高中数学通用模型解题方法

.z.13.反函数存在的条件是什么？〔一一对应函数〕求反函数的步骤掌握了吗？〔①反解*；②互换*、y；③注明定义域〕14.反函数的性质有哪些？反函数性质：反函数的定义域是原函数的值域〔可扩展为反函数中的*对应原函数中的y〕反函数的值域是原函数的定义域〔可扩展为反函数中的y对应原函数中的*〕反函数的图像和原函数关于直线=*对称〔难怪点〔*,y〕和点〔y，*〕关于直线y=*对称①互为反函数的图象关于直线y＝*对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；由反函数的性质，可以快速的解出很多比拟麻烦的题目，如〔04.**春季高考〕函数，则方程的解__________.1对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。反函数的y,不就是原函数的*吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？〔也可能是告诉你反函数的*值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我15.如何用定义证明函数的单调性？〔取值、作差、判正负〕判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法：根据定义，设任意得*1,*2，找出f(*1),f(*2)之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系(2)参照图象：

①假设函数f(*)的图象关于点(a，b)对称，函数f(*)在关于点(a，0)的对称区间具有一样的单调性；〔特例：奇函数〕

②假设函数f(*)的图象关于直线*＝a对称，则函数f(*)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。〔特例：偶函数〕

(3)利用单调函数的性质：

①函数f(*)与f(*)＋c(c是常数)是同向变化的

②函数f(*)与cf(*)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1(*)，f2(*)同向变化，则函数f1(*)＋f2(*)和它们同向变化；〔函数相加〕

④如果正值函数f1(*)，f2(*)同向变化，则函数f1(*)f2(*)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(*)同向变化，则函数f1(*)f2(*)和它们反向变化；〔函数相乘〕

⑤函数f(*)与在f(*)的同号区间里反向变化。

⑥假设函数u＝φ(*)，*[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(*)]是递增的；假设函数u＝φ(*),*[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(*)]是递减的。〔同增异减〕

⑦假设函数y＝f(*)是严格单调的，则其反函数*＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性一样。f(g)g(*)f[g(*)]f(*)+g(*)f(*)*g(*)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减∴……〕16.如何利用导数判断函数的单调性？值是〔〕A.0 B.1 C.2 D.3∴a的最大值为3〕17.函数f(*)具有奇偶性的必要〔非充分〕条件是什么？〔f(*)定义域关于原点对称〕注意如下结论：〔1〕在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判断函数奇偶性的方法定义域法一个函数是奇〔偶〕函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇〔偶〕函数的必要条件.假设函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数..奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.复合函数奇偶性f(g)g(*)f[g(*)]f(*)+g(*)f(*)*g(*)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。〕我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(*)+f(*+t)=0,我们要马上反响过来，这时说这个函数周期2t.推导：，同时可能也会遇到这种样子：f(*)=f(2a-*),或者说f(a-*)=f(a+*).其实这都是说同样一个意思：函数f(*)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比方，f(*)=f(2a-*),或者说f(a-*)=f(a+*)就都表示函数关于直线*=a对称。如：19.你掌握常用的图象变换了吗？联想点〔*,y〕,(-*,y)联想点〔*,y〕,(*,-y)联想点〔*,y〕,(-*,-y)联想点〔*,y〕,(y,*)联想点〔*,y〕,(2a-*,y)联想点〔*,y〕,(2a-*,0)〔这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(*+a)怎么由y=f(*)得到，可以直接令y-b=0,*+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。〕注意如下"翻折〞变换：19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k为斜率，b为直线与y轴的交点)的双曲线。应用：①"三个二次〞〔二次函数、二次方程、二次不等式〕的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。③求区间定〔动〕，对称轴动〔定〕的最值问题。④一元二次方程根的分布问题。由图象记性质！〔注意底数的限定！〕利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？〔均值不等式一定要注意等号成立的条件〕20.你在根本运算上常出现错误吗？21.如何解抽象函数问题？〔赋值法、构造变换法〕〔对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了代y=*，令*=0或1来求出f(0)或f(1)求奇偶性，令y=—*；求单调性：令*+y=*1几类常见的抽象函数正比例函数型的抽象函数f〔*〕＝k*〔k≠0〕f〔*±y〕＝f〔*〕±f〔y〕幂函数型的抽象函数f〔*〕＝*af〔*y〕＝f〔*〕f〔y〕；f〔〕＝指数函数型的抽象函数f〔*〕＝a*f〔*＋y〕＝f〔*〕f〔y〕；f〔*－y〕＝对数函数型的抽象函数f〔*〕＝loga*〔a>0且a≠1〕f〔*·y〕＝f〔*〕＋f〔y〕；f〔〕＝f〔*〕－f〔y〕三角函数型的抽象函数f〔*〕＝tg*f〔*＋y〕＝f〔*〕＝cot*f〔*＋y〕＝例1函数f〔*〕对任意实数*、y均有f〔*＋y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，且当*>0时，f(*)>0，f(－1)＝－2求f(*)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f〔*〕在R上是增函数〔注意到f〔*2〕＝f[〔*2－*1〕＋*1]＝f〔*2－*1〕＋f〔*1〕〕；再根据区间求其值域.例2函数f〔*〕对任意实数*、y均有f〔*＋y〕＋2＝f〔*〕＋f〔y〕，且当*>0时，f(*)>2，f(3)＝5，求不等式f〔a2－2a－2〕<分析：先证明函数f〔*〕在R上是增函数〔仿例1〕；再求出f〔1〕＝3；最后脱去函数符号.例3函数f〔*〕对任意实数*、y都有f〔*y〕＝f〔*〕f〔y〕，且f〔－1〕＝1，f〔27〕＝9，当0≤*＜1时，f〔*〕∈[0，1].判断f〔*〕的奇偶性；判断f〔*〕在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；假设a≥0且f〔a＋1〕≤，求a的取值范围.分析：〔1〕令y＝－1；〔2〕利用f〔*1〕＝f〔·*2〕＝f〔〕f〔*2〕；〔3〕0≤a≤2.例4设函数f〔*〕的定义域是〔－∞，＋∞〕，满足条件：存在*1≠*2，使得f〔*1〕≠f〔*2〕；对任何*和y，f〔*＋y〕＝f〔*〕f〔y〕成立.求：f〔0〕；对任意值*，判断f〔*〕值的符号.分析：〔1〕令*=y＝0；〔2〕令y＝*≠0.例5是否存在函数f〔*〕，使以下三个条件：①f〔*〕>0,*∈N；②f〔a＋b〕＝f〔a〕f〔b〕，a、b∈N；③f〔2〕＝4.同时成立？假设存在，求出f〔*〕的解析式，假设不存在，说明理由.分析：先猜出f〔*〕＝2*；再用数学归纳法证明.例6设f〔*〕是定义在〔0，＋∞〕上的单调增函数，满足f〔*·y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，f〔3〕＝1，求：f〔1〕；假设f〔*〕＋f〔*－8〕≤2，求*的取值范围.分析：〔1〕利用3＝1×3；〔2〕利用函数的单调性和关系式.例7设函数y＝f〔*〕的反函数是y＝g〔*〕.如果f〔ab〕＝f〔a〕＋f〔b〕，则g〔a＋b〕＝g〔a〕·g〔b〕是否正确，试说明理由.分析：设f〔a〕＝m，f〔b〕＝n，则g〔m〕＝a，g〔n〕＝b，进而m＋n＝f〔a〕＋f〔b〕＝f〔ab〕＝f[g〔m〕g〔n〕]….例8函数f〔*〕的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：*1、*2是定义域中的数时，有f〔*1－*2〕＝；f〔a〕＝－1〔a＞0，a是定义域中的一个数〕；当0＜*＜2a时，f〔*试问：f〔*〕的奇偶性如何？说明理由；在〔0，4a〕上，f〔*分析：〔1〕利用f[－〔*1－*2〕]＝－f[〔*1－*2〕]，判定f〔*〕是奇函数；先证明f〔*〕在〔0，2a〕上是增函数，再证明其在〔2a，对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的根本初等函数.因此，针对不同的函数要进展适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9函数f〔*〕〔*≠0〕满足f〔*y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，求证：f〔1〕＝f〔－1〕＝0；求证：f〔*〕为偶函数；假设f〔*〕在〔0，＋∞〕上是增函数，解不等式f〔*〕＋f〔*－〕≤0.分析：函数模型为：f〔*〕＝loga|*|〔a＞0〕先令*＝y＝1，再令*＝y＝－1；令y＝－1；由f〔*〕为偶函数，则f〔*〕＝f〔|*|〕.例10函数f〔*〕对一切实数*、y满足f〔0〕≠0，f〔*＋y〕＝f〔*〕·f〔y〕，且当*＜0时，f〔*〕＞1，求证：当*＞0时，0＜f〔*〕＜1；f〔*〕在*∈R上是减函数.分析：〔1〕先令*＝y＝0得f〔0〕＝1，再令y＝－*；受指数函数单调性的启发：由f〔*＋y〕＝f〔*〕f〔y〕可得f〔*－y〕＝，进而由*1＜*2，有＝f〔*1－*2〕＞1.练习题：1.：f〔*＋y〕＝f〔*〕＋f〔y〕对任意实数*、y都成立，则〔〕〔A〕f〔0〕＝0〔B〕f〔0〕＝1〔C〕f〔0〕＝0或1〔D〕以上都不对2.假设对任意实数*、y总有f〔*y〕＝f〔*〕＋f〔y〕，则以下各式中错误的选项是〔〕〔A〕f〔1〕＝0〔B〕f〔〕＝f〔*〕〔C〕f〔〕＝f〔*〕－f〔y〕〔D〕f〔*n〕＝nf〔*〕〔n∈N〕3.函数f〔*〕对一切实数*、y满足：f〔0〕≠0，f〔*＋y〕＝f〔*〕f〔y〕，且当*＜0时，f〔*〕＞1，则当*＞0时，f〔*〕的取值范围是〔〕〔A〕〔1，＋∞〕〔B〕〔－∞，1〕〔C〕〔0，1〕〔D〕〔－1，＋∞〕4.函数f〔*〕定义域关于原点对称，且对定义域内不同的*1、*2都有f〔*1－*2〕＝，则f〔*〕为〔〕〔A〕奇函数非偶函数〔B〕偶函数非奇函数〔C〕