河北省唐山市2021届高三下学期第三次模拟演练 数学 答案

唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第三次模拟演练数学参考答案一、选择题：BABBC

DCD二、选择题ABC

AC

CD

BCD三、填空题：13．5n－3

14．[8，16]

15．4

16．－≤a＜0四、解答题：17．解：（1）∵2BCcos∠BEC＝BEcos∠EBC＋CEcos∠ECB＝BE•＋CE•＝BC∴cos∠BEC＝，则∠BEC＝．

…4分（2）设∠AEB＝α，则∠DEC＝－α，(0＜α＜)∵DE＝2AE＝4，∴BE＝＝，CE＝＝，∵△BCE的面积S＝BE·CE·sin＝＝，∴由已知得：＝8∴sin(2α－)＝1，则2α－＝，即α＝此时BE＝＝4，CE＝＝8∴在△BCE中，由余弦定理得：BC2＝BE2＋CE2－2BE·CE·cos∠BEC＝48∴BC＝4．

…10分18．解：（1）∵an＋1＝an＋bn，bn＋1＝3an＋bn＋3，(n∈N*)，∴bn＋1＝3an＋1＋3，∴当n≥2且n∈N*时，有bn＝3an＋3，又a1＝1，b1＝6，也满足b1＝3a1＋3，∴对任意的n∈N*，都有bn＝3an＋3．

…6分（2）将bn＝3an＋3代入an＋1＝an＋bn，得an＋1＝2an＋1，进而an＋1＋1＝2(an＋1)，a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是首项为2，公比也为2的等比数列，∴an＋1＝2n，an＝2n－1．∴bn＝3an＋3＝3·2n．

…12分19．解：（1）由tan∠ADB＝，tan∠ACD＝，得∠ADB＝∠ACD，所以∠DAC＋∠ADB＝∠DAC＋∠ACD＝，即AC⊥BD，又AC⊥PB，PB∩BD＝B，则有AC⊥平面PBD，又PD平面PBD，所以AC⊥PD，又PD⊥BC，AC∩BC＝C，所以PD⊥平面ABCD．

…5分（2）如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D－xyz，设DP＝h，则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，h)，＝(0，2，－h)，＝(－，1，0)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，·n＝2y－hz＝0，·n＝－x＋y＝0，取y＝h，则x＝h，z＝2，所以n＝(h，h，2)，而平面PBD的一个法向量为＝(－，2，0)，cosn，＝＝＝，解得h＝，＝(，1，－)，易知AD⊥平面PCD，所以＝(，0，0)是平面PCD的一个法向量，设直线PB与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos，|＝，故直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为．

…12分20．解：（1）若n＝3，p＝，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3，)，从而P(X＝i)＝C()i()3-i，i＝0，1，2，3．X0123P随机变量X的分布列为：随机变量X的均值为E(X)＝3×＝1．

…4分（2）由题意知ζ的所有可能取值为1，k＋1，且P(ζ＝1)＝(1－p)k，P(ζ＝k＋1)＝1－(1－p)k，∴E(ζ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，∵p＝1－，∴＜()k，∴lnk＞k．设f(x)＝lnx－x，易知f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，由于f(1)＝－＜0，f(2)＝ln2－＞0，f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，故k的取值范围为2≤k≤4且k∈N*．

…12分

21．解：（1）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝lnx＋1－，显然f(x)为增函数，又f(1)＝0，所以，当0＜x＜1时，f(x)＜0，当x＞1时，f(x)＞0，即f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

…4分（2）令g(x)＝f(x)＋f(a)－2f()，x∈(a，＋∞)．则g(x)＝f(x)－f()，

因为x＞a，所以x＞，

由（1）知，f(x)－f()＞0，即g(x)＞0，

因此可得，g(x)在(a，＋∞)上单调递增，从而g(x)＞g(a)＝0，

于是g(b)＞0，故f()＜．

…12分22．解：（1）依题意可知，|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），因此曲线E的方程为＋＝1(y≠0)．

…4分（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋m（m≠0），代入＋＝1整理得，(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，（*）则x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝，得MN的中点T(，)，直线y＝－x经过MN的中点T，得＝－·，又m≠0，所以直线l的斜率k＝．

…8分（*）式可化简为3x2＋3mx＋m2－3＝0，x1＋x2＝－m，x1x2＝，由＝36－3m2＞0，且m≠0，得－2＜m＜2且m≠