,另用两颗直径为12英寸的固定着的大铅球吸引它们,通过小镜反射的光点在刻度尺上的位置求出转动的角度,再利用扭转力矩跟角度的关系,计算出两个铅球的引力的大小。因为有了万有引力常量,就可以利用重力加速度,来计算地球的质量,所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人〞。2.引力常量的意义及数值：引力常量的测出,使人们已经知道了100多年的万有引力第一次能进行计算,从而使万有引力定律有了真正的实用价值。G＝6.67×10－11N·m2/kg2万有引力定律中各物理量使用国际单位制中的主单位。3.物体的重力与万有引力的关系：[思考]地球上的物体在什么地方时,重力和万有引力大小最接近？在什么地方时,重力和万有引力大小相差最多？重力是万有引力产生的,由于地球的自转,因而地球外表的物体随地球自转时需要向心力。重力实际上是万有引力的一个分力。另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力,如下图,由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力不断变化,因而地球外表物体的重力随纬度的变化而变化,即重力加速度随纬度的变化而变化,从赤道到两极逐渐增大。通常的计算中因重力和万有引力相差不大,而认为两者相等,即,常用来计算星球外表重力加速度的大小。在地球的同一纬度处,随物体离地面高度的增大而减小,即。在赤道处,物体的万有引力分解的两个分力和刚好在一条直线上,那么有：,所以,因地球自转角速度很小,,所以。典型例题知识点一：开普勒第三定律的理解和应用例1.对开普勒第三定律的表达式R3／T2=k的理解,正确的选项是〔〕A、k与R3成正比B、k与T2成反比C、k值是与R和T无关的值D、k值与行星自身无关分析：该题主要考查学生对于开普勒第三定律的理解情况,重点在于对常量k的理解。解：由开普勒第三定律可知,所有围绕统一中心天体运行的行星的半长轴R的三次方与周期T的二次方的比值都相等,比值k只与中心天体有关,与行星及其R、T无关,故A、B错误,C、D正确。该题主要考查对于开普勒第三定律的理解,k是一个与行星无关的常量,但不是恒量,在不同的星系中,k的值与中心天体有关。这是同学容易混淆的一点。例2.有一颗名叫谷神的小行星,质量为=,它的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的2.77倍,求它绕太阳运动一周所需要的时间。分析：该题要求计算行星绕太阳运动的周期,由题该行星与地球都绕同一中心天体——太阳运动,又它们绕太阳运动的轨道半径之比,且地球绕太阳运动的公转周期是常数,很显然由开普勒第三定律可以求得。解：假设地球绕太阳运动的轨道半径为,那么谷神绕太阳运动的轨道半径为=2.77地球绕太阳运动的运动周期为=365天依据可得：对地球绕太阳运动有：对谷神绕太阳运动有：联立上述两式解得：将=2.77代入上式解得：所以,谷神绕太阳一周所用时间为：解题后思考：在该题的分析过程中注意,好多同学往往觉得只告诉半径关系那么不能很快找出它和时间的关系,在审题过程中要注意隐含条件的挖掘,行星运动的轨道半径是以地球的轨道半径为标准给出的,那么就要抓住这一条件联想到地球公转周期也是一个条件。从而在行星与地球半径比和地球公转周期的情况下找到这个题目的解题突破口,然后运用开普勒第三定律求解。例3.如图表示发射地球同步卫星时的三个阶段,首先将卫星送上近地圆轨道,其半径为,然后在某处B加速使其轨道成为以地心为焦点的椭圆轨道,最后在轨道最高点A再次加速,使卫星进入地球同步圆轨道,其半径为R,周期为。A、B分别为椭圆轨道的远地点和近地点。试求卫星从B运动到A经历的时间。分析：由题意知道卫星发射过程分三个阶段,同时卫星在不同阶段的轨道是不一样的,因而不同轨道对应的运动周期是不同的,由同步卫星的根本特点知道其运动周期等于地球的自转周期,可以认为是常数。而卫星运动过程中虽然轨道不同,但是它们有着相同的中心天体,因而可以考虑应用开普勒第三定律解题。解：卫星从B运动到A的时间恰为椭圆运动的半周期,其周期设为,同步圆轨道半径为R,运动周期设为T,近地圆轨道半径为r,那么椭圆轨道半长轴为,由开普勒第三定律得：,所以解题后的思考：对于卫星发射过程中的变轨问题,其本身就是一个复杂的过程,好多同学拿到题之后首先从心理上产生了畏难思想,从而不能认真读题去分析题目中的条件和隐含条件,因此建议大家在解题时首先要能大胆细心的去读题,理解题意,找出题目给出的过程和我们所学知识之间的联系,从而很快的找到解题的方法和思路。知识点二：开普勒第二定律的应用例1.某行星沿椭圆轨道运行,远日点离太阳的距离为a,近日点离太阳的距离为b,过远日点时行星的速率为va,那么过近日点时行星的速率为〔〕Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.分析：应用开普勒第一定律画出行星运动的轨道图,在涉及到运动速率问题是我们经常应用开普勒第二定律求解,如果取极短时间的话,那么行星运动可以近似认为是一段直线,那么它所对应的面积为三角形面积,三角形底边长度为,高为行星距离椭圆焦点的距离,由面积相等就可以解决问题。解：画出椭圆轨道的示意图,Ａ,Ｂ分别为远日点和近日点,由开普勒第二定律,太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等,取足够短的时间t0,那么有：,所以,选C。解题后的思考：利用开普勒第二定律可以判断行星运动近日点速率大于远日点速率,当行星运动轨道上两点到太阳的距离,利用扫过面积相等,可求解瞬时速度大小关系。在高中物理阶段很少用开普勒第二定律进行定量计算,应把重点放在对开普勒第二定律的内容的理解上。知识点三：万有引力定律的应用例1.一质量为,半径为,密度均匀的球体,在距离球心的的地方有一质量为的质点,现从中挖去半径为的球体,如下图,那么剩余局部对的万有引力为多大？分析：对于密度均匀的形状不规那么的球体,要求解它和m间的万有引力,由于无法知道球体的中心所在位置,所以不能知道它和m间的距离,进而无法使用万有引力定律。那么如果假设被挖去的局部能放回原处,那么其整体中心在球的几何中心,从而可以求解补充完整后的球和m之间的万有引力,从中再把挖去局部和m之间的万有引力减去的话就是不规那么局部和m间的万有引力。通过填补的过程,可以把不规那么形状的引力求解转化为两个规那么的球体与m间的引力求解,做到化难为易。解题思路：此题侧重考查万有引力大小的定量计算。可设想将球体中被挖去的半径为的小球体放回原处,求出大球体对质点的万有引力,再减去填补的小球体对质点的万有引力,即得大球体剩余局部对质点的万有引力F。解：由万有引力定律：质量为的球体对质点的万有引力挖去的小球体的质量质量为的球体对质点的万有引力那么剩余局部对质点的万有引力F=-=-=解题后思考：该题不能直接应用万有引力定律公式计算,因为挖有空穴的球剩余局部既不能视作质点,也不是质量均匀分布的球体。在此采用“填补法〞进行等效计算,因为球心、空穴中心与质点在同一直线上,可分别求出完整的球体及相当于空穴大小的球体对m2的引力,然后再求二力的合力。万有引力表达式只适用于计算质点间的引力,在高中阶段常见的质点模型是质量分布均匀的球体,因而利用补偿法构成质点模型,再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失〞球间的引力。例2.设地球外表重力加速度为,物体在距离地心4R〔R是地球的半径〕处,由于地球的作用而产生的加速度为g,那么为A.1B.1/9C.1/4D.1/16分析：由牛顿第二定律可知,F合=ma,物体在地面处合外力等于万有引力,因而万有引力产生地球外表的重力加速度,同理,在离地心4R的地方,其加速度由合外力产生,通过受力分析可知,该处合外力等于它和地球之间的万有引力。在解题时应该注意,物体和地球间的万有引力所对应的距离是物体和地心之间的距离,要注意地球半径对它的影响。解析：此题考查万有引力定律的简单应用,地球外表处的重力加速度和离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生,所以有地面上：①离地心处：②由①②两式得。答案：D解题后思考：通常情况下,我们所研究的物体都在地面上或离地面的高度远小于地球的半径处,不管这些物体是处于何种运动状态,我们都可以认为万有引力与物体在地球外表的重力相等,但有两种情况必须加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系；二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况下要注意地球半径对于间距的影响。从例题可知,物体距地面越远,地球对它的引力越小。提分技巧开普勒定律的应用经常涉及到天体运动的计算和分析问题,这里对于同学们来说没有主观的认识,所以在理解上对抽象思维能力的要求比拟高,同学在这里可能会在一些新的情景的分析中产生畏难情绪,因此首先要在心理上克服那种畏难情绪,充满信心的去面对每一个问题。对于开普勒定律,第一定律称为轨道定律,相比照拟简单,第二定律在高中物理学习阶段很少进行定量计算,应注意开普勒第二定律的内容的理解。重点在于第三定律,高考在此时