1.1 集合的概念讲义-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1集合的概念知识整合一、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．二、元素与集合的关系：属于()或不属于()．三、集合的表示法：自然语言法，列举法、描述法．四、正整数集和自然数集表示方法的区别：正整数集N*或N＋，为1,2,3，…；自然数集N，为0,1,2,3，…，这是集合的高频考点，注意二者的区别。五、集合元素的三个特征中，元素的互异性应用的尤为广泛，解题过程中，一定要时刻注意集合元素的这个特征，在解题前以及解题后都要充分考虑到集合元素的互异性，该检验的检验，该舍的舍掉。六、新定义题型是集合命题中的一个热点，此类题目首先会给出一个概念，然后利用集合为解题的工具，通过探究的形式解决一个提出的问题，从而考查学生正确理解题意，解决创新问题的能力。七、根据元素与集合之间的关系求参数的值或其取值范围，一般先把集合化简，然后利用数形结合的思想方法解决问题。八、有些题目是用描述法给出的集合，要求用列举法表示该集合，若解方程的结果有字母参数，则需对参数进行分类讨论。九、数集与点集的区分是高频考点，也是易错考点，注意数集用数字来表示元素，点集用有序数对来表示元素。十、集合的解答题常与一元二次方程结合起来考查，解决这类型问题要注意分类讨论，若二次项系数含有参数，则首先讨论二次项系数，另外，在二次项系数不为0的情况下，还需根据题意对方程的判别式进行讨论。最后再归纳总结。1.1集合的概念题型一、集合与元素的含义1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（

）A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数2．（多选）给出下列说法，其中正确的有（）A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C．正偶数的全体可以构成一个集合；D．大于2011且小于2016的所有整数不能构成集合．3．下列关于集合的说法正确的有（

）①很小的整数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．下列说法中正确的是（

）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a,b,c，其中a,b,c是的三边长，则不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合5．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（多选）以下元素的全体能够构成集合的是（

）A．中国古代四大发明 B．地球上的小河流C．方程的实数解 D．周长为10cm的三角形题型二、集合中元素的三个特征1．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（

）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形2．已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．8 C．5 D．43．下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，4．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．下面四个命题正确的个数是（

）.①集合中最小的数是1；②若，则；③若，则的最小值是2；④的解集是.A．0 B．1 C．2 D．3题型三、元素与集合的关系1．下列关系中正确的个数是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．2．下列关系中，正确的是（

）A．-2N+ B．Z C．πQ D．5N3．用符号“∈”或“∉”填空：1____N，－3____N，___Q，___N，1__Z，－3___Q，0___Z，___R，0___N*，π___R，___Q，___Z．4．已知集合，则（

）A． B． C． D．5．给出下列关系：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．46．（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．题型四、常见数集的表示1．下列常数集表示正确的是()A．实数集R B．整数集Q C．有理数集N D．自然数集Z2．下列说法中，正确的个数是（）①集合N与集合N+是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素。A.1B.2C.3D.4题型五、集合的表示方法1．方程的所有实数根组成的集合为（）A． B． C． D．2．集合用列举法表示是（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}3．用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；（4）由所有正整数构成的集合．4．集合，用列举法可以表示为_________．5．表示方程的根的集合，用列举法可以表示为______，用描述法可表示为______.6．（多选）下列正确表示方程组的解集的是（

）A． B． C． D．7．用描述法表示下列集合．（1）小于5的正有理数组成的集合：______；（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；（3）偶数集：______；（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．8．选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(2)所有正奇数组成的集合B；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．题型六、集合的新定义运算1.设集合则中的元素个数为（）(A)3(B)4(C)5(D)62．定义集合且.已知集合，，则（

）A． B．C． D．3．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知集合，，则集合B中元素的个数是（

）A．1 B．4 C．3 D．25．对于数集M､N，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为___________.6．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则，则下列结论不正确的个数是__________个.（1）集合中至多有2个元素；（2）集合中至少有4个元素；（3）集合中有且仅有4个元素；（4）集合中至多有4个元素.题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围1．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是______2．已知集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（多选）已知集合至多有一个元素，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．5．若集合不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．6．已知集合，A中至少有一个元素，则的取值范围是_____________.7．若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值．8．设，，已知，，求的值．9．已知集合．(1)若集合A只有一个元素，求实数a的值；(2)用列举法表示集合A．10．已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；11．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．1.1集合的概念答案题型一、集合与元素的含义1、【答案】D【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.2、【答案】AC【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2011且小于2016的所有整数能构成集合，D错误.故选：AC.3、【答案】A【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．故选：A．4、【答案】C【详解】对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C5、【答案】A【详解】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=，则-∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A6、【答案】ACD【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性：中国古代四大发明是确定的，能构成集合，地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合，方程的实数解只有两个1和，能构成集合，周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合．故答案为：ACD．题型二、集合中元素的三个特征1、【答案】C【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.2、【答案】A【详解】由，得，，又，，所以，，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为.故选：A.3、【答案】B【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是数集，是点集，则D不正确．故选：B．4、【答案】C【详解】“book”中的字母构成的集合为，有3个元素，故选：C5、【答案】C【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当时，，但，故②错误；若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C题型三、元素与集合的关系1、【答案】B【详解】①错误②正确③错误④正确，故选：B2、【答案】C【详解】对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误；对于B，是分数，则Z，B错误；对于C，π是无理数，则πQ，C正确；对于D，5是正整数，则5N，D错误；故选：C3、【答案】

∈

∉

∈

∉

∈

∈

∈

∈

∉

∈

∈

∉【详解】表示自然数集；表示正整数集；表示整数集；表示有理数集；表示实数集.故答案为：；；；；；；；；；；；.4、【答案】D【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.所以，，，，故选：D5、【答案】B【详解】和是正确的；①②正确；因为，故③是错误的；因为故④是错误的；故⑤是错误的．故选：B.6、【答案】AB【详解】当x，y都大于零时，；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，；当x，y都小于零时，．根据元素与集合的关系，可知，，，．故选：AB．题型四、常见数集的表示1、【答案】A【详解】因为表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示自然数数集，所以A正确，故选A.2、B题型五、集合的表示方法1、【答案】C【详解】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C2、【答案】D【详解】由题知，故选：D3、【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．【详解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．（3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．（4）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．4、【答案】##【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合．故答案为：5、【答案】

##

（答案不唯一）【详解】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列举法可以表示为，用描述法可表示为（答案不唯一）故答案为：，（答案不唯一）6、【答案】BD【详解】由，解得，所以该方程组的解集为或.故选BD．7、【答案】

【详解】（1）由描述可得：集合为.（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.（3）由偶数可表示为，故集合为.（4）由描述知：集合为.故答案为：，，，.8、【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：．题型六、集合的新定义运算1、B2、【答案】C【详解】因为，，所以，故选：C3、【答案】C【详解】因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C4、【答案】B【详解】因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个，故选：B．5、【答案】##11.5【详解】,，,,,3,，,3,4,1,，元素之和为，故答案为：.6、【答案】3【详解】因为若，则，所以，，则；当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，所以集合M中至少有4个元素．故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，故答案为：3.题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围1、【答案】【详解】当时，只有一个解，则集合有且只有一个元素，符合题意；当时，若集合A中只有一个元素，则一元二次方程有二重根，即，即综上，或，故实数a的取值的集合为故答案为：2、【答案】C【详解】由题意可得，解得，故选：C3、【答案】D【详解】由题意可知，可得.故选：D4、【答案】BCD【详解】集合至多有一个元素，即方程至多一个解，时，解为，符合；时，由得：，结合选项可知BCD符合，故选：