集合与函数概念函数的基本性质同步训练b卷

必修1第一章集合与函数概念函数的基本性质同步训练B卷（含详细解析）一．选择题（共10小题）1．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）A． （﹣∞，0]，（﹣∞，1] B．（﹣∞，0]，[1，+∞） C． [0，+∞），（﹣∞，1] D． [0，+∞），[1，+∞）2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B． y=|x|+1 C． y=﹣x2+1 D． y=2﹣|x|3．已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A． （﹣∞，1） B．（1，+∞） C． （﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．函数y=的值域是（）A． （0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1] D． [0，1]5．已知x≥3，则y=x﹣的最小值为（）A． 2 B． C．2 D．36．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A． ﹣ B． ﹣ C． D． 7．已知函数y=f（x=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（）A． f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C． f（﹣x1）=f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系不能确定8．已知函数f（x）=3ax2+bx﹣5a+b是偶函数，且其定义域为[6a﹣1，a]，则a+b=（）A． B．﹣1 C．1 D．79．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． [﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]10．定义符号函数sgnx=，设f（x）=•f1（x）+•f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），则f（x）的最大值等于（）A． 2 B．1 C． D．二．填空题（共6小题）11．已知函数f（x）是偶函）在[0，+∞]是增函数，如果不等式f（a）≤f（1）恒成立，则实数a取值范围是_________．12．已知定义域为R的函（﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为_________．13．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=________．14．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）=2，则f﹣1（﹣2）=_________．15．定义在R上的函数y=：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则f（2022）的值是_________．16．函数的图象关于点_________对称．三．解答题（共5小题）17．求函数f（x）=﹣++的最大值．18．定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x﹣2|+|2x+1|，﹣x2+3x+3}的最大值．19．设函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；（2）若方程f（x）=﹣1有解，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．21．已知函数f（x）=（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f（x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．参考答案及解析一．选择题（共10小题）1．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（）2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3 B． y=|x|+1 C． y=﹣x2+1 D． y=2﹣|x|解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．3．已知f（x）为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（）A． （﹣∞，1） B．（1，+∞） C． （﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）解：由已知得解得x＜0或x＞1，故选D．4．函数y=的值域是（）A． （0，1） B．（0，1] C．（﹣∞，1] D． [0，1]解：∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜1，即0＜y＜1．∴函数y=的值域是（0，1）．故选A．5．已知x≥3，则y=x﹣的最小值为（）A． 2 B． C．2 D．36．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A． ﹣ B． ﹣ C． D． 解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选A．7．已知函数y=f①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．若x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2，则f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系是（）A． f（﹣x1）＞f（﹣x2） B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C． f（﹣x1）=f（﹣x2） D．f（﹣x1）与f（﹣x2）的大小关系不能确定解：由y=f（x+1）是偶函数且把y=f（x+1）的图象向右平移1个单位可得函数y=f（x）得图象所以函数y=f（x）得图象关于x=1对称，即f（2+x）=f（﹣x）因为x1＜0，x2＞0，且x1+x2＜﹣2所以2＜2+x2＜﹣x1因为函数在[1，+∞）上为增函数所以f（2+x2）＜f（﹣x1）即f（﹣x2）＜f（﹣x1）故选A．8．已知函数f（x）=3ax2+bx﹣5a+b是偶函数，且其定义域为[6a﹣1，a]，则a+b=（）A． B．﹣1 C．1 D．79．已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，如果f（ax+1）≤f（x﹣2）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A． [﹣2，1] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，0]解：由题意可得|ax+1|≤|x﹣2|对恒成立，得x﹣2≤ax+1≤2﹣x对恒成立，从而且对恒成立，∴a≥﹣2且a≤0，即a∈[﹣2，0]，故选D．10．定义符号函数sgnx=，设f（x）=•f1（x）+•f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），则f（x）的最大值等于（）A． 2 B．1 C． D．解：①当x=时，==0，因此f（x）=•f1（x）+•f2（x）=f1（x）+f2（x），∵f1（x）=，f2（x）=2（1﹣x），∴f（x）=x++（1﹣x）=代入x=，得f（）=1；②当x时，=1，=﹣1，因此f（x）=•f1（x）+•f2（x）=f2（x）∴f（x）=2（1﹣x），在区间（，+∞）内是减函数，所以f（x）＜2（1﹣）=1恒成立；③当时，=﹣1，=1，因此f（x）=•f1（x）+•f2（x）=f1（x），∴f（x）=，在区间（﹣∞，）内是增函数，所以f（x）＜+=1恒成立．综上所述，则f（x）的最大值等于1．故选B二．填空题（共6小题）11．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞]是增函数，如果不等式f（a）≤f（1）恒成立，则实数a取值范围是﹣1≤a≤1．12．已知定义域为R的函数﹣5，+∞）上为减函数，且函数y=f（x﹣5）为偶函数，设a=f（﹣6），b=f（﹣3），则a，b的大小关系为a＞b．解：∵函数y=f（x﹣5）为偶函数，图象关于x=0对称又∵由y=f（x﹣5）向左平移5个单位可得函数y=f（x）的图象∴y=f（x）的图象关于x=﹣5对称∵函数f（x）在（﹣5，+∞）上为减函数∴a=f（﹣6）=f（﹣4）＞b=f（﹣3）∴a＞b故答案为：a＞b13．已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=﹣2．解；∵图象关于直线x=﹣2对称∴f（﹣4﹣x）=f（x）∵f（x）是奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）f（4+x）=﹣f（x+4）=f（x）∴f（x+8）=f（x）∴f（x）是以8为周期的周期函数．f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣214．设函数f（x）的图象关于原点对称，且存在反函数f﹣1（x）．若已知f（4）=2，则f﹣1（﹣2）=﹣4．解：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴此此函数在定义域上是奇函数，∵f（4）=2，∴f（﹣4）=﹣2，由于存在反函数f﹣1（x），则f﹣1（﹣2）=﹣4．故答案为：﹣4．15．定义在R上的函数y=f（（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，则f（2022）的值是

﹣1．解：∵f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），∴f（1+x）=﹣f（x﹣1）∴f（x+3）=﹣f（x+1）∴f（x+3）=f（x﹣1）∴f（x）以4为周期∴f（2022）=f（502×4﹣1）=f（﹣1）∵当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x3，∴f（﹣1）=﹣1所以f（2022）的值是﹣1故答案为：﹣116．函数的图象关于点（1，﹣1）对称．解：因为，即函数的图象是由的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，而函数的图象的对称中心为（0，0）；故所求对称点为（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．三．解答题（共5小题）17．函数f（x）=﹣++的最大值为．解：设，那么，，当且仅当t=2即x=1时等号成立，故答案为．18．定义min{a，b}=，求函数f（x）=min{|x﹣2|+|2x+1|，﹣x2+3x+3}的最大值．解：根据绝对值的意义，可得|x﹣2|+|2x+1|=…①当x≥2时﹣x﹣（3x﹣1）=﹣x2+4≤0成立，此时|x﹣2|+|2x+1|＞﹣x2+3x+3，∴f（x）=﹣x2+3x+3；②当﹣＜x＜2时，﹣x2+3x+3﹣（x+3）=﹣x2+2x≤0在（﹣，0）成立，此时f（x）=﹣x2+3x+3．﹣x2+3x+3﹣（x+3）=﹣x2+2x≥0在[0，2）成立，此时f（x）=x+3；③当x时，﹣x2+3x+3﹣（﹣3x+1）=﹣x2+6x+2≤0在（﹣∞，﹣]成立，此时f（x）=﹣x2+3x+3；所以f（x）=，…可得函数在（﹣∞，0），（0，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数因此，当x≤0时，f（x）≤f（0）=3；当0＜x＜2时，f（x）＜f（2）=5；当x≥2时，f（x）≤f（2）=5．综上所述，可得f（x）最大值为5．…19．设函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并写出x＞0时f（x）的单调增区间；（2）若方程f（x）=﹣1有解，求实数a的取值范围．解：（1）由题意，函数f（x）=x2﹣2a|x|（a＞0）的定义域D=R，对于任意的x∈D，恒有f（﹣x）=x2﹣2ax=f（x），所以函数f（x）是偶函数．当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）且[a，+∞）⊂（0，+∞），所以此时函数f（x）的单调递增区间是[a，+∞）（2）由（1）得函数f（x所以我们只要求出x＞0时f（x）的最小值即可，当x＞0时，f（x）=（x﹣a）2﹣a2所以f（x）min=﹣a2只须﹣a2≤﹣1，即a≥1或a≤﹣由于a＞0，所以a≥1时，方程f（x）=﹣1有解．20．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（﹣∞，2]上为减函数，求a的取值范围．解：（1）∵f（x）=2x+a•2﹣x，∴f（﹣x）=2﹣x+a•2x，若f（x）为偶函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=f（﹣x），即2x+a•2﹣x=2﹣x+a•2x对任意的x∈R都成立．化简可得（2x﹣2﹣x）（1﹣a）=0对任意的x∈R都成立．由于2x﹣2﹣x不恒等于0，故有1﹣a=0，即a=1∴当a=1时，f（x）是偶函数；若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R，都有f（x）=﹣f（﹣x），即2x+a•2﹣x+2﹣x+a•2x=0，（2x+2﹣x）（1+a）=0对任意的x∈R都成立．由于2x+2﹣x不恒等于0，故有1+a=0，即a=﹣1∴当a=﹣1时，f（x）是奇函数，综上可得当a=1时，f（x）是偶函数；当a=﹣1时，f（x）是奇函数；当a≠±1时，