微积分II课件：微分方程疑难分析

微分方程疑难分析一阶方程

类型1.可分离变量2.齐次方程3.线性方程4.伯努利方程可降阶方程线性方程解的结构定理1;定理2定理3;定理4定理5欧拉方程二阶常系数线性方程特征方程的根及其对应项

f(x)的形式及其特解形式高阶方程待定系数法特征方程法一、主要内容基本概念1.可分离变量的微分方程解法分离变量法2.齐次方程解法作变量代换3.一阶线性微分方程方程称为齐次的．方程称为非齐次的.齐次方程的通解为解法非齐次微分方程的通解为方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.4.伯努利(Bernoulli)方程解法需经过变量代换化为线性微分方程．5.可降阶的高阶微分方程型解法接连积分n次，得通解．特点型解法代入原方程,得特点型解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程特征方程为特征根的情况通解的表达式实根实根复根6.二阶常系数线性方程

欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)，7.欧拉方程二、求解方程可分离变量方程齐次方程可分离变量方程将其代入公式一阶线性方程(2005年)4.解原式可化为原式变为伯努利方程一阶线性方程(2000年)解代入原方程得欧拉方程9.求微分方程解原方程不是y

的线性方程.但将x看成y的函数时，这是关于x的一阶线性方程，y

为自变量,将其代入公式其通解为得10.求微分方程分析：原方程不是y

的线性方程,可将x看成y的函数.11.求方程解这是关于z的一阶线性方程，得12.求方程解14.求方程对应齐次方程的通解为方程的通解为三、综合问题的解,则此微分方1.设线性无关的函数都是微分方程程的通解为()(c1,c2为任意常数)6.当时,是比

较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量且y(0),求y(1).四、应用题2.设曲线L位于xOy

平面第一象限内并经过点,L上任意一点M的切线与y轴交于点A,已知切点M到点A的距离等于原点O到点A

的距离,求曲线方程.解设曲线L的方程为y=y(x),L

在任意一点M(x,y)的切线方程为令X=0,得可得点A

为4.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h,经测试,减速伞打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0×106),问从着陆点算起飞机滑行的最长距离是多少?解一由题设:m=9000kg,v0=700km/h,设触地后t时刻飞机的滑行距离为x(t),速度为v(t),(2004年)解取沉放点为原点O,Oy轴正向为铅直向下,则5.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需要确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用.设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).解设鼓风机开动后

时刻

的含量为在

内,的通入量的排出量8.某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每