新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-等比数列的定义

等比数列等比数列第1课时 等比数列的定学习目标理解等比数列的定义．(重点)用．(重点、难点)熟练掌握等比数列的判定方法．(点)

核心素养象的素养.学习，培养数学运算的素养.有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1mm)这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：1,2,4,8,16,32,64,128，有人说过：你如果能将一张纸对折42次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．(假设纸的厚度为0.1mm)这个实例所包含的数学问题，用数字反应如下：1,2,4,8,16,32,64,128，…问题：该组数字的后一项与前一项存在怎样的等量关系？是什么数列？1．等比数列的概念a数q an1a，即 ＝q恒成立，则称数列{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比．n思考1：在等比数列{an}中，某一项可以为0吗[提示] 一定不能为0.拓展：对等比数列的定义的理解“2项起”有两层含义，第一层是第一项没有“前一项”，第二层是包含第一项后的所有项．“每一项与前一项的比”层指后项与前项的比．等比数列的通项公式及其推广n 若等比数列{an}a1qan＝a1qn－1a＝aqn－mn，m∈N*.n 思考2：等比数列通项公式an＝a1qn－1是关于n的指数型函数吗？[提示] 不一定．如当q＝1时，an是关于n的常数函数．等比数列的单调性等比数列{an}的首项为a1，公比为q.(1)q>1，a1>00<q<1，a1<0(2)q>1，a1<00<q<1，a1>0(3)q＝1时，数列为常数列；(4)当q<0时，数列为摆动数列．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)n1 n 若a ＝qa，n∈N*且q≠0，则{an1 n ＋n n 1等比数列{a}中，a＝aqn，n∈N*n n 1常数列一定是等比数列． ( )存在一个数列既是等差数列，又是等比数列． ( [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√已知{an}是首项为2公比为3的等比数列则这个数列的通项公式为( )A．an＝2·3n＋1C．an＝2·3n－1

B．an＝3·2n＋1D．an＝3·2n－1C [由已知可得a1＝2，q＝3，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1＝2·3n－1.]3．下列数列为等比数列的是( )A．2,22,3×22，…，，，…B.1 1 1，，，…a a2 a3C．S－1，(S－1)2，(S－1)3，…D．0,0,0，…B [结合等比数列的定义可知选项B正确．]4．已知{a}是等比数列，a＝2，a

q＝ .n 21 [法一：∵a＝aq＝2，

5＝4，则公比①2 2 11a5＝a1q4＝4， ②1 1∴②÷①得：q3＝8，∴q＝2.1 1法二：∵a5＝a2q3，∴q3＝8 q＝2.]等比数列基本量的求解n【例1】 在等比数列{an}中．(1)a4＝2，a7＝8，求a；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求等比数列基本量的求解n(3)a＝2，a＋a 20 a.3 2 4＝3，求na4＝a1q3，[解] (1)法一：∵a7＝a1q6，1aq3＝2， ①1∴a1q6＝8， ②② 3由 得q3＝4，从而q＝ 4，而a1q3＝2，①2 1 2n－5于是＝，∴an＝a1qn－1＝2 .q3 2 34法二：∵a＝a4

a7 8 4，7 4∴q＝34.

＝a＝2＝n－4 2n－8 2n－5∴an＝a4qn－4＝2×43＝2×2 3 ＝2 3 .a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18， ③(2)法一：∵a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ④④ 1由 得q＝2，从而a1＝32，又an＝1，∴32∴32×＝1，即26－n＝20，∴n＝6.法二：∵a3＋a6＝q(a2＋a5)，1∴q＝2.a1q＋a1q4＝18a1＝32.an＝a1qn－1＝1(3)设等比数列{an}qq≠0.a3 2a2＝q＝，a4＝a3q＝2q，q2 20 1＋2q＝

，q2＝3.1当q1当q＝3时，a1＝18，∴an＝18×＝2×33－n.2 2当q＝3时，a1＝9，∴an＝9×3n－1＝2×3n－3.1综上，当q＝3时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.此类问题求解的通法是根据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.[跟进训练[跟进训练]1．(1)若等比数列{a

9 1 2 . n的首项a1＝8，末项an＝3，公比q＝3，求项数n1 9[解](1)a＝an 1·qn1－，得＝3 8，即n＝4.(2)在等比数列{a1 9[解](1)a＝an 1·qn1－，得＝3 8，即n＝4.a5－a1＝a1q4－a1＝15， ①(2)因为a4－a2＝a1q3－a1q＝6， ②① 1由 得q＝2或q＝2.②1∴an＝－16·an＝2n－1.当q＝2时，a∴an＝－16·an＝2n－1.等比数列的判断与证明[探究问题]等比数列的判断与证明如何证明数列{an}是等比数列？[提示] 只需证明an＋1＝q，(q≠0)即可．an如何证明数列{an＋1}是等比数列？[提示] 只需证明an＋1＋1＝q，(q≠0)即可．an＋1＋ 【例2】 已知数列{an}满足a1＝1，an1＝2a(1)证明：数列{an＋＋ (2)求数列{an}的通项公式．＋[解] (1)证明：∵an1＝2an＋1，＋＋∴an1＋1＝2an＋2＝2(an＋1)，又a1＝1，故an＋1≠0，＋an1＋1∴ ＋an＋1

＝2.∴数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.＋ 由递推关系an1＝Aa＋BA，B为常数，且A≠0，A≠1求a＋ 法设a

＋λ＝Aa＋λ

B，这样就构造了等比数列{a＋λ}.n＋1

A－1 n[跟进训练[跟进训练]2．在数列{a}中，a

5 1

，求数列{b}的通项公式．n 1 n

＝－，b＝2 n1 a n＋ n a1 a n5 1 a－2 1 2a 4[解] a －2＝－－2＝n ， ＝ n＝ ＋2， n＋1 2 a

2a a －2 a－2 a－22bn＋1 2bn＋1 n＝4b＋2，b ＋3＝＋4n＋1.又a＝1，故b＝ 1 ＝－1，所以1是首项为－34的等比数列，所以1是首项为－34的等比数列，12 1所以b＋＝－×4n－1，n 3 34n－1 2b＝－ －.n 3 31【例3】 已知数列{a}的前n项和为S，S＝(a－1)(n∈N)．n1 求a，a1

n n 3n ＋(求证：数列{an}是等比数列．([解] (1)

1a－1)

1a－1)，S(a1 S(a1

1 31∴a＝－.1 21 1 1又S＝(a－1)，即a＋a＝(a－1)，得a＝.2 32 1 2 32 2 4(2)证明：当n≥2时，a＝S－S

1 1＝(a－1)

－1)，n n n－1 3a 1

－3(

n－1得an＝－2.n－11又a＝－，1 21 1所以数列{a}

的等比数列．n 2 2nnanSn的关系求解．判断一个数列是否是等比数列的常用方法有：n＋n＋1n①定义法：a＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．nn②通项公式法：an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{a}为等比数列．n＋＋ ③构造法：在条件中出现an1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an1＋x＝k(an＋x)与an1＝kan＋b对照，求出x＋＋ [跟进训练[跟进训练]已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1{an}公式．[证明] ∵Sn＝2an＋1，＋ ∴Sn1＝2an1＋＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ∴an1＝Sn1－Sn＝(2an1＋1)－(2an＋1)＝2an1－2an，∴an1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1＋ ＋ ＋ ＋ ∴a1＝－1≠0.∴a＝2，＋又由an1＝2an知an≠0，a∴a＝2，＋n∴{an}是等比数列．∴a＝－1×2n－1＝－2n－1.n等比数列定义的理解q可能为零．an＋1an能颠倒．234一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列．等比数列的通项公式a1q，可以确定一个等比数列．an＝a1qn－1an，a1，q，n求得第四个量．an＝amqn－mq项的思想．1．在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )A．16C．32

B．16或－16D．32或－32C [a4＝a1q3q3＝8q＝2a3＝a1q2＝8×4＝32.]若等比数列的首项为末项为公比为则这个数列的项数为( A．4 B．6 C．5 D．32B [由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.]3．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足( a≠1C．a≠0

a≠0a≠1D．a≠0D [aa(－aa(－a2…aa(1－a)2≠0a≠0a≠1.]4．在等比数列{an}中，若a2＝18，a4＝8，则公比q＝ .2 2 a4 8 4 2±3 [由题意可知q＝＝ ＝，即q＝±.]a2 18 9 35．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比