理科数学导数在研究函数中应用

第11讲导数在研究函数中的应用[

考纲]了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).知识梳理1．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内

单调递增．

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内

单调递减．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．2．函数的极值与导数极大值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧f′(x)>0，

右侧f′(x)<0，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值极小值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧

f′(x)<0

，右侧f′(x)>0

，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值函数的最值与导数函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条

连续不断

的曲线，那么它必有最大值和最小值．求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的

极值

．②将函数y＝f(x)的各极值与

端点处的函数值f(a)，f(b)

比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值．辨析感悟导数与单调性的关系f′(x)>0

是

f(x)为增函数的充要条件．

(×)函数在其定义域内离散的点处导数等于0

不影响函数的单调性．

(√)1(3)函数

y＝2x2－ln

x

的单调递减区间为(0,1]．

(√)2．导数与极值的关系问题(4)函数的极大值不一定比极小值大．

(√)(5)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．(×)(6)函数f(x)＝xex在x＝－1处取得极小值．3．关于闭区间上函数的最值问题(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．(√)(×)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．

(√)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是e－1.

(√)[感悟·提升]一点提醒函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个

“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系，如

(4)．两个条件一是f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．如(1)．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．如(5)．3．三点注意

一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则．二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类 ．不可想当然认为极值就是最值，如(8).考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．解

(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln2或x<0.令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴0<x<ln

2.因此函数f(x)的递减区间是(0，ln2)；递增区间是(－∞，0)和(ln

2，＋∞)．2)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，当x≥0

时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0

恒成立．ex－2k≥0，即

2k≤ex恒成立．1于ex≥1，∴2k≤1，则

k≤2.21当k＝时，f′(x)＝x(ex－1)≥0

当且仅当

x＝0

时取等号．

1此，实数

k

的取值范围是－∞，2.规律方法

(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．【训练1】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解

(1)对

f(x)求导，得

f′(x)＝3x2－2ax－3.23

1由f′(x)≥0，得

a≤x－x.3

12

x3记

t(x)＝

x－

，则

t′(x)＝

11

2

x＋

2

，所以当

x≥1

时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.故实数

a

的取值范围是(－∞，0]．(2)由题意，得

f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.1令f′(x)＝0，得x＝－或3.3当x

变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x

1－∞，－3

1－3

1

－3，3

3(3，＋∞)f′(x)＋0—0＋f(x)极大值极小值1∴f(x)的单调递增区间为－∞，－3，[3，＋∞)；f(x)的单调递减1区间为－3，3.考点二

利用导数研究函数的极值【例

2】设f(x)＝aln

x＋

1

＋x＋1，其中

a∈R，曲线

y＝f(x)在点32x

2(1，f(1))处的切线垂直于

y

轴．求a的值；求函数

f(x)的极值．审题路线(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导右f′(x)的符号⇒确定极值．

1解

(1)由

f(x)＝aln

x＋2x＋2x3

＋1，a

1

32∴f′(x)＝x－2x

＋2.由于曲线

y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于

y

轴，∴该切线斜率为

0，即

f′(1)＝0.1

3从而

a－2＋2＝0，∴a＝－1.1

3(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋2x＋2x＋1(x>0)，1

1

3∴f′(x)＝－x－2x2＋2＝3x＋1x－12x2.1令f′(x)＝0，解得x＝1

或－3(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝1

处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．规律方法

(1)可导函数y＝f(x)在点x0

处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．【训练2】已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．求a和b的值；设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解

(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.又1

和－1

是函数f(x)的两个极值点，∴f′1＝3＋2a＋b＝0，f′－1＝3－2a＋b＝0.解得，a＝0，b＝－3.(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.由g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，∴g′(x)＝0

的根为x＝－2

或1.当x<－2

时，g′(x)<0；当－2<x<1

时，g′(x)>0.∴x＝－2

是函数g(x)的极小值点．当－2<x<1

或x>1

时，g′(x)>0，故1

不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为－2，无极大值点.考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．审题路线

(1)f′2＝0，f2＝c－16⇒a，b

的值；(2)求导确定函数的极大值⇒求得

c

值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解

(1)因

f(x)＝ax3＋bx＋c，故

f′(x)＝3ax2＋b，由于

f(x)在点x＝2处取得极值

c－16，故有f2＝c－16，即f′2＝0，

12a＋b＝0，8a＋2b＋c＝c－16.化简得12a＋b＝0，4a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0—0＋f(x)9＋c极大值极小值－9＋c由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.规律方法

在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．【训练3】

设函数f(x)＝x＋ax2＋bln

x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.求a，b的值；令g(x)＝f(x)－2x＋2，求g(x)在定义域上的最值．b解

(1)f′(x)＝1＋2ax＋x(x>0)，又f(x)过点

P(1,0)，且在点

P

处的切线斜率为

2，∴f′1＝2，即f1＝0，

1＋a＝0，1＋2a＋b＝2.解得

a＝－1，b＝3.(2)由(1)知，f(x)＝x－x2＋3ln

x，其定义域为(0，＋∞)，∴g(x)＝2－x－x2＋3ln

x，x>0，3则g′(x)＝－1－2x＋x＝－x－12x＋3x.当0<x<1

时，g′(x)>0；当

x>1

时，g′(x)<0.所以

g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．∴g(x)的最大值为

g(1)＝0，g(x)没有最小值．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要参数的大小．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．创新突破3——导数在创新定义与不等式中的应用【典例】设函数f(x)＝

ax

－(1

＋a2)x2

，其中a>0

，区间I

＝{x|f(x)>0}．求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；❶给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．❷突破：由❶理解区间长度的意义，转化为求不等式f(x)>0

的解集．由❷求

I

的长度最小值，即求以

a

为自变量的区间长度

d(a)＝a1＋a2，a∈[1－k,1＋k]构成的函数的最小值，利用导数求解．解

(1)因为方程

ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根

x1＝0，x2＝a1＋a1

22，故f(x)>0

的解集为{x|x

<x<x

}．因此区间I＝0，

a

1＋a

2，区间I

的长度为

a

1＋a2.(2)设d(a)＝

a

1－a21＋a

1＋a

2，则

d′(a)＝

2

2(a>0)．令d′(a)＝0，得

a＝1.由于

0<k<1，故当1－k≤a<1时，(1－k)2≤a2<1，d′(a)>0，d(a)单调递增；当

1<a≤1＋k

时，a2>1，d′(a)<0，d(a)单调递减．所以当

1－k≤a≤1＋k

时，d(a)的最小值必定在

a＝1－k

或a＝1＋k

处取得．d1－k

1d1＋k＝

1＋k1＋1＋k2d(1－k)<d(1＋k)．此当

a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值2－2k＋[

感悟](1)本题以不等式的解集构成的区间长度为命题背景，将导数求最值和含参数的不等式解法交汇，命题情境创新．(2)解法创新，从不等式出发，构造函数利用导数判断函数的单调