与三角形有关角

与三角形相关的角与三角形相关的角与三角形相关的角第2讲与三角形相关的角一、知识重点1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：(3)理解与延长：由于三角形内角和为180°，因此延长出三角形中好多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最罕有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用特别宽泛．【例1】填空：(1)在△ABC中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，

∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判断(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．以下列图，在Rt△ABC中，假如∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，假如∠α＝43°，则∠β的度数是( )．A．43°B．47°C．30°D．60°.答案：B(2)直角三角形的判断：有两个角互余的三角形是直角三角形．以下列图，在△ABC中，假如∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．【例2－2】以下列图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的均分线与∠DFE的均分线订交于点P，求证：△EPF是直角三角形．．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同极点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，以下列图．破疑点三角形外角的理解外角是有对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．以下列图：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个极点处取一个外角，是一多半量外角的和.(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延长，因此用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②由于三角形外角是经过图表现出来的，具有隐蔽性，因此应用时要注意察看图形．【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，获取一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.5．三角形外角和(1)定义(规定)：以下列图，在每一个极点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个极点处取一个外角，是一多半量外角的和．【例5】以下列图．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.议论：同一极点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系变换的最基础的依据．6.三角形内角和定理应用三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中对于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，当前它的应用方式主要表现在以下几个方面：(1)已知两角求第三角这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，经常与察看角的单位换算相联系．(2)已知三角的比率关系求各角这类题目一般给出三个角的比率关系，经过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，依据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是经过求角的度数判断三角形的形状，但娴熟后从比率关系中能够直接确定三角形的形状．(3)已知三角之间互相关系求未知角这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，经过等式变形，用一共同的角表示其他两角，此后依据内角和是180°列出等式，求出其中一角，此后再依据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也能够列方程(组)求角的度数．解技巧利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同样，要依据实质灵巧运用．7．三角形外角性质的应用外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理．以下列图，∠1是△ABC的一个外角，在∠1，∠B，∠C三个角中，知道随意两个角就能够求出第三个角．①∠1＝∠B＋∠C；②∠B＝∠1－∠C；③∠C＝∠1－∠B.破疑点利用三角形外角的性质求一个角的方法因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，因此用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简单，因此要改变原来习习用三角形内角和定理的思想定式，学会运用外角性质定理解决问题．8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用三角形内角和定理、外角性质定理都反应了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位．同样平行线中也包括了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们经常联合在一同，综合应用，经过角的等量转变，以求角的度数或证明角相等．解技巧三角形内角和、外角性质的综合运用由于三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是经过图形反应出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意察看图形，善于发现各角之间的地点关系，进而确定它们的大小关系．【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C＝__________.【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随意三角形【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.假如∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中( )．A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝

__________°.(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【例8－1】如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于( )．A．120°B．240°C．300°D．360°【例8－2】如图，a∥b，则以下式子中值为180°的是( )．A．∠α＋∠β－∠γB．∠α＋∠β＋∠γC．∠β＋∠γ－∠αD．∠α－∠β＋∠γ9.运用三角形内角和定理判断三角形形状判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判断三角形形状方法多样，其中运用三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法．由于三角形按角分类能够分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，其他依据角的度数还能够判断等腰三角形、等边三角形，因此依据三角形内角和定理求出三角形某些角的度数，不只能够按角分类判断三角形的形状，还能够够按边分类判断三角形的形状，进而认识边的大小关系．解技巧利用三角形内角和确定三角形的形状运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同样点是：判断形状不是求出所有角，而是依据所给三角形各内角关系，求某些重点的角，一般是最大角，此后进行判断．【例9－1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形必定是( )．A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【例9－2】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，试判断这个三角形的形状．11

解析：依据∠A＝2∠B＝3∠C，可设∠A＝x°，那么∠B＝

2x°，∠C＝3x°，依据三角形内角和是180°列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判断出三角形的形状．10．角均分线的夹角与三角形内角关系的研究依据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角均分线的意义，能够研究相关角均分线的夹角问题．(1)三角形的两内角均分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC中，∠ABC的均分线与∠ACB的均分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．结论：三角形两内角的均分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半，即∠BOC＝90°＋12∠A.(2)三角形两外角的均分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC中，BP，CP分别是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的均分线，试一试究∠BPC与∠A的关系．结论：三角形的两个外角的均分线所夹的锐角等于90°减去第三个角的一半，即∠BPC＝90°－1∠A.2(3)一个内角均分线与一个外角均分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC中，CE均分∠ACB，BE是△ABC的外角∠ABD的均分线，试一试究∠BEC与∠A的关系．结论：三角形的一个内角均分线与外角均分线订交成的锐角等于第三个内角的一半，即∠BEC＝1∠A.2【例10－1】如图，已知△ABC，∠ABC的均分线与∠ACB的均分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．解析：依据角均分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)，经过代换得，∠BOC＝180°－11∠ABC－∠ACB＝180°－2212(∠ABC＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)，化简得出结论．【例10－2】如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的两条均分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数是( )．A．80°B．90°C．120°D．140°【例10－3】以下列图，∠ABC的均分线和△ABC的外角∠ACE的均分线交于点D，∠D＝30°，∠A的度数是__________；当∠D＝__________时，∠A的度数是90°.11.与三角形相关的角的问题的一题多解由于用三角形外角性质获取的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，好多题目解法都不唯一，比方：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连结而成，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是多少？由于每个角的度数都不知道，因此需要将五个角转变到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，①如图(2)，连结BC，依据三角形内角和定理和对顶角相等，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转变到△ABC中求解；②如图(3)，延长BD，交AC于F，依据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转变到△COF中求解；③如图(4)，也能够延长CE交AB于G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转变到△BOG中求解；④向两方延长DE也能结构出三角形求解．【例11】如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种部件表示图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明经过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此部件不合格，于是爸爸让小亮解说这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解说吗？二、综合练习一、选择题1．三角形的三个外角之比为2:3:4，则与之相应的三个内角之比为（）Ａ．2:3:4Ｂ．4:3:2Ｃ．5:3:1Ｄ．1:3:52．如图4，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这类做法的依据是（）Ａ．两点之间直线段最短Ｂ．矩形的牢固性Ｃ．矩形四个角都是直角Ｄ．三角形的牢固性3．如图5，∠1，∠2，∠3，∠4恒知足的关系式是（）Ａ．∠1∠2∠3∠4Ｂ．∠1∠2∠4∠3Ｃ．∠1∠4∠2∠3Ｄ．∠1∠4∠2∠34．如图6，∠1∠2∠3∠4∠5∠6等于（）5．如图7，在△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE，CD订交于F，∠A70，∠ACD20，∠ABE28，则∠CFE的度数为（）Ａ．62Ｂ．68Ｃ．78Ｄ．906．如图2，以BC为公共边的三角形的个数是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．57．若三条线段中a3，b5，c为奇数，那么由a，b，c为边组成的三角形共有（）Ａ．1个Ｂ．3个Ｃ．无数多个Ｄ．无法确定8．假如线段a，b，c能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）Ａ．1:2:4Ｂ．1:3:4Ｃ．3:4:7Ｄ．2:3:49．不用然能组成三角形的一组线段的长度为（）Ａ．3，7，5Ｂ．3x，4x，5xx0Ｃ．5，5，a0a10Ｄ．2a，2b，10．已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样结构三角形，则最多能组成形状或大小不同样的三角形的个数是（）Ａ．5Ｂ．7Ｃ．8Ｄ．10二、填空题11．如图1，∠ABC的均分线交∠ACB的均分线于l，若∠A60，则∠_____．BIC12．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角．13．三角形两个外角的和等于第三个内角的4倍，则第三个内角等于_____．14．如图2，∠A∠B∠C∠D∠E_____．15．如图3，∠1∠2∠3∠4_____．16．两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，

那么，第三根木棒长x（cm）的范围是______．17．如图1，∠1∠2∠3∠4______．18．△ABC中，a6，b8，则周长P的取值范围是______．19．a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a4，b3，c14，则的取值范围是______．20．若a，b，c为△ABC的三边，则abcabc______0（填“＞，＝，＜”）．三、解答题21．已知，如图8，点D是△ABC中AC边上的一点，点E是BC边延长线上一点，说明：∠ADB∠CDE．22．已知，如图9，△ABC中，∠ABC的均分线与∠ACE的均分线交于D点，若∠A80，求∠D的度数．23．如图10，已知折线ABCDE，且∠B∠C∠D360．说明：AB∥CD．24．已知：如图3，AB∥CD，∠B45，∠BED78，求∠D的度数．25．已知，如图4，AB∥CD，EH⊥AB，垂足为H，若∠150，则∠E为多少度？26．已知，如图5，在△ABC中，O是高AD和BE的交点，察看图形，试猜想∠C和∠之间拥有怎样的数量关系，并论证你的猜想．DOE连续好多天都是天亮今后才睡觉。别人问我，你夜晚不睡觉都在干嘛。我马上回答，写稿啊，书稿还没交呢。但其实，我一个字也没写。而之因此熬夜，也但是是由于内心有牵挂的人和未完成的事吧。别人问你怎么还不睡，你说不困。其实熬夜很困，打个哈欠都会有眼泪流出来，但是心中素来有所希望，有所牵挂。就忧以下一秒就会收到喜欢的人的信息，下一秒就能遇到一个欣喜。又或许，熬了太久却迟迟得不到自己想要的结果，渐渐的习惯了孤独。为什么会熬夜呢，大体是由于白天的自己太理智，太冷漠，忧如什么都不在意。因此有些情绪和思念，心酸和不舍，是要留到深夜单独慢慢消化的。白天的自己和夜晚的自己完好不是同一个人啊，白天口口声声说必定早睡，夜晚却素来做不到。像失忆同样拿命熬夜，白天高快乐兴无忧无虑，夜晚却烦闷的不能够。白天感觉我最牛逼，夜晚却变成世界第一大傻逼。总感觉幸福的人是不用熬夜的，每日都有规律的生活，爱的人就躺在身边，现在过的是想要的生活，手里牵的是喜欢的人。昨天有人问我，为什么你夜晚不睡觉。我想了许久，已经两三年没有在两点以前入睡过了。但我也说不清为什么，那个人突然给我发了一段话，我突然感觉，这是我熬夜的原因，也是好多人熬夜的原因。你老是习惯熬夜，此后我也成心很晚都不睡。装作是和你同样睡不着，这样就能够和你聊许久，但是你都不知道其实我要困死了。今后你走了，熬夜的习惯却怎么都改不掉。说片面点是熬夜，说实在点是失眠，说实话是想你。你有没有过，为了陪一个人聊天，其实下一秒已经要睡着，但仍是死抓着手机不肯睡。你有没有过，由于一个人的一句话，显然很困却突然变得很清醒，快乐和欢喜赶走了所有困意。你有没有过，为了等一个人的晚安，不停的刷着朋友圈发着动向，其实只想让他看到你还没睡。你有没有过，由于太思念一个人，每日都害怕深夜到临，害怕孤独，害怕孤独，害怕牵挂的感觉。我知道，你都有过。但是，你每日这