经济数学基础课后答案(概率统计第三分册)

习题一1.写出下列事件的样本空间：(1)把一枚硬币抛掷一次；(2)把一枚硬币连续抛掷两次；(3)掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4)一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).解(1)={正面，反面}{正，反}(2)={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3)={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4)={x；0≤x≤m}2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A＝“偶数点”，

B＝“奇数点”，C＝“点数小于5”，D＝“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解A与B为对立事件，即B＝；B与D互不相容；AD，CD.3.事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i＝1，2，3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及B－C的含义，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出来.解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务.B－C表示三个车间都完成生产任务图1－14.如图1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出来.图1－1解5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生.在本书第6页例2中A与D是对立事件，C与D是互不相容事件.6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC＝Φ，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定.A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图1－2，事件ABC＝Φ，但是A与B相容.图1－27.事件A与B相容，记C＝AB，D＝A+B，F＝A－B.图1－2解由于ABAA+B，A－BAA+B，AB与A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B).因此有A＝C+F，C与F互不相容，DAF，AC.8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A表示“取到的两个球颜色不同”.则有利于事件A的样本点数目＃A＝.而组成试验的样本点总数为＃Ω＝，由古典概率公式有P(A)＝(其中＃A，＃Ω分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为＃.解设事件A表示“三次中既有正面又有反面出现”,则表示三次均为正面或三次均为反面出现.而抛掷三次硬币共有8种不同的等可能结果，即＃Ω＝8，因此11.10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两把，求能打开门锁的概率.解设事件A表示“门锁能被打开”.则事件发生就是取的两把钥匙都不能打开门锁.从9题－11题解中可以看到，有些时候计算所求事件的对立事件概率比较方便.12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张，连续抽取4张，计算下列事件的概率：(1)四张花色各异；(2)四张中只有两种花色.解设事件A表示“四张花色各异”；B表示“四张中只有两种花色”.13.口袋内装有2个伍分、3个贰分，5个壹分的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率.解设事件A表示“取出的5枚硬币总值超过壹角”.14.袋中有红、黄、黑色球各一个，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A＝“三次都是红球”“全红”，B＝“全白”，C＝“全黑”，D＝“无红”，E＝“无白”，F＝“无黑”，G＝“三次颜色全相同”，H＝“颜色全不相同”，I＝“颜色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3！＝6，＃I＝＃Ω－＃G＝2415.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率.解设事件A表示“有4个人的生日在同一个月份”.＃Ω＝126，＃A＝16.事件A与B互不相容，计算P.解由于A与B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0

17.设事件BA，求证P(B)≥P(A）.证∵BA∴P(B-A)＝P(B)-P(A)∵P(B-A)≥0∴P(B)≥P(A)18.已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0(b＞0.3P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(＋)解由于A－B与AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-P(＋)＝1-P(AB)＝1-0.19.50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，计算取到废品的概率.解设事件A表示“取到废品”，则表示没有取到废品，有利于事件的样本点数目为＃＝，因此P(A)＝1-P()＝1-＝0.225520.解因BA，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，综上分析a的取值范围是：1＜b≤a≤e21.设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B)22.一个教室中有100名学生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(设一年以365天计算).解设事件A表示“100名学生的生日都不在元旦”，则有利于A的样本点数目为＃A＝364100，而样本空间中样本点总数为＃Ω＝365100，所求概率为=0.239923.从5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有两只手套配成一副的概率.解设事件A表示“取出的四只手套至少有两只配成一副”，则表示“四只手套中任何两只均不能配成一副”.24.某单位有92％的职工订阅报纸，93％的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85％的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜)＝0.85P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B｜)＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P(A)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.05825.解P(A｜B)＝P(B｜A)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.5226.设A、B是两个随机事件.0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P(｜)＝1.求证P(AB)＝P(A)P(B).证∵P(A｜)＋P(｜)＝1且P(A｜B)＋P(｜)＝1∴P(A｜B)＝P(A｜)P(AB)［1-P(B)］＝P(B)［P(A)-P(AB)］整理可得P(AB)＝P(A)P(B)27.设A与B独立，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，求概率P(B).解P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B)0.7＝0.4＋0.6P(B)P(B)＝0.528.设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P(A)，P(B)均大于0，又因A与B独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＞0，故A与B不可能互不相容.29.某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i＝1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则A＝A1A2A3＋A2A3＋A1A3＋A1A2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(AP(A)＝＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630.加工某种零件，需经过三道工序，假定第一、二、三道工序的废品率分别为0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出现废品与其他各道工序无关，求零件的合格率.解设事件A表示“任取一个零件为合格品”，依题意A表示三道工序都合格.P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831.某单位总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，则P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P(A2)＝0.58×0.42＝0.2436P(Am)＝0.58m－132.一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i＝1,2,3,4.P(Ai)＝，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”.显然则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”.且＝A1＋A2＋A3＋A4.P()＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(AiAj)P(Ai)P(Aj｜Ai)=P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj)=××（1≤i＜j＜k≤4）P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3×P(A4｜A1A2=33.在1，2，…，3000这3000个数中任取一个数，设Am＝“该数可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3解依题意P(A2)＝，P(A3)＝P(A2A3)＝P(A6)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3＝P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝34.甲、乙、丙三人进行投篮练习，每人一次，如果他们的命中率分别为0.8，0.7，0.6，计算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人投中.解设事件A、B、C分别表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，显然A、B、C相互独立.设Ai表示“三人中有i人投中”，i＝0,1,2,3,依题意，0.2×0.3×0.4×0.024P(A3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.7×0.60.336P(A2)=P(AB)＋P(AC)＋P(BC)=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.60.452(1)P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2)P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212(3)P(A＋B＋C)＝P()＝1－P(A0)＝0.97635.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5，问谁先投中的概率较大，为什么?解设事件A2n-1B2n分别表示“甲在第2n－1次投中”与“乙在第2n次投中”，显然A1，B2，A3，B4，…相互独立.设事件A表示“甲先投中”.计算得知P(A)＞0.5，P()＜0.5，因此甲先投中的概率较大.36.已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80％，而京外学生以英语为第一外语的占95％，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A表示“任选一名学生为北京考生”，B表示“任选一名学生，以英语为第一外语”.依题意P(A)＝0.3，P()＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜)＝0.95.由全概率公式有P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537.A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、中三个行政小区，其人口比为9:7:4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4‰，2‰，5‰，求A地的甲种疾病的发病率.解设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为Ω.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005＝＝0.45×0.004+0.35×0.002+0.2×0.005＝0.003538.一个机床有三分之一的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为0.3，加工零件B时停机的概率为0.4，求这个机床停机的概率.解设事件A表示“机床加工零件A”，则表示“机床加工零件B”，设事件B表示“机床停工”.39.有编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个口袋，其中Ⅰ号袋内装有两个1号球，1个2号球与1个3号球，Ⅱ号袋内装有两个1号球和1个3号球，Ⅲ号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从Ⅰ号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件Ai表示“第一次取到i号球”，Bi表示第二次取到i号球，i＝1，2，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组.应用全概率公式可以依次计算出.因此第二次取到1号球的概率最大.40.接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5％(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5％)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1％，在一次健康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解41.甲、乙、丙三个机床加工一批同一种零件，其各机床加工的零件数量之比为5:3:2，各机床所加工的零件合格率，依次为94％，90％，95％，现在从加工好的整批零件中检查出一个废品，判断它不是甲机床加工的概率.解设事件A1，A2，A3分别表示“受检零件为甲机床加工”，“乙机床加工”，“丙机床加工”，B表示“废品”，应用贝叶斯公式有42.某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具，其概率分别为5％，15％，30％，50％，乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为100％，70％，60％与90％，已知该旅行者误期到达，求他是乘坐火车的概率.解设事件A1，A2，A3，A4分别表示外出人“乘坐飞机”，“乘坐火车”，“乘坐轮船”，“乘坐汽车”，B表示“外出人如期到达”.=0.20943.接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自Ⅰ号袋的概率.解39题计算知P(B1)＝，应用贝叶斯公式44.一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件Ai表示一箱中有i件次品，i＝0,1,2.B表示“抽取的10件中无次品”，先计算P(B)45.设一条昆虫生产n个卵的概率为n=0,1,2,…其中λ＞0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0＜p＜1).如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少?解设事件An＝“一个虫产下几个卵”，n＝0，1，2….BR＝“该虫下一代有k条虫”，k＝0，1，….依题意其中q=1－p.应用全概率公式有由于，所以有习题二1.已知随机变量X服从0－1分布，并且P{X≤0}＝0.2，求X的概率分布.解X只取0与1两个值，P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2，P{X＝1}＝1－P{X＝0}＝0.8.2.一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解X可以取0,1,2三个值.由古典概型公式可知依次计算得X的概率分布如下表所示：X012P3.上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布.解X的取值仍是0,1,2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有4.第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X的概率分布.解X可以取1,2,…可列个值.且事件{X=n}表示抽取n次，前n－1次均未取到优质品且第n次取到优质品，其概率为.因此X的概率分布为5.盒内有12个乒乓球，其中9个是新球，3个为旧球，采取不放回抽取，每次一个直到取得新球为止，求下列随机变量的概率分布.(1)抽取次数X；(2)取到的旧球个数Y

.解(1)X可以取1,2,

3,4各值.(2)Y可以取0,1,2,3各值.6.上题盒中球的组成不变，若一次取出3个，求取到的新球数目X的概率分布.解X可以取0,1,2,3各值.7.已知P{X＝n}＝pn，n＝1,2,3,…,求p的值.解根据,有解上面关于p的方程，得p＝0.5.8.已知P{X＝n}=pn，n＝2,4,6,…，求p的值.解解方程，得p=/29.已知P{X＝n}=cn,n=1,2,…,100,求c的值.解解得c＝1/5050.10.如果pn＝cn＿2，n=1,2,…,问它是否能成为一个离散型概率分布，为什么?解由于级数收敛,若记=a,只要取,则有=1,且pn＞0.所以它可以是一个离散型概率分布.11.随机变量X只取1,2,3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X的概率分布.解设P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d,P{X=3}=a+d.由概率函数的和为1，可知a=,但是a－d与a+d均需大于零,因此｜d｜＜,X的概率分布为X123P－d+d其中d应满足条件：0＜｜d｜＜12.已知,m=1,2,…,且λ＞0,求常数c.解由于,所以有解得13.甲、乙二人轮流投篮，甲先开始，直到有一人投中为止，假定甲、乙二人投篮的命中率分别为0.4及0.5，求：(1)二人投篮总次数Z的概率分布；(2)甲投篮次数X的概率分布；(3)乙投篮次数Y的概率分布.解(1)(0.6×0.5)·0.4=0.4(0.3)k=1,2,…0.5×0.6×(0.6×0.5)=0.3kk=1,2,…(2)(3)14.一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).解X可以取0,1,

2,3,

4

.P

{

X＝0

}

＝0.4P

{

X＝1

}＝0.6×0.4＝0.24P

{

X＝2

}

＝0.62×0.4＝0.144P

{

X＝3

}

＝0.63×0.4＝0.0864P

{

X＝4

}

＝0.64＝0.129615.问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1)解在［0,

］与［0,

π］上，sinx≥0,但是而在上,sinx

≤0.因此只有(1)中的a,

b可以使f(x)是一个概率密度函数.16.其中c＞0，问f(x)是否为密度函数，为什么?解易见对任何x∈(－∞

,＋∞)

,f

(

x

)

≥

0，又f(x)是一个密度函数

.17.问f

(

x

)是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由.解如果f

(

x

)是密度函数，则f

(

x

)≥0，因此a≥0，但是，当a≥0时，由于不是1，因此f

(

x

)不是密度函数.18.设随机变量X～f

(

x

)确定常数a的值，如果P

{

a

＜

x

＜

b

}

＝0.5，求b的值.解解方程

=1得a

=0解关于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19.某种电子元件的寿命X是随机变量，概率密度为3个这种元件串联在一个线路中，计算这3个元件使用了150小时后仍能使线路正常工作的概率.解串联线路正常工作的充分必要条件是3个元件都能正常工作.而三个元件的寿命是三个相互独立同分布的随机变量，因此若用事件A表示“线路正常工作”，则20.设随机变量X～f

(

x

)，f

(

x

)＝Ae－|x|，确定系数A；计算P

{

|X

|≤1

}.解解得A＝21.设随机变量Y服从［0,5］上的均匀分布，求关于x的二次方程4x2＋4xY+Y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0.有实根的充分必要条件是△＝b2－4ac=16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥设事件P(A)为所求概率.则=0.622.设随机变量X

～

f

(

x

)，确定常数c，计算解c=23.设随机变量X的分布函数F

(

x

)为确定系数A，计算，求概率密度f

(

x

).解连续型随机变量X的分布函数是连续函数，F

(1)＝F

(1－0)，有A＝1.24.求第20题中X的分布函数F

(

x

)

.解

当t

≤0时，当t＞0时，25.函数(1+x2)－1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F

(－∞)＝1

≠0.26.随机变量X～f

(

x

)，并且,确定a的值；求分布函数F

(

x

)；计算.解因此a

=127.随机变量X的分布函数F

(

x

)

为：确定常数A的值，计算.解由F

(

2＋0

)＝F

(

2

)，可得0.7528.随机变量X～f

(

x

)，f

(

x

)＝确定A的值；求分布函数F

(

x

)

.解因此A＝，29.随机变量X～f

(

x

)，其他其他确定a的值并求分布函数F

(

x

)

.解因此，a

=

π当0＜x＜π时，30.随机变量X的分布函数为求X的概率密度并计算.解当x

≤0时，X的概率密度f

(

x

)

＝0；当x

＞

0时，f

(

x

)

＝F′

(

x

)31.随机变量X服从参数为0.7的0－1分布，求X2，X2－2X的概率分布.解X2仍服从0－1分布，且P

{

X2＝0

}

＝P

{

X＝0

}

＝0.3，P{X2＝1}＝P{X＝1}＝0.7X2－2X的取值为－1与0

,P{X2－2X＝0}＝P

{

X＝0

}

＝0.3P

{

X2－2X＝－1

}

＝1－P

{

X＝0

}

＝0.732.已知P

{

X＝10n

}

＝P

{

X＝10-n

}＝Y=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值为±1,±2

,

…P

{

Y=n

}

=P

{

lgX=n

}

=P

{

X=10n

}

=P

{

Y=－n

}

=P

{

lgX=－n

}

=P

{

x=10-n

}

＝n＝1

,2

,

…33.X服从［a,b］上的均匀分布，Y=ax+b(a≠0)，求证Y也服从均匀分布.证设Y的概率密度为fY

(

y

)

，X的概率密度为fX(

x

)，只要a

≠

0，y

=

ax

+

b都是x的单调函数.当a

＞

0时，Y的取值为［a2+b,ab+b］,当时，fY(

y

)

=0.类似地，若a＜0，则Y的取值为［

ab+b

,

a2+b

］因此，无论a＞0还是a＜0，ax+b均服从均匀分布.34.随机变量X服从［0

,

］上的均匀分布Y=cosX

,

求Y的概率密度fY(

y

).解y=cosx在［0,］上单调，在(0

,

1)上，h

(

y

)

=

x

=arccosyh′

(

y

)

=

,fx

(x)=,0≤x≤.因此35.随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，Y=ex,Z=｜lnX｜，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY(y)及fZ(z).解y=ex在(0,1)内单调,x=lny可导，且x′y=,fX(x)=10＜x＜1,因此有在(0,1)内lnx＜0｜lnx｜=-lnx单调，且x=e，x′z＝－e，因此有36.随机变量X～f(x)，Y=,Z=X2,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fy(y)与fZ(z).解当x＞0时，y=单调，其反函数为x=y2,x′y=2y当x＞0时z＝x2也是单调函数，其反函数为x=,x′z=37.Z=,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY(y)与fz

(z).解由于y=arctanx是单调函数，其反函数x=tany,x′y=sec2y在内恒不为零，因此，当0＜y＜时，即Y服从区间(0,)上的均匀分布.因此当z＞0时，即Z=与X同分布.38.一个质点在半径为R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动.求该质点横坐标X的密度函数fX(x).解如图，设质点在圆周位置为M，弧EQ\o\ac(\s\up12(⌒),AB)EQ的长记为L，显然L是一个连续型随机变量，L服从［0，πR］上的均匀分布.图2-图2-1M点的横坐标X也是一个随机变量，它是弧长L的函数，且X＝Rcosθ＝Rcos函数x=Rcosl/R是l的单调函数(0＜l＜πR),其反函数为l＝Rarccos当－R＜x＜R时，L′x≠0，此时有当x≤－R或x≥R时，fX(x)＝0.39.计算第2,3,5,6,11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X概率分布，有亦可从X服从超几何分布，直接计算在第3题中亦可从X服从二项分布(2，)，直接用期望公式计算：在第5题中(1)(2)在第6题中，在第11题中，40.P{X=n}=,n=1,2,3,4,5,确定C的值并计算EX.解41.随机变量X只取－1,0,1三个值，且相应概率的比为1:2:3，计算EX.解设P{X＝－1}＝a，则P{X＝0}＝2a,P{X＝3a(a＞0)，因a+2a+3a42.随机变量X服从参数为0.8的0－1分布，通过计算说明EX2是否等于(EX)2?解EX＝P{X＝1}＝0.8，(EX)2＝0.64EX2＝1×0.8＝0.8＞(EX)243.解当n为奇数时，是奇函数，且积分收敛，因此当n为偶数时，44.随机变量X～f(x)，其他其他计算EXn(n为正整数).解45.随机变量X～f(x)，其他其他b,c均大于0，问EX可否等于1，为什么?解而由于方程组无解，因此EX不能等于1.46.计算第6，40各题中X的方差DX.解在第6题中，从第39题计算知EX＝，DX＝EX2－(EX)2≈0.46在第40题中，已计算出EX＝,=DX=EX2-(EX)2≈1.7747.计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f(x)＝（0＜x＜1）,因此DX=EX2－(EX)2=在第29题中，由于f(x)＝(0＜x＜π),因此DX＝EX2－(EX)2=48.计算第34题中随机变量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49.已知随机变量X的分布函数F(x)为：F(x)=计算EX与DX.解依题意，X的密度函数f(x)为：解EX＝EX2=DX=50.已知随机变量X的期望EX＝μ，方差DX＝σ2，随机变量Y=,求EY和DY.解EY=(EX－μ)＝0DY==151.随机变量Yn～B(n,),分别就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并画出概率函数图.解Y101Y2012PPY30123PY401234PY8012345678P65617496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a=1/65536.图略.52.设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X，求X的概率分布.解X可以取值0,1,2,3,4.相应概率为P(X＝m)＝(m=0,1,2,3,4)计算结果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653.设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率.解记X为10次投篮中命中的次数，则X～B

(

10

,

0.7

)

.=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X，则X～B（4，）.EX

=

np

=由于np

+

p

=

，其X的最可能值为［

np

+p

］=0若计算，显然概率更小.55．已知随机变量X～B（n,

p），并且EX=3，DX=2，写出X的全部可能取值，并计算.解根据二项分布的期望与方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9

.X的全部可能取值为0,1,2,3,…,9.=

1－≈0.999956．随机变量X～B（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，问X取什么值的概率最大，其概率值为何?解由于DX

=

EX2－(EX)2=0.64,EX=0.8,即解得q

=

0.8，p

=

0.2，n

=

4

.由于np+p=1，因此X取0与取1的概率最大，其概率值为57．随机变量X～B（n,

p），Y=eaX，计算随机变量Y的期望EY和方差DY

.解随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此Y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有58.从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X，Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服从超几何分布，Y服从二项分布B（4，）.具体计算结果列于下面两个表中.X01234P46/833208/833325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659.随机变量X服从参数为2的泊松分布，查表写出概率并与上题中的概率分布进行比较.01234P0.13530.27070.27070.18040.090260．从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解设500件中废品件数为X，它是一个随机变量且X服从N=100000，=100，n=500的超几何分布.由于n相对于N较小，因此它可以用二项分布B（500，0.001）近似.又因在二项分布B（500，0.001）中，n=500比较大，而p=0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数λ=np=0.5.61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解设X为一件产品表面上的疵点数目，（1）（2）设一件产品的产值为Y元，它可以取值为0，8，10.62．设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解设一页书上印刷错误为X，4页中没有印刷错误的页数为Y，依题意，即解得λ=2，即X服从λ=2的泊松分布.显然Y～B63．每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两倍，求粮仓内无鼠的概率.解设X为粮仓内老鼠数目，依题意解得λ=1.64．上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y，则Y～B（10，p），其中65．设随机变量X服从上的均匀分布，计算E(2X)，D（2X），.解EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66．随机变量X服从标准正态分布，求概率P.解67．随机变量X服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值：（1）；（2）（3）（4）解（1），查表得a=1.28（2），得Φ（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a=2（4），得Φ(a)=0.55，查表得a=0.1368.随机变量X服从正态分布，求概率,,.解P=0.682669．随机变量X服从正态分布，若,，计算μ和σ的值，求.解查表得：解以μ和σ为未知量的方程组，得μ=5.08，σ=2.=0.322870．已知随机变量，，，确定c和d的值.解=，查表得查表得71．假定随机变量X服从正态分布，确定下列各概

率等式中a的数值：（1）（2）（3）解=2Φ(a)-1（1）2Φ(a)-1=0.9，Φ(a)=0.95，a=1.64；（2）2Φ(a)-1=0.95，Φ(a)=0.975,a=1.96；（3）2Φ(a)-1=0.99，Φ(a)=0.995，a=2.58.72．某科统考的考试成绩X近似服从正态分布,第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分?解设参加统考人数为n，则=0.8413，n=设第20名成绩约为a分，则查表得a=79.6因此第20名的成绩约为80分.习题三1．袋内有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地抽取两次，记X、Y分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求（X，Y）的概率分布.解（X，Y）可以取值为（1，2），（1，3），…，(3，4).事件是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和，其概率为1/6，类似地可以计算出其他pij的值（见下表）.XYX234pi.120300p.j2．求上题中随机变量X与Y的边缘分布.并计算期望EX，EY与方差DX，DY.解在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到X的边缘分布pi.（i=1，2，3）.类似地，可以得到关于Y的边缘分布，其具体结果见上题联合分布表.EX=3．一个袋内有10个球，其中有红球4个，白球5个，黑球1个，不放回地抽取两次，每次一个，记X表示两次中取到的红球数目，Y表示取到的白球数目，求随机向量（X，Y）的概率分布及X、Y的边缘概率分布.解显然（X，Y）的全部取值为（0，1），（0，2），…（2，0）.类似地可以计算出其他pij的值（见下表）：XYXY01200102004．上题中试验条件不变，若记i=1，2，求随机向量的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.解易见的全部可能取值为（0，0），（0，1），…（2，1）.应用乘法公式不难计算出pij的全部值（见下表）：X2X101201205．第3题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第4题中定义的随机向量的概率分布.解的取值为(0，0)，(0，1)，…(2，2)．且，因此，的联合概率分布为下表所示：X2X101200.160.200.0410.200.250.0520.040.050.016．将3个球随机地放入四个盒子，记表示第i个盒子内球的个数，i=1，2，求随机变量与的联合概率分布及关于的边缘分布.解取值为（0，0），（0，1），…（3，0）列成联合分布表如下，表中最下一列为X2的边缘分布p.j，j=0，1，2，3.X2X101230102003000p.j7．将3个球随机地放入四个盒子，设X表示第一个盒子内球的个数，Y表示有球的盒子个数，求随机向量（X，Y）的概率分布.解（2，2）．类似地可以依次计算出pij的值（见下表）：YX1230102003008.--解Y.j（X，Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为Y的边缘分布，X+Y的分布见下表：X+Y012P9．袋中有10张卡片，其中有m张卡片上写有数字m，m=1，2，3，4，从中不重复地抽取两次，每次一张，记Xi表示第i次取到的卡片上数字，i=1，2.求的概率分布以及X1+X2，X1X2的概率分布.解可以取（1，2），（1，3），…（4，4），其相应概率见下表：X2X1123410234X1+X2可以取3，4，…，8各值，X1X2可以取2，3，4，6，8，9，12，16各值，其相应概率见以下二表：345678P2346891216P10．随机向量（X，Y）～f（x,y），x,y＞0确定系数A的值，求联合分布函数F(x,y).解11．随机向量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，求分布密度f（x,y）,其中D为下面给定的区域：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）12．求上题中关于X及关于Y的边缘密度.解（1）（2）当｜x｜＞2时，fx（x）=0，类似地（3）当｜x｜≤1时，当｜x｜＞1时，fX（x）=0，类似地，13．计算第11题（3）中的EX及EY.解14．分别判断第3、7、8各题中的随机变量X与Y是否独立?解在第3题中，而,因此X与Y不独立；同样方法可以判断出第7与第8题中的X与Y均不独立.15．判断第10，11各题中的随机变量X与Y是否独立?解在第10题中，由于对任何x、y均有F(x,y)=FX(x)FY(y)，因此随机变量X与Y独立；在第11题（1）中的f（x,y）=fX(x)fY(y)，因此X与Y是独立的，而在第11题的（2）与（3）中，不能对于所有x,y均满足等式f（x,y）=fX(x)fY(y),因此（2）与（3）中的X，Y是不独立的.16．设随机变量X1与X2独立，其概率分布由下面两表确定，令，求随机向量（X1，X2）的概率分布及X、Y的概率分布.X101X2123P0.60.4P0.50.30.2解由于X1与X2独立，因此有具体计算结果列于下表X2X112300.300.180.1210.200.120.08X的取值为1，2，3，4.=0.30类似地，可以计算出列于下表X1234P0.300.380.240.08随机变量Y可以取0，1，2，3各值.17．有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为1的泊松分布，假定各版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数X的概率分布.解设X1，X2分别表示第1、第2版面上的印刷错误，X=X1+X2，X可以取一切非负整数.18．设随机变量X1与X2独立，且Xi～B(2,0.8),i=1,2令X=X1+X2，Y=X1·X2，求X、Y的概率分布.解X可以取0，1，2，3，4各值Y可以取0，1，2，4各值19．求上题随机向量（X,Y）的协差矩阵V.解由上题知，X～B（4，0.8），EX=3.2，DX=0.64EY=2.56，DY=1.740820．求第6题中随机向量（X1，X2）的协差矩阵V.解21．求第7、8各题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解在第7题中，在第8题中22.计算第11题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵V.解23．设随机向量（X，Y）～f（x,y）其他其他求系数A，X的边缘概率密度f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0），（0，2），（2，1）为顶点的三角形内取值的概率.解当0≤x≤2时，当x＜0或x＞2时，fX(x)=0记所求概率为p，则有24．计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解25．随机变量X与Y独立，且X服从［0，2］上的均匀分布，Y服从λ=2的指数分布，写出随机向量（X，Y）的概率密度，计算概率P{X≤Y}.解由于X与Y独立，因此有26．已知随机向量（X，Y）的协差矩阵V为计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵.解D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=25D(X-Y)=DX-2Cov(X，Y)+DY=1Cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=-527．设随机变量Y是X的线性函数，Y=aX+b，（a≠0），且随机变量X存在期望EX=μ，方差DX=σ2，求随机向量（X，Y）的协差矩阵.解28．一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为5，10，15，20，25（单位：厘米），假定射击时弹着点的位置为（X，Y），且（X，Y）服从二维正态分布，其密度为现规定弹着点落入最小的圆域得5分，落入其他各圆环（从小到大）的得分依次为4分、3分、2分及1分，求1次射击的平均得分.解设随机变量W为一次射击的得分，则W可以取0，1，2，3，4，5各值.同样方法可以计算出29．上题中设Z为弹着点到靶心的距离，求Z的概率密度fZ（z）及期望EZ.解依题意随机变量Z是X与Y的函数，且当z＞0时，令x=rcosθ，y=rsinθ30．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是求出密度函数f(x,y)的表示式解将μ1=μ2=0，，ρ=0.6代入二维正态分布的概率密度公式，得31．设随机向量（X，Y）～f（x,y），

求（X，Y）的均值向量与协差矩阵.解易见（X，Y）服从二维正态分布μ1=0，μ2=1且σ1，σ2，ρ满足下列等式：解上面方程组，得32．随机向量（X，Y）～f（x,y），确定A的值，并求X与Y的相关矩阵.其中解法一：类似地计算表明X与Y的相关系数矩阵R为解法二：与31题解法相同，略.33．随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵.解E（9X+Y）=9EX+EY=9μ1+μ2E（X-Y）=EX-EY=μ1-μ2D（9X+Y）=81DX+18Cov(X，Y)+DYD（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DYCov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY*34．随机变量X～N（0，1），Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3）的均值向量与协差矩阵.解*35．随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，期望和方差都存在，求证X1，X2，…，Xn的相关矩阵为n阶单位矩阵.证由于X1，X2，…，Xn相互独立，因此EXiXj=EXiEXj36．随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立同正态分布，当n充分大时，可否认为，近似服从正态分布，为什么?解可以，事实上，由于X1，…，Xn相互独立，同正态分布，不论n是否充分大，都一定服从正态分布，不仅仅是近似服从正态分布.37．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立同分布，其概率密度问它们是否满足中心极限定理，为什么?解不满足.由于Xi的期望不存在.这是由于积分因此对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理.38．200个新生儿中，求男孩数在80到120之间的概率（假定生男、生女的机会相同）.解令X表示200名新生儿中男孩数目，则X～B，EX=100，DX=50由于n相当大，X近似服从正态分布N（100，50）39．从一大批废品率为3％的产品中随机地抽取1000个，求废品数在20到40个之间的概率.解设1000个中的废品个数为X，则X服从超几何分布，由于整批产品数量很大，而抽取数目1000相对于一大批产品是很少的.因此X近似服从二项分布B(1000，0.03).EX=30，DX

=29.1.由n=1000，X近似服从正态分布N(30，29.1).40．随机变量X1，X2，…，X100相互独立同分布，EX1=μ，DX1=16，求，其中.解根据中心极限定理近似服从正态分布,近似服从分布41．袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率.解设箱中第i袋食盐净重为Xi克，i=1，…，100.则X1，…，X100相互独立同分布.EXi=500，DXi=100，设一箱食盐净重为X克，则，EX=50000，DX=10000，由于n=100，X近似服从中心极限定理42．计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时需使用打印机的概率.解依题意，在某一时刻每个终端使用打印机的概率为,且120个终端同时需使用打印机的数目X～B，EX=6，DX=5.7，X近似服从正态分布N（6，5.7）.43．一大批种子中，良种占20％，从中任选5000粒，计算其良种率与20％之差小于1％的概率.解设5000粒中良种数目为X，则X近似服从二项分布B（5000，0.2），由于n=5000，故X又近似服从正态分布N（1000，800）.

44．上题中在所取的5000粒中，若以99％的把握断定其良种率与规定的良种率20％误差的范围，问此时良种数所在的范围为何?解接上题，设a满足概率等式：即Ｘ在927与1073之间.45．第一章表1－2中曾记录了皮尔孙掷硬币12000次正面出现6019次，若我们现在重复他的试验，求正面出现的频率与其概率之差的绝对值，不大于当年皮尔孙试验所发生的偏差的概率.解设随机变量X表示掷硬币12000次中正面出现的次数，则X～B（12000，0.5），且X近似服从正态分布N（6000，3000）.46．交换台有10条外线，若干台分机，在一段时间内，每台分机使用外线的概率为10％，问最多可装多少台分机才能以90％的把握使外线畅通.解设最多可装n台分机，记X为n台分机中同时使用外线的数目，则X～B（n，0.1），一般n不会太小，可以认为X近似服从正态分布N(0.1n，0.09n).n应满足下面概率等式：即解以n为未知量的方程：得到n≈68.47．某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是相互独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电厂最少要供应该车间多少单位电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产?解设随机变量X表示200部机床中同时开动的机床数目，则X～B（200，0.7），且X近似服从正态分布N（140，42），令m满足下列概率等式：即计算得知，电厂最少要供应该车间2265单位电能.48．计算机在进行加法时，每个加数取整数（按四舍五入取最为接近它的整数），设所有加数的取整误差是相互独立的，且它们都服从［-0.5，0.5］上的均匀分布.（1）若将300个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率；（2）至多几个数加在一起，其误差总和的绝对值小于10的概率为0.9.解设Xi为第i个加数的取整误差，i=1，2，…，300.X表示300个加数的误差总和，则有X1，…，X300相互独立，EXi=0，，X=，EX=0，DX=25.X近似服从分布N.（1）（2）设n为所求的加数个数，则n应满足下面概率等式：但是近似服从分布N，因此自即49．设有30个电子器件，它们的使用寿命（单位：小时）T1，T2，…，T30，都服从λ=0.1的指数分布，其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，第二个损坏，第三个立即使用等等，令T为30个器件使用的总计时间，计算T超过360小时的概率.解计算30个相互独立同指数分布随机变量之和的分布已超出本书范围，尽管n为30不是足够大，但我们仍用正态分布近似计算.T近似服从分布N（300，3000）.50．某产品次品率为10％，应取多少件，才能使合格品不少于100件的概率达到95％?解设应取n件产品，n件产品中合格品数为X，则X～B（n，0.9）.EX=0.9nDX=0.09n，依题意，n应满足下面概率等式：即51．随机地掷10颗骰子，用切比雪夫不等式估计点数总和在20和50之间的概率.解设第i颗骰子的点数为Xi，i=1，2，…，10，X表示10颗骰子点数总和，X1，…，X10相互独立同分布：，n=1,2,…,6.即52．用切比雪夫不等式估计第38、39、40三题中的概率.解在第38题中，X～B（200，0.5），EX=100，DX=50在第39题中，X近似服从分布B（1000，0.03），EX=30，DX=29.1在第40题中，53．设P(A)=p，p未知，若试验1000次，用A发生的频率代替概率p，估计所产生的误差小于10％的概率为多少?解设1000次试验中事件A发生次数为X，X～B（1000，p），EX=1000p，DX=1000p(1-p).由于p未知，用切比雪夫不等式估计.最后一步是由于p的二次函数p(1-p)当p=0.5时取最大值0.25.习题四1．设总体X服从正态分布N是它的一组样本，（1）写出所服从的分布；（2）求＞11的概率.解（1）～N，即～N.（2）=1-Φ(0.8165).解法一：解法二：查表得：Φ(0.81)=0.7910，Φ(0.82)=0.7939，可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：对于x∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x)，则有Φ(0.8165)故这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.2.设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，，分别按总体服从下列指定分布求E()，D().（1）X服从0-1分布：；（2）X服从二项分布：1，2，…，m；（3）X服从泊松分布：=0，1，2，…；其他（4）X服从均匀分布：f(x)=其他（5）X服从指数分布：f(x)=解（1）X服从0-1分布，EX=p，DX=p(1-p),故（2）X服从二项分布，EX=mp，DX=mp(1-p)，同（1），可以求得（3）X服从泊松分布EX=λ，DX=λ，同（1），可以求得：E=λ，D=λ.（4）X服从均匀分布，同（1），可以求得.（5）X服从指数分布,同（1），可以求得.注一般地讲，设X1，X2，…，Xn是总体X的样本，，若X的样本与方差均存在，则对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.3．设总体X服从正态分布，X1，X2，…，Xn是总体X的一组样本，是样本均值，试问：样本容量n至少应取多大，才能使解X～N，故根据题目的要求查表得Φ(1.96)=0.975.故，因为n只能取正整数，所以，样本容量n至少应取35.4．设X1，X2，…，X6为正态总体N的一个样本，求.解由Xi～N（i=1，2，…，6），知～N（0，1）（i=1，2，…，6），且它们相互独立，故,所以=0.955．设总体X和Y相互独立，都服从正态分布N（30，32），X1，X2，…，X20，Y1，Y2，…，Y25分别是来自X和Y的样本.求的概率.解由Xi～N（30，32）（i=1，2，…，20），Yi～N（30，32）（i=1，2，…，25），知又X与Y相互独立，所以与也相互独立.从而即故.6．设和是来自正态总体N(μ

,

σ2)的容量为n的两个样本均值.试确定n，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.解

因为X，Y是两个不同的样本，故X与Y相互独立，与也相互独立.从而

故根据题设查表得n=13.3128.所以n可以取13或14.7.设X服从正态分布N（），是X的样本.试求下列概论：（1）（2）解(1)从而即记(2)

根据样本方差的性质，记

8.用附表4求下列各式中的值：解（1）（2）由得查表得（3）直接查表，（4）由得查表得9.用附表5求下列各式中的值：（1）（2）（3）（4）（5）解（1）（2）得查表得故有查表得 查表， 由 知 查表得10.用附表6求下列各式的值：解(1)先找的表，在该表中，找对应的值，可知（2）在这里先复习一下F分布的一个性质：若F~F利用上述性质，可得：查表得故查表得查表得11.设总体X服从标准正态分布N（0,1）为其样本，S2为样本方差，为样本均值，求D(),E(S2).解（2）解法一：故解法二：故12.

A牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A牌灯泡的平均寿命至少大于B灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？解（1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,近似地服从正态分布.根据题意,相互独立，故 从而注在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用进行线性插值，可得.注2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213.如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围.解对于第1个样本对于第2个样本统计量即故查F分布表由可得即所求的概率范围为（0.025，0.05）.14.设是取自正态总体的一个样本，S2为样本方差，求满足等式的最小n值.解由知即依题设，易知服从自由度为的分布.根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式（B）由（A）、（B）两个式子，可以得到（C）（A）式与（C）式等价，因此满足（C）式的最小n值即为满足（A）式的最小n值.查表并整理得n211.53.841×3235.991×434.57.815×25243636.415×262537.537.652×27263938.885√282740.540.113√故所求的最小n值为27.15.

已知X服从n个自由度的t分布，求证X

2服从自由度为（1，n）的F分布，即证

当所以16.设是来自正态总体的简单随机样本，求系数a,b,c,使服从2分布，并求其自由度.解

由于Xi独立同分布，有从而由2分布的可加性知，所以，当17.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N（0，32），X1,

X2,…,

X9和Y1,Y2,…,Y9分别来自总体X和Y的简单随机样本，试证统计量服从自由度为9的t分布.证

首先将Xi,Yi分别除以3，使之化为标准正态.

令再令因此

由服从t分布统计量的典型模式知，T服从自由度为9的t分布，即Tt(9).18.设总体X服从正态分布N从中抽取一个样本X1,X2,…,Xn+1.记试证：分析：因为分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证明即可.证故所以又从而

19.

设X1,X2,…,Xn是来自总体的样本，记试证：证明记则所以20.设总体X服从正态分布N(62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解设需要样本容量为n,则查标准正态分布表，得所以故样本容量至少应取68.21.设X1,X2,…,X9为来自总体X～N(a,22),Y1,Y2,…,Y16为来自总体Y～N(b,22)的两个相互独立的简单随机样本.记求满足下列各式的常数解，故类似地所以查标准正态分布得可见即所以查表得可知

因此习题五1.分别按总体服从下列分布求其他.（1）X其他.（2）X服从泊松分布：（3）X服从二项分布：解故由方差的计算公式可以直接求出E(S2).（1）X服从均匀分布（2）X服从泊松分布（3）X服从二项分布2.

设X1,X2,…,Xn是总体X的一个样本,试证：是总体方差的无偏估计量.证由期望公式有所以，是DX的无偏估计量

.3.

对样本X1,X2,…,Xn作变换试证：证4.

设X1,X2,…,Xn是X的一样本，试证估计量都是EX的无偏估计，且的方差不超过W的方差.证因为X与Xi同分布，所以EXi=EX

.故同理，所以由于根据柯西不等式得从而有5.

从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520148318271654163114831411166015401987试求方差的无偏估计

.解因为是方差的无偏估计量，故只要计算S2的值.=30892.49.6.

设X1,X2,…,Xn为正态总体的一个样本，适当选择常数C，使解设由期望的定义与性质可得故7.

设总体X的密度函数是是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.解似然函数得8.

设总体X服从韦布尔分布，密度函数是其中为已知，X1,X2,…,Xn是来自X的样本,求参数的最大似然估计.解似然函数从而得到9.设总体X服从马克斯韦尔分布，密度函数是X1,X2,…,Xn是总体X的样本，求的最大似然估计.解似然函数所以10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)18121890258017892703192120541354196723241884212023041480求的最大似然估计值.解由于指数分布的最大似然估计所以11.设总体X服从［a

,

b］区间上的均匀分布，是总体X的一组样本,求a和b的最大似然估计量.解似然函数由于似然方程组无解，不存在驻点，考虑边界上的点，因为故有越小L越大，所以当L取到最大值.即：是a

,b的最大似然估计量.12.设总体X的密度函数为问是否为的无偏估计？为什么？解因总体X是服从参数的指数分布，由指数分布的期望公式知，又所以13.求习题7,10,11中的参数的矩估计.解（7）由于故解得取所以的矩估计量（10）已知所以（11）即用得其中14．对球的直径作了5次测量，测量的结果是(厘米)，试求样本均值和样本方差.解(厘米)15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：2.232.212.202.242.222.252.212.242.252.232.252.212.242.232.252.22设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间.(1)若已知＝0.01(2)若未知解(1)由于已知＝0.01，α＝0.1所以的置信区间为故得的90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知由α＝0.10，查自由度为15的t分布，得分位数得EX的置信度为0.9的置信区间为(2.223，2.237).16．解正态总体置信区间长为由题意故.17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？解若假定反应时间X服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n.所以应取样本容量n＝97.若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n较大，故可以假定其服从正态分布.18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.解因样本容量n较大，故可假定滚珠轴承的直径x服从正态分布.由已知将上述各值代入置信区间公式中，可得19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：578582574568596572570584578设抗拉强度服从正态分布，求σ2的置信度为0.95的置信区间.解由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ2的置信区间为经计算置信区间为(33.76，271.56).20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间.解由14题知的置信区间，的置信区间*21．为比较A牌与B牌灯泡的寿命，随机抽取A牌灯泡10只，测得平均寿命小时，样本标准差52小时；随机抽取B牌灯泡8只，测得平均寿命1250小时，样本标准差64小时，设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值的95％置信区间.解由题设，故两总体均值差的置信区间为(*)将以上各数值代入(*)，得的置信区间为(92.65，207.35).22．从二正态总体X、Y中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得试求方差比的95％置信区间.解已知又α＝0.05，查F分布上侧分位数表，得F0.025(15,9)=3.77,F0.025(9,15)=3.12，代入方差比的置信区间得0.95置信区间为23．的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.解因为是大样本，由比率的置信区间公式得所以置信区间为(0.7216，0.8784).同理可得置信度为0.99的置信区间为≈(0.697，0.903)*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗衣机家庭比率的0.99置信区间.解利用二项分布和F分布的关系其中是自由度为和的F分布函数，可得p的置信区间其中而是自由度为的F分布水平β上侧分位数.我们利用上面公式求的0.90置信区间，其中，，，；自由度，，由附表可直接查出F0.05(f2，f1)＝F0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F0.05(f1+2，f2-2)＝F0.05(14,18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有F0.05(10,18)＝2.41，F0.05(15,18)＝2.27则F0.05(14,18)≈F0.05(15,18)+＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得(14,18)＝1/2.298＝0.435.从而，有a＝f2F0.05(f2,f1)＝20×2.54＝50.b＝(f2-1)(f1+2，f2-1)＝18×0.435＝7.83.于是＝,＝最后，求得p的0.90置信区间为(0.191，0.641).*25.设总体X的期望为μ，方差为σ2，分别抽取容量为n1、n2的两个独立随机样本，，为两个样本的均值，试证：如果a，b是满足a+b=1的常数，则Y＝a+b就是μ的无偏估计量，并确定a，b，使DY最小.证 由两个样本独立知与独立，有EY＝E(a+b)＝aE+bE＝aμ+bμ＝μ(a+b)＝μ，所以Y是μ的无偏估计量.DY＝D(+)＝+＝a2·=为使DY最小，需求的最小值.设g(a)＝+g′(a)＝令g′(a)＝0，得a＝，由于a+b=1,所以，b＝.将a=，b=代入DY中，得(DY)min＝.*26．设总体X、Y相互独立，且X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，从中分别取容量为n1，n2的简单随机样本，记，为样本方差，试证：当常数a，b满足a+b＝1时，Z＝a+b是σ2的无偏估计量，并确定a，b，使DZ最小.证 因为与是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有EZ＝E(a+a)=aE+bE,又与都是σ2的无偏估计量，故EZ＝aσ2+bσ2=σ2(a+b)=σ2.DZ=a2D+b2D=a2·+b2=.(*)为使DZ达到最小值，仿25题g(a)=，求g′(a)=0，即可得到a=.代入DZ中，得(DZ)min=.注：在(*)式中用到D(S2)＝这一结论.因为～.已知Γ(α，β)的方差等于，而χ2(n)＝Γ，故χ2(n)的方差等于2n，于是，.习题六5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X～N(μ，σ2)，其中μ＝15，重量为(单位:克)：14.715.114.81515.314.915.214.6.已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05)解 待检验的假设是H0:μ＝15.取统计量U＝，在H0成立时，U～N(0，1).查表知P｛｜U｜≥1.96｝＝0.05.根据样本值计算得＝14.95，.因｜U0｜＝0.6325＜1.96故H0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.550，0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？解 待检验的假设是H0:μ＝4.550.因＝4.484，故｜U0｜＝.在H0成立条件下，U～N(0，1)，查表知P{｜U｜＞1.96}＝0.05.而｜U0｜＝1.833＜1.96，故H0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.6630.0631.6430.2231.8731.05公斤/厘米2.设砖的抗断强度X～N(μ，1.12).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？解待检验的假设是H0:μ＝32.5在H0成立条件下统计量～N(0，1)，查表知P{｜U｜＞2.58}＝0.01.由样本值算得＝31.25｜U0｜＝＞2.58.

故否定H0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米28．某厂生产的钢筋断裂强度X～N(μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值较以往的均值μ大17(公斤/厘米2).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？解待检验