数学新教材解读及考点剖析专题09 直线方向向量和法向量的应用

全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具.1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着（2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即，时，直线通过某个点，把方程叫做直线的点方向式方程.2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着（2）点法向式方程：如果直线通过某个点，且与向量垂直的直线方程，叫做直线的点法向式方程.3.理解方程中各字母及其系数的几何意义直线的方程方向向量法向量斜率[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A.B.C.D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A.B.C.D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1.设为直线l上的两点，则，我们把向量以及与它平行的向量都称为直线l的方向向量，把与直线l的方向向量垂直的向量称为直线l的法向量．若直线l经过点，则直线的一个法向量为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算出直线的方向向量，然后通过数量积逐项判断与是否垂直.【详解】因为，A．当，则，不满足，B．当，则，不满足，C．当，则，不满足，D．当，则，满足，故选：D.2.下列命题正确的有（）．①直线的方向向量是唯一的；②经过点且与向量平行的直线的点方向式方程为；③直线的一个方向向量是（1，0）．A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定①不正确；由直线的点方向式方程，可判定②不正确；由直线的斜率为0，可判定③是正确的.【详解】对于①中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以①不正确；对于②中，只有等时，经过点且与向量平行的直线的点方向式方程为，所以②不正确；对于③中，直线的斜率为0，所以直线的一个方向向量可以是，所以③是正确的.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3.若过点和点的直线与方向向量为的直线平行，则实数的值是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出坐标，由向量共线可得关于的方程，进而可求出的值.【详解】由题意得，与共线，所以，解得．经检验知，符合题意，故选:B．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4.已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直线的一个方向向量为，再求出向量的模，根据单位向量即可求解.【详解】由题意得，直线的一个方向向量为，则，因此直线的单位方向向量为，故选：D.【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5.设直线，其中且.给出下列结论其中真命题有（）A.的斜率是B.的倾斜角是C.的方向向量与向量平行D.的法向量与向量平行.【答案】AD【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD．【详解】因为直线，其中，所以的斜率是；所以A对；的倾斜角满足，但不一定有，所以B错；的方向向量为，因为，所以C错；的法向量为，因为，所以D对；故选：AD.6.直线经过点，且一个方向向量是，则直线的点法向式方程是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线经过点，且一个方向向量是，所以直线的点法向式方程是或故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.若一条直线的斜率为，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为，即可求得法向量.【详解】因为直线的斜率为，所以它的一个方向向量为，设一个法向量为，则，不妨取，则它的一个法向量是，故答案为：；.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8.直线，那么直线的一个方向向量为_____________；过点（2，1），并且的一个方向向量满足，则的点方向式方程是_____________．【答案】①.（与该项量共线的非零向量均可）②.【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线的一个方向向量；求得一个满足要求的向量后，利用直线的点方向式即可得的点方向式方程.【详解】由题意可得直线的一个方向向量为，所以可为（与该项量共线的非零向量均可）；设向量，由可得，令则，所以直线的一个方向向量为，又直线过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为.故答案为：（与该项量共线的非零向量均可）；.【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9.已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别为和，则，其中________.【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得、，进而可得即为在方向上的投影，再由即可得解.【详解】，，；，，即为在方向上的投影，.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10.如图，射线，所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于.（1）若，，求的值；（2）若，的面积是，求的值；（3）已知为常数，，的中点为，且，当变化时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或2；（3）【解析】【分析】(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;

(2)直线OA的方程为,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用的面积为,求k的值;

(3)设直线OA的倾斜角为,求出,,利用,可得P变化时,动点T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.【详解】（1