等差数列与等比数列性质及应用

题目：第三章数列等差数列与等比数列的性质及其应用知识要点 S1(nSannSn的关系：anS

n

(nn an=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，annnn项和公式：Sn

n(n1)

S=n(a1anSn=nan

n(n1)2（a1≠0Sn=na1nanna

S2n2n2

（有唯一的值等比数列的通项公式：an=a1qn-1 an=akqn-k 为已知的第k项，an≠0) (是关于n的正比例式a(1qn aa当q≠1时，Sn= Sn= 1 1 等差数列{an}m+n=p+q，则amanap等比数列{an}m+n=p+qamanapS3m、……仍为等比数列（m为偶数且公比为-1的情况除外两个等比数列{a}与{b}的积、商、倒数的数列

b

an

1

n、b、b

n n：a/q3,a/q,aq,aq3(因为其公比为2>0,对于公比为负的情况不能包括){an}为等差数列，则can(c>0)是等比数列{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn(c>0c1)是等差数列。1公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,解:ana1+(n-1)d1 2 根据题意 a2=a 即(a+2d)21 2 解得a12q

a1a1

1d 3.1d2例2.在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q解：∵{an}为等比数列∴a1·an=a2·an-1a1·an=128，a1+an=66且a1最小a1=2Sn126,a1 q2qn164,2n例3.(1)等比数列{an}中，q=2，S99=77，求32:27d.（1S9914…a97)+(25…836…)

63

4777b

，可知{b}db10

b

b

10

459b5（3）12S偶、S奇SS

依题意得

S偶S

，

SSS偶-S奇n项和公式联系着五个基本量:a1,d(q),n,an,Sn“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最学生练答案：1/(2n─1)答案：1 2数列{an}nSn=3+2n,

(n;(n数列{an}a1=1,an=an─1/2+1(n2),求其通项公式数列{an}a1=c,an+1=pan+q,p≠1),an的通项公式（数列{an}a1=1/2,a1+a2+…+an=n2an,求答案：a1+a2+…+an=n2an，a1+a2+…+an─1(n1)2an─1n=2,3,4,…,na/a

1

n3n4

n

n

n

n(n

n(n（数列{a}n

和第n

Snann之间满足 n2 2nn─x/2=1/2x=─1,∴S

─1)/2S=(S

1n1

nn1从而a=S

( ( n─1(2,a=S

─a(n=1)a=

/2,{a}为等比数列，a=1

n()点评：以上两种解题的思路有所不同，第法是从an转向Sn,第二种方Snan的通项公式分别为成的数列是{cn},写出{cn}5项；(2)证明{cn}答案：(1){cn}5 则am+1不在{cn}而am+2=2m+2=4(3p+2)=3(4p+2)+2是{bn}中的项， {cn}是公比为4的等比数列1999秒时，这个粒子所处的位置为n个正方an,则有an+1=an+(n+1)+1+n=an+2(n+1),54321 54321 an=n(n+1),an1999n=44n=4544个对角点(44,44)19秒(经过奇数对角点后2n2楼共有多少种不同的走法？kak种走法，则有关系式：a1=1,a2=2,ak+2=ak+1+ak,（Fibonacci数列）p,qak+2+pak+1=q(ak+1+pak)bk=ak+1+pak,bk=b1qk─1,qpp,qpq

55

,55

55555ak1