初高衔接课讲义-2021-2022学年新高一数学暑期预科新高一必备知识

新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式ab2a22abb2 ababa2b22、和立方与差立方公式ab3a3a2bab2b3ab3a3a2bab2b33、立方和与立方差公式aba2abb2a3b3aba2abb2a3b3二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：b cax2＋bx＋c＝0（a≠0）x1，x2x1＋x2＝a，x1·x2＝a．韦达1 2 1 2 1 定理x（x2－(x＋x)x＋x·x＝0．1 2 1 2 1 xx2x (xx) 2xx2211xx1121212x1x2xx122(xx)2(xx)24xx|xx| (xx)24xx1 2 1 2 12 1 2 1 2 12一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量问题(x设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根，则x1

，x ，b b2b b24ac2ab b24ac2ab b24ac2 b24acb24acb b2b b24ac1

2a 2a 2a | ．||a|例1. 已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．2.xx2x2＋5x-3=0的两根．1 2(1)求|x

的值； (2)

1 1 的值； (3)求x3＋x3的值．1 2 x2 x2 1 21 2例3.已知、是方程x2＋2x-5=0的两个实数根，则2＋＋2的值．【巩固练习】1 2 1 x 和x 为一元二次方程2x22x3m10的两个实根，并x 和x 满足1 2 1 xxx12 1，x 41 2则实数m的值范围是 ．xx24xm0x1，x2|x1－x2|＝2m的值．已知、是方程x2x10的两个实数根，则代数式2(22)的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】a2 b21.a,b是相异的两实数，满足a

4ab

4b

a的值2.5a

1999a88b2

50，

ab的值．【巩固练习】b a如果a、b都是质数，且a213am0b213bm0ab的值a,b分别满足19a

99a10,b2

19且ab

ab4a1b 的值．00分布情况一正根一负根即一个根小于x0,x 0x0,x 00，一个大于0x00分布情况一正根一负根即一个根小于x0,x 0x0,x 00，一个大于0x0x121212大致图象（a0）得出的结论00b0bf002af002a0f00大致图象（a）3、根的分布定理（1）0分布一元二次方程ax2bxc0a0的根从几何意义上来说就是二次函数fxax2bxcxax2bxc0的实根的情况，可从fxax2bxc.00得出的结论b0bf002af002a0f00综合（不讨0 b00 b02a2aaf00论a）af00af00【例题精讲】例1.已知方程2x2m1xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．2.x2(m2)x5m0的根满足下列条件，分别求出实数m的取值范围．方程两实根均为正数）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程1x22mx10m的取值范围．（2）k分布【知识梳理】分两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k一个大于k即分布情 xk,x况 1 2

k x1

k,x2

k

kx121大致图象 k（ k ka0） 0 0得 b出 k

bk

f

0的 2a论结 fk0论

2afk0大致图象（a0） 0 0得 b出 k

bk

f

0的 2a论结 fk0论

2afk0综合（不讨论综合（不讨论a）00 bbafk02ak kafk0afk02a例1. 若关于x的方程x2xa0的一个大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．例2.若关于x的方程x2xa0的两根均小于1，求实数a的取值范围．3.y2x22m4x3x1，1，求实数m的取值范围．【巩固练习】xx2(a21)xa2011小，则（）A 1a1 B |a|1 C 2a1 D a2a1实数k为何值时，方程x2kxk20的两根都大于1 ．23.（1）已知：,是方程x22m1x42m0的两个根，且2，求m的取值范围；x2ax20的两根都小于1，求a的取值范围．m、n分布xxmx12n分布情况mxx n12mxnx（图象有mxnpx q1212两种情况，只画了一种）大致图象（a0）fm0 0得出的结论fm0fn0fn0ff0fp 0或mb2anfmfn0fq0fpfq0大致图象（a0）fm0 0fn0得出的结论fm0fn0ff0f或p 0mb2anfmfn0fq0fpfq0综合（不讨论a）f0——————fmfn0 fpfq0【例题精讲】例1.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根满足1x1

0，另一根满足1x2

2，求m的范围；若方程两根满足0xx1 2

1m的范围．例2. 关于x 的二次方程7x2p13xp2p20的两根,满足012，求实数p的取值范围．3.y5x22(m1)xm26x轴的两个交点满足1xx1 2

1，y轴的两侧，求实数m的取值范围．例.若二次函数=x2mx1的图象与两端点为A03B30）的线段B有两m的取值范围．【巩固练习】1x的方程3x25xa0的两根分别满足21

0，1x2

3，求a的取值范围．x2kx2k10xx1 2

，当2x1

1且1x2

2时，实数k的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面（a和△的符号对称轴相对于区间的位置【例题精讲】例1.当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：x2ax+a7=022；ax2+3x+4=01；（3）方程x22(a+4)x+2a2+5a+3=0的两个根都在-1x3内；（4）7x2的一个根在0x1内，另一个根在1x2内．例2.已知函数f(x)x2(2a1)xa22与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围．【巩固练习】已知方程mx4m3)x20有一个根小于其余三个根都大于，求m的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1.解下列不等式）x3x52x； 2）xx1x2；（3）2x32；3x2

33x1 x2；322（5）x2x111 2

＋2x－3≤0；

＋6＜0；32（8）4x2＋4x＋1≥0； （9）x2－6x＋9≤0； （10）－4＋x－x2＜0．22.设mRx的不等式mx22mx3m0．2、分式不等式及高次不等式简单分式不等式的解法：f(x)已知f(x)与g(x)是关于x的多项式，不等式

0，

f(x)

0，

f(x)

0，

f(x)

0称g(x) g(x) g(x) g(x)（组）①f(x)

0，即f(x)0或f(x)0f(xg(x)0；g(x)

g(x)0 g(x)0 ②f(x)

0，即f(x)0或f(x)0f(xg(x)0；g(x)

g(x)0 g(x)0③f(x)g(x)④f(x)g(x)

0，即f(xg(x)0f(xg(x)0f(x)0；g(x)00，即f(xg(x)0f(xg(x)0f(x)0．g(x)0简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f(x)＞0(＜0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积，根据符（组）式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x的系数为正（奇过偶不过；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析x20的解集x33x22

x3

的解集

2 2x 1 的解集2求不等式x2

5x6

3x20的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数yfx的图象与x轴的位置关系问题，若是不等式fx0恒成立，即函数图象恒在x轴上方，且与x轴无交点，同理可以得到其他类似情形。【例题精讲】例1.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．例2.已知fxx22a2x4.xRfx0恒成立，求实数a的取值范围；xfx0成立，求实数a【巩固练习】已知关于x的二次不等: ax2(a1)xa10的解集为R，求a的取值范.x2mx2m0x

x 3，求实数m的取值范围

1 2 1 2f(x)x2pxqf(2)2xf(x)x，求实数p,q的值.四、二次函数的最值1、二次函数的最值——轴定区间定二次函数的最值问题，核心是对函数对称轴与给定x一般分为：对称轴在取值范围的左边，中间，右边三种情况．分析：1.求函数的最小值；【例题精讲】例2.当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值．例3.x0yx(2x的取值范围．2、轴定区间动、轴动区间定例1.已知函数