华师版九年级数学上册教学课件全套

第21章二次根式21.1二次根式（1）华师版九年级数学上册教学课件全套【学习目标】1．经历二次根式概念的发生过程；2．了解二次根式的概念；3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在

简单情况下求根号内所含字母的取值范围．1.正数有两个平方根且互为相反数；2.0有一个平方根就是0；3.负数没有平方根。平方根的性质：正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。知识回顾当a是整数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根；

当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根；

当a是负数时，没有意义。问题2

什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根.问题1

什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根是0.a的平方根是.用(a≥0)表示.观察与思考正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.问题3平方根的性质：问题4

所有实数都有算术平方根吗？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.50米a米塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。塔座?米下球体S圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为______.

如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是______.b-3表示一些正数的算术平方根．你认为所得的各代数式有哪些共同特点？新课讲授二次根式的定义：理解要点：两个必备特征①外貌特征：含有“

”②内在特征：被开数a

≥02.二次根式实质上是非负数的算术平方根.3.

a既可以是一个数，也可以是一个式子.1.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！知识归纳4.

（双重非负性）下列各式是二次根式吗?(m≤0),(x,y异号)在实数范围内,负数没有平方根判断解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.典例精析例对于非负实数a由于是a的一个平方根，因此

求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。归纳总结x取何值时,下列二次根式有意义?练一练20.10一般地，根据算术平方根的意义，a-a(a≥0)(a≤0)自主探究1一般地，有由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2,︱a︱,文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.概括归纳类似地，计算：再计算：0.500.5自主探究2一般地，有a-a(a≥0)(a＜0)概括归纳思考2.从取值范围来看：

a≥0a取任何实数1.从运算顺序来看：先开方,后平方先平方,后开方3.从运算结果来看:=aa(a≥0)-a(a≤0)==∣a∣831261.计算：随堂练习2.计算：3.若１＜x＜４，则化简的结果是＿＿＿.4.设a,b,c为△ABC的三边，化简3解：化简为2a+2b+2c解：由x-1≥0，得x≥15.当x取何值时,二次根式有意义?当x≥1时，在实数范围内有意义.试求当x=5时，二次根式

的值.解：当x=5时，思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义x为全体实数.6.（1）若

,则a-b+c=___；解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.（2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,所以x+2y=1+2×2015=4031.（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围（3）二次根式的值抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.课堂小结二次根式定义性质（a≥0）（即表示一个非负数）21.2二次根式的乘除（一）【学习目标】1．会进行简单的二次根式的乘法运算；2．能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式

的简单运算．1.什么叫二次根式？2.两个基本性质:=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)知识回顾计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律？用你发现的规律填空,并用计算器验算662020＝＝1、

×=__自主预习1.二次根式的乘法二次根式乘法法则:

两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘.知识归纳a、b必须都是非负数！算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.(a≥0,b≥0)解:典例精析例1计算反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：也就是说，积的算术平方根，等于各因式中算术平方根的积。利用这个性质可以进行二次根式的化简。知识归纳2.积的算术平方根化简，使被开方数不含完全平方的因数。解：===典例精析例2化简这里，被开方数12=，含有完全平方的因数

，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用，将这个因数“开方”出来。

计算下列各式，并将所得的结果化简是：解：做一做化简二次根式的步骤：1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根。（a≥0,b≥0）1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用2.化简二次根式的步骤：3.将平方项应用化简知识梳理21.2二次根式的乘除法（二）【学习目标】1．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除

法运算，会运用商的算术平方根的性质化简二

次根式；2．经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的

过程，掌握其应用方法；3．培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合

作交流的乐趣，感悟数学的应用价值．二次根式的乘法思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？知识回顾计算下列各式，观察计算结果，能发现什么规律？用你发现的规律填空，并用计算器进行验算：==自主预习（1）（2）典例精析例3计算解:二次根式的除法法则：也可以写成：（a≥0,b＞0）知识归纳两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.公式的逆用注意:(1)这里的被开方数是一个整式

（可以是多项式，

也可以是单项式）.(2)注意被开方数的取值范围.1.与积的算术平方根的性质比较：共同点：一个根号变成两个根号.区别：取值范围不同.商的算术平方根:2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：化简：，使分母中不含二次根式，并且被开方数中不含分母。思考：你能用哪些方法去掉分母中的根号？典例精析例4化简由此你能的得到一般结论吗?当

a

≥

0

,

b

>

0时,怎样化去

中的分母?观察上面各数并思考：（1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？最简二次根式可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

简记为：分母无根号，根号无分母解：

解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简.如

等.典例精析例51.利用商的算术平方根的性质化简二次根式.3.在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次根

式化简，再考虑如何化去分母中的根号.2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：；（2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次

根式.知识梳理4.最简二次根式的概念被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．5.如何化去分母中的根号，请举例说明．可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．6.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质．1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。（）＝a－1（）＝10（）＝4随堂练习随堂练习2.化简:解：21.3二次根式的加减法（一）【学习目标】1．知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的

加减法运算；2．经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方

法；3．认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培

养乐学、会学的思想．（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

分母不含根号。二次根式计算、化简的结果应符合什么要求？知识回顾自主预习观察下列二次根式有什么共同特征：（1）…

，，，（2）…

，，，每组的二次根式的被开方数相同自主预习，

，，，，（3）…经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.下列根式又有什么共同特征？

二次根式经过化简后，被开方数相同的二次根式,就叫做同类二次根式.判断同类二次根式的关键是什么？①化:化成最简二次根式，②看:看被开方数是否相同,根指数也相同

(都等于2).知识归纳典例精析例1计算：同类二次根式合并：

把根号外系数或字母相加减,根指数和被开方数不变。注意:不是同类二次根式的二次根式(如与)不能合并知识归纳强调：先化简，再合并典例精析例2计算：（3）合并同类二次根式。一化二找三合并二次根式加减法的步骤：（2）找出其中的同类二次根式；（1）将每个二次根式化为最简二次根式；知识归纳二次根式加减运算的步骤:(1)把各个二次根式化成最简二次根式(2)把各个同类二次根式合并.如何合并同类二次根式

与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变。知识归纳25.3二次根式的加减法（二）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？(1)说出的三个同类二次根式;(2)试举出一组同类二次根式.(3)下列各式中哪些是同类二次根式?同类二次根式知识回顾下列计算哪些正确，哪些不正确？⑴

⑵

⑶

⑷

⑸（不正确）（不正确）（不正确）（正确）（不正确）解：典例精析例2计算观察题目的特点，看能否使用乘法公式整式运算的运算律在二次根式的运算中仍然适应。典例精析例3计算解：（1）（2）计算：

思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？典例精析与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．典例精析解：（1）

思考：

（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；第二步的依据是：二次根式乘法法则；第三步的依据是：二次根式化简．典例精析解：（2）

思考：

（2）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式除以单项式法则；第二步的依据是：二次根式除法法则．二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2;(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;完全平方公式:知识归纳1.同类二次根式的定义.2.二次根式加减运算的步骤:(1)把各个二次根式化成最简二次根式；(2)把各个同类二次根式合并.3.如何合并同类二次根式与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.知识归纳1.计算：（1）（2）（3）提示：把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.随堂练习（1）解：（2）（3）2.计算：用了公式（a+b）（a-b）=a2-b2.用了公式（a+b）2=a2+2ab+b2.第22章一元二次方程22.1一元二次方程【学习目标】1．了解一元二次方程的概念；2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0

(a≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，

一次项及系数，常数项；3．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是

否是一个一元二次方程的根．1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？一般形式：ax+b=0(a≠0)3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?

1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.知识回顾

小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？导入新课问题一设矩形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900整理可得

x2＋10x－900=0（1）

小区准备在每两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？探索新知分析问题二

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.分析设这两年的年平均增长率为x.已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册.同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的（1+x）倍，即5（1+x）（1+x）=5

（万册）.探索新知可列得方程5=7.2整理可得

（2）问题一和问题二分别归结为解方程（1）和（2）.这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？有什么共同特点？x2＋10x－900=0.（1）5x2＋10x－2.2=0.（2）自主探究以上两个方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的概念一般形式：

ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；

bx叫做一次项，b叫做一次项系数；

c叫做常数项。1.等号两边都是整式2.只含有一个未知数3.未知数的最高次数是2特点：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数

是2的整式方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据

一般式定义的，这与多项式中的项、次数及

其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）

的过程中，体会学习一元二次方程的必要性

和重要性。知识梳理例题讲解1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的二次项系数是3一次项系数是-8常数项是-10

解:随堂练习例题讲解2.方程（2a—4）x2—2bx+a=0,在什么条件下，方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？解：当a≠2时是一元二次方程；

当a＝2，b≠0时是一元一次方程3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a

B.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和因式分解法【学习目标】

1．体会解一元二次方程降次的转化思想；

2．会利用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝

p(p≥0)的一元二次方程．

3．了解因式分解法的解题步骤；

4．能用因式分解法解一元二次方程．知识回顾14试解下列方程根据平方根的意义，对于题（1）有这样的解法：通常也表示成：自主预习这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.对于题2，有这样的解法：必有分别解这两个方程，得这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。做一做快速回答：下列各方程的根分别是多少？解下列方程：典例解析例1解（1）移项，得直接开平方，得即（2）移项，得方程两边都除以16，得直接开平方，得即直接开平方法解下列方程：典例解析例2解（1）方程左边分解因式，得所以得（2）移项，得方程左边分解因式，得所以得因式分解法这样解是否正确呢？解：方程的两边同时除以x，得x=1.故原方程的解为x=1.不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为x=0.讨论范例解下列方程：(1)(x＋1)2－4＝0；(2)12(2－x)2－9＝0(2)原方程可以变形为:解：(1)原方程可以变形为:知识梳理

一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.用因式分解法解一元二次方程的步骤：1、方程右边不为零的化为

。2、将方程左边分解成两个

的乘积。3、至少

一次因式为零，得到两个一元一次方程。4、两个

就是原方程的解。零一次因式有一个一元一次方程的解随堂练习1.用直接开平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(2x－3)2=9.x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝32.用因式分解法解下列方程：4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2解:(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0,

x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;(2)原方程可以变形为2x2-7x=0,

分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;(3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3;(4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-x+1)(3x+x-1)=0,

解得x1=-0.5,x2=0.25.第22章一元二次方程22.2.2配方法【学习目标】1．理解配方法，会运用配方法解一元二次方程；2．经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，

体会转化的数学思想．(1)(2)(3)=(+)2=()2=(

)2左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.填上适当的数或式,使下列各等式成立.共同点：()2=()2(4)观察(1)(2)看所填的数与一次项系数之间有什么关系?自主预习解方程：解：原方程左右两边都加上1，得即直接开平方，得所以即典例精析例4我们把方程变形为以上变形过程：左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.知识归纳典例精析解方程：例5解解2、把常数项移到方程右边；3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，

使左边成为完全平方式；4、如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平

方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程

无实根。1、若二次项系数不是1，把二次项系数化为1(方程

两边都除以二次项系数)；你是这样配方的吗？2、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的

步骤：1、配方法：通过配方,将方程的左边化成一个含知

数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直

接开平方求出方程的解的方法。化简:化二次项系数为1移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.知识梳理(2)－x2＋4x－3=0(1)x2＋12x=－91.用配方法解下列方程：解：(1)两边同时加上36，得x2＋12x+36

=－9+36，配方得（x+6）2=27，解得（2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x-3)=0,

x1=1,x2=3.随堂练习2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5

的值必定大于零.解：k2－3k＋5=(k-)2+，∵(k-)2≥0，∴k2－3k＋5＞0.

随堂练习3.对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件

下才有实数根？随堂练习解：第22章一元二次方程22.2.3公式法【学习目标】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解

公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二

次方程；2．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过

程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推

导过程，并应用公式法解一元二次方程．能否用配方法把一般形式的一元二次方程

转化为“”的形式呢？自主预习移项，得

配方，得

解：即即x1=x2=由以上研究的结果，得到了一元二次方程

的求根公式：

利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。这个公式叫做一元二次方程的求根公式；解下列方程：

典例精析分析解解解（3）（4）这时称方程有两个相等的实数根解运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a、b、c及的值代入

一元二次方程的求根公式，求出方程的根；

若，此时方程无实数解.由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)

若b2-4ac≥0得求根公式:1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步骤：4、写出方程的解：(a≠0,b2-4ac≥0)知识梳理x1=x2=1.用公式法解下列一元二次方程：解:（1）原方程即为随堂练习2.解方程：（精确到0.001）.解：用计算器求得：第22章一元二次方程22.2.4一元二次方程根的判别式【学习目标】

掌握b2－4ac＞0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根，反之也成立；b2－4ac＝0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；b2－4ac＜0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，反之也成立；及其它们关系的运用．用配方法解一元二次方程把方程两边都除以解:移项，得配方，得即(a≠0)知识回顾即因为a≠0,所以4a2>0；式子此时，方程有两个不等的实数根x1=x2=即此时，方程有两个相等的实数根=0而x取任何实数都不可能使，因此方程无实数根.是决定了一元二次方程根的情况.分析3.当方程没有实数根时，有.

1.当方程有两个不相等的实数根时，有；2.当方程有两个相等的实数根时，有；反过来，对于一元二次程：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“”来表示.△＞0有两个不相等的实根

△＝0有两个相等的实根

△＜0没有实数根一元二次方程根的判别式归纳反之，同样成立！下列一元二次方程根的个数：方程有两个不相等的根.方程有两个相等的根.方程没有实数根.典知精析按要求完成下列表格：Δ的值根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式

与根典知精析A随堂练习2.不解方程，判断方程的根的情况有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根随堂练习B随堂练习B随堂练习第22章一元二次方程22.2.5一元二次方程的

根与系数的关系【学习目标】

1．理解掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系；

2．能根据根与系数的关系式和已知一个根的条

件下，求出方程的另一根，以及方程中的未

知系数；

3．会求已知方程的两根的倒数和与平方和；

4．在推导过程中，培养学生“观察——发现—

—猜想——证明”的研究问题的思想与方法．（1）一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)（2）一元二次方程的根的判别式是什么？判别式的值根的情况

△＞0

有两个不相等的实根△＝0有两个相等的实根△＜0没有实数根知识回顾（3）一元二次方程的求根公式是什么

方程2x2+7x+3=03x2+5x+2=02x2+3x-1=0两个根x1，x2的值两根之和x1+x2两根之积x1x2自主预习x1+x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系?任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，且

则

x1+x2和

x1.x2与系数a，b，c的关系为：总结归纳(韦达定理）例如：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0的两根为x1,,x2.归纳推论

方程

x1

x2

x1+x2

x1∙x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=02

132-1

3

2-31

4

54归纳分析试探索一元二次方程根与系数有什么关系?ax2+bx+c=0（a≠0，

）分析不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：典例解析例解：解：设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.课外拓展拓展1由题意知解：求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.

（x-2)（x-3）=0,

x2-5x+6=0.解：拓展2课外拓展构造新方程拓展3课外拓展方程

的两根的和为6，一根为2，求p、q的值.若方程的另一个根为x1,由题意得2+x1=-p=6,2x1=q,即x1=4,p=-6,q=8.解：求方程中的待定系数随堂练习

1.方程

有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知得Δ=即m>0m-1<0∴0<m<1系数的取值范围2、如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，

则另一个根是___，m=____。3、设x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则

x1+x2=

___,

x1x2

=___.

x12+x22=(x1+x2)2-

=

.

(x1-x2)2

=(

)2-4x1x2=___.x1+x22x1x2-3411412随堂练习4、判断正误：以2和-3为根的方程是x2－x-6=0（）5、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个

数是_____.×2和-1随堂练习

1、一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。

2、在实数范围内运用韦达定理，必须注意,这个前提条件,而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数.△≥0a≠0一正根一负根△＞0x1x2＜0两个正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0两个负根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0课堂小结22.3实践与探索22.3.1用一元二次方程解决简单的应用问题【学习目标】

1．学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型；2．让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力．列方程解应用题的一般步骤：(1)(2)(3)(4)(5)分析题意，设未知数找出等量关系，列方程解方程看方程的解是否符合题意答数知识回顾解一元二次方程有哪些方法:

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

问题1学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道。要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？自主预习x20x32分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图如下，不难发现小道的占地面积与位置无关.设小道宽为xm,则两条小道的面积分别为32xm2和20xm2，其中重叠部分小正方形的面积为x²m2，根据题意，得解：设小道的宽为xm，根据题意，得32×20-32x-20x+x2=540解得：x₁=50(舍去)=2答：小道的宽应是2m.试一试如果设想把小道平移到两边，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？x20x32x20x32归纳：列一元二次方程解应题解决问题1这类问题的关键是掌握常见几何图形的面积体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积．列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要注意检验这两个根是否符合实际问题的要求．如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.知识拓展806060-2x80-2xxx(80－2x)(60－2x)＝1500得

x1＝55，x2＝15解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.检验：当x1＝55时

长为80－2x＝-30cm宽为60－2x＝-50cm．不符合题意，舍去当x2＝15时

长为80－2x＝50cm宽为60－2x＝30cm．符合题意所以取x＝15．答：截取的小正方形的边长是15cm.问题2某药品经过再次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元。已知两次降低的百分率相同。求每次降价的百分率。自主预习分析若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的倍，即56

倍，第二次降价后的零售价为56元的倍。解设每次降价的百分率为,根据题意，得解这个方程，得因为降价的百分率不可能大于1，所以不符合题意.经检验，=0.25=25﹪符合本题要求.答：每次降价的百分率为25﹪.利用一元二次方程解决数字问题1.连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为__________.x+2，x+42.连续的五个整数，若中间一个数位n，其余的为_______________________.

n+2，n+1，n-1，n-23.一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个

两位数是

.10a+b4.一个三位数，百位x，十位y，个位z，表示为

.100x+10y+z1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587x-1=13x+1=15x-1=-15x+1=-13

答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。3x2-588=0x1=14,x2=-14.随堂练习2.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手21

次，求参加聚会的人数.解：设参加聚会的人数有x人得x1=7，x2=-6(舍去)答：参加聚会的人数为7人.随堂练习3.平阳按“九五”国民经济发展规划要求，2003年的社会

总产值要比2001年增长21%，求平均每年增长的百分率．

（提示：基数为2001年的社会总产值，可视为a）分析：设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则2001年a2002年a(1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a随堂练习设每年增长率为x，2001年的总产值为a，则a(1+x)2=a+21%a答:平均每年增长的百分率为10%

．解：

类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式.

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是A,则它们的数量关系可表示为其中增长取“+”,降低取“－”课堂小结这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．

列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．课堂小结22.3实践与探索22.3.2用一元二次方程解决复杂的应用问题【学习目标】1．使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为为数学模型；2．让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程；3．通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神．

某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，三月份产值为72亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少？解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为50(1+x)2=72

可化为：解得：答：二月、三月平均每月的增长率是20%.知识回顾范例：(1)小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图．如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？(2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？知识模块一用一元二次方程解决复杂的应用问题81644936251694折叠成的长方体底面积（cm²）剪去的正方形边长（cm）折叠成的长方体侧面积（cm²）0.54.5181.510.52162.515.53123.510.548解：剪去的正方形边长依次为：0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4.折叠成的长方体侧面积分别为：18，32，42，48，50，48，42，32.从计算的数据可以看出，开始时，随着剪去的正方形的边长的增加，侧面积也随着增加，增大到50后，又逐步减少．合作探究仿例：如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？解：设AB的长度为x，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．知识模块二增长率问题范例：某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？解：设原产值为1，则两年后为2，设每年的增长率为x，则(1＋x)2＝2，∴x1＝－1＋≈41%，x2＝－1－(不合题意，舍去)．答：每年的增长率约为41%.

两年前生产1t甲种药品的成本是

5000元，生产

1t乙种药品的成本是

6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？乙种药品成本的年平均下降额为

(6000-3600)÷2=1200（元）．甲种药品成本的年平均下降额为

(5000-3000)÷2=1000（元），合作探究解：设甲种药品成本的年平均下降率为

x.

解方程，得

x1≈0.225，x2≈1.775．

根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于

1的正数，应选

0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为

22.5%．

一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为元．

列方程得=3000．分解探究解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程得乙种药品成本年平均下降率为

0.225.

两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．解方程，得

x1≈0.225，x2≈1.775．分解探究你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．归纳总结山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？练一练【解析】(1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．解：（1）设每千克核桃应降价x元，根据题意，得

化简，得x2-10x+24=0,解得x1=4,x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元；（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54（元),54÷60=90％.答：该店应按原售价的九折出售.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答： (1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？2x50－x练一练【解析】(1)∵当售价定为每件150元时平均每天可销售30件，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(150－100－x)元，即(50－x)元．解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元．根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2100，化简，得x2－35x＋300＝0，解得x1＝15，x2＝20.答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2100元．练一练西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？练一练解：(1)设捐款增长率为x，则10000(1＋x)2＝12100，解这个方程，得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：捐款的增长率为10%；(2)12100×(1＋10%)＝13310(元)．答：按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．练一练随堂练习1．某药品经两次降价，零售价降为原来的一半．已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率．(精确到0.1%)2．某种药剂原售价为4元，经过两次降价，现在每瓶售价为2.56元，问平均每次降价百分之几？解：20%解：29.3%3．如图，要建一个总面积为45m2的长方形养鸡场(分为相同的两片区域)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门，求这个养鸡场的长AD与宽AB.解：AD＝9cm，AB＝5cm.随堂练习1.用一元二次方程解变化率问题规律：变化前数量×(1±平均变化率)变化次数＝变化后数量．注意：有关变化率的问题，都可以根据以上规律列方程求解.在实际问题的求解过程中，要注意方程的根与实际问题的合理性检验．2．利润问题基本关系：(1)利润＝售价－________；

(3)总利润＝____________×销量进价单个利润课堂小结第二十二章小结【学习目标】1．灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题；2．经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神；3．了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想；4．培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．【学习难点】解题分析能力的提高．【学习重点】灵活应用数学思想方法解一元二次方程以及简单的实际问题．情景导入1．形如ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)的方程是一元二次方程，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．知识模块一一元二次方程的概念及其解法典例1：关于x的方程(a－1)x2＋3ax－3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是

．a≠12．一元二次方程的解法(直接开平方法、配方法、公式法)自学互研典例2：用配方法解方程：3x2＋8x－3＝0.解：移项得：3x2＋8x＝3，配方得：(x＋)2＝，x＋＝±，∴x1＝，x2＝－3.自学互研典例3：用公式法解方程：1－x＝3x2.解：原方程化为：3x2＋x－1＝0，知识模块一一元二次方程根的判别式的应用、

根与系数的关系典例4：已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的最大整值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式

的值．解：(1)∵一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝8－4m＞0，解得m＜2，∴整数m的最大值为1；(2)∵m＝1，此一元二次方程为x2－2x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝1，－x1x2＝(x1＋x2)2－3x1·x2＝8－3＝5.知识模块三一元二次方程的实际应用典例5：某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至32.4元．(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？解：(1)设降价率为x，则40(1－x)2＝32.4，x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)答：这个降价率是10%；(2)(40－32.4)÷0.2×10＝380，∴两次调价后，每月可销售该商品为500＋380＝880(件)答：两次调价后，每月可销售该商品为880件．1.一元二次方程的解.

满足方程，有根就是两个2.一元二次方程的几种解法(1)直接开平方法Ax2=B(A≠0)(2)因式分解法(3)配方法(4)公式法当b-4ac≥0时，x=1、提取公因式法2、平方差公式当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式b2-4ac＞0b2-4ac＝0b2-4ac＜0方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根一元二次方程根与系数的关系若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根为x1,x2.则有x1+x2=-x1.x2=abca1．关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x＋x＝7，则(x1－x2)2的值是(

)A．1

B．12

C．13

D．252．已知关于x的方程x＋6x＋k＝0的两个根分别是x1、x2，且＋＝3，则k的值为

．随堂练习C-23．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率

为

．4．现有一块长80cm，宽60cm的矩形钢片，将它

的四个外角各剪去一个边长为xcm的小正方形，

做成一底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，

根据题意列方程，化简可得

．随堂练习x2－70x＋825＝020%5．已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．随堂练习(2)Δ＝(a－2)2＋4＞0解：(1)a＝；－；23.1.1成比例线段第23章图形的相似【学习目标】1．理解比例线段的概念和比例的基本性质；2．掌握比例线段的判定方法，会运用比例的基本性质进行变形；3．通过图形来推导成比例线段，发展学生的逻辑推理能力．通过例题的学习，培养学生的灵活运用知识能力；4．学生通过经历、观察、操作、欣赏，感受图形的相似，让学生自己去体会生活中的相似，从而理解相似的概念，探索它的基本特征，学会在实践中发现规律．

多啦A梦的2寸照片和4寸照片，他的形状改变了吗？大小呢？引入新课你能来归归类吗？内容探究

两个图形的形状

________，但图形的大小位置__________，这样的图形叫做相似图形。完全相同不一定相同归纳由下面的格点图可知，＝_________，＝________，这样与之间有关系______=___．自主预习

像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．概括例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解： （1）∵∴

线段a、b、c、d不是成比例线段．，，∴

，（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵，∴

∴线段a、b、c、d是成比例线段．对于成比例线段我们有下面的结论：如果，那么ad＝bc．如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么归纳比例的基本性质例2 证明：（1）如果，那么；证明（1）∵在等式两边同加上1，∴

．∴自主探究（2）如果，那么

∴

ad＝bc，在等式两边同加上ac，∴ad＋ac＝bc＋ac，∴ac－ad＝ac－bc，∴a（c－d）＝（a－b）c，两边同除以（a－b）（c－d），

．∴1．已知：线段a、b、c满足关系式且b＝4，那么ac＝______．，16课堂练习2．判断下列各组线段是否成比例．(1)4cm、6cm、8cm、2cm.(2)1.5cm、4.5cm、2.5cm、7.5cm.(2)是解：(1)不是解：x＝12；y＝18；z＝24.

课堂练习这节课的你收获了什么知识？23.1.2平行线分线段成比例【学习目标】1．使学生掌握平行线分线段成比例定理及推论；2．会用平行线分线段成比例定理及推论进行计算或者证明；3．通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等.说明：①定理的条件是“三条平行线截两条直线”.②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.强化“对应”两字理解和记忆如图l4

l1l2ABDEFHab自主预习翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的.如图1，在课本上任意画一条直线M与相邻的三条平行线交于A、B、C三点，得到两条线段AB、BC，那么可以发现所得的这两条线段相等，即AB＝BC，如图2，再任意画