辽宁省五校高二数学上学期期末考试试题理

辽宁省五校高二数学上学期期末考试一试题理辽宁省五校高二数学上学期期末考试一试题理辽宁省五校高二数学上学期期末考试一试题理2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是吻合题目要求的.1.设命题p:x0,xlnx0，则p为（）A．x0,xlnx0B．x0,xlnx0C．x00,x0lnx00D．x00,x0lnx002.设等差数列an的前n项和为Sn，已知2a1a139，则S9（）A．27B．27C．54D．543.若a,bR，则“11”是“3ab30”的（）ababA.充分不用要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不用要条件224.已知双曲线xy1a0,b0的一条渐近线方程为x2y0，则该双曲线的离心率是a2b2（）A．5B．2C．7D．5225.直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90M,N分别是A1B1,A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．30B．2C．1D．21051026.已知等比数列an中，a22，则其前三项的和S3的取值范围是（）A．,2B．,01,C．6,D．,26,xy07.已知变量x,y满足拘束条件xy4，若目标函数zx2y的最小值为2，则m（）ymA．2B．1C．2D．2360的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，AC6，BD8，则CD的长为（）A．17B．217C．41D．2419.已知不等式xyax22y2对任意x1,2,y4,5恒建立，则实数a的取值范围是（）A．1,B．6,C．28,D．45,10.设椭圆C:x2y21与函数yx3的图象订交于A,B两点，点P为椭圆C上异于A,B的动42点，若直线PA的斜率取值范围是3,1，则直线PB的斜率取值范围是（）A．6,2B．2,6C．1,1D．1,1266211.设数列an的前n项和Sn，若a12a22a32an24n4，且an0，则S100等于（）2222123nA．5048B．5050C．10098D．1010012.已知双曲线y2x21a0,b0的上焦点为F0,cc0，M是双曲线下支上的一:2b2a2cy2点，线段MF与圆x2y2a0相切于点D，且MF3DF，则双曲线的渐近线39方程为（）A．2xy0B．x2y0C．4xy0D．x4y0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题p:x22x30，命题q:xa，若p是q的充分不用要条件，则实数a的取值范围是．14.已知正项等比数列an的公比为2，若aman4a22，则21的最小值等于．m2n15.已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C:x22上，则1y61MAMF的最小值是．16.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC,ABACA1A1，已知G与E分别是棱2A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）.若GDEF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列an是等比数列，首项a11，公比q0，其前n项和为Sn，且S1a1,S3a3,S2a2成等差数列.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bnnbn的前n项和Tn.，求数列an18.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1,AA12，E为BB1中点.1）证明：ACD1E；2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值.19.已知数列{an满足a11,an1an，bn1n11nN*,b1.an2an（1）求证：数列11是等比数列；an（2）若数列bn是单调递加数列，求实数的取值范围.20.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD,E为PD中点，AD2.（1）求证：平面AEC平面PCD；（2）若二面角APCE的平面角大小满足cos2，求四棱锥PABCD的体积.421.已知过抛物线E:y22pxp0的焦点F，斜率为2的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2x1x2两点，且AB6.（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2，分别交曲线E于点C,D和M,N.设线段CD,MN的中点分别为P,Q，求证：直线PQ恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x1216，点A1,0，点y2Ba,0a3，以B为圆心，BA为半径作圆，交圆C于点P，且PBA的均分线交线段CP于点Q.（1）当a变化时，点Q向来在某圆锥曲线上运动，求曲线的方程；（2）已知直线l过点C，且与曲线交于M,N两点，记OCM面积为S1，OCN面积为S2，求S1的取值范围.S2试卷答案一、选择题1-5:DACAA6-10:DCBBD11、12：CB二、填空题13.1,14.315.616.54,15三、解答题17.解：（1）由于S1a1,S3a3,S2a2成等差数列，所以2S3a3S1a1S2a2，所以S3S1S3S22a3a1a2，所以4a3a1，由于数列an是等比数列，所以a31q2，a14n1又q0，所以q1，所以数列an的通项公式an1.2212）由（1）知bnn2，Tn120221322n2n1，2Tn121222n12n1n2n，所以Tn12012n1n212322nn12n2012n1n2222n2112nn2n1n2n1.12故Tnn12n1.（1）证明：连接BD∵ABCDA1B1C1D1是长方体，∴D1D平面ABCD又AC平面ABCD，∴D1DAC在长方形

ABCD中，

AB

BC,∴

BD

AC又BD

D1D

D,

∴

AC

平面

BB1D1D而D1E平面BB1D1D,∴ACD1E（2）如图，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0,D10，0，2,E1,1,1,B1,1,0，AE0,1,1,AD11,0,2,DE1,1,1设平面AD1E的法向量为nx,y,z，则x2z0yz0令z1，则n2,1,12112∴cosn,DE363所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为2.319.解（1）由于数列anannN*，所以12，满足an12an11anan即1121，又a11，所以1120，an211ana1所以数列1是以2为首项，公比为2的等比数列.1an（2）由（1）可得a1112n，所以bnn111n12n1n2，1an1由于b1吻合，所以bnn12n1nN*.由于数列bn是单调递加数列，所以bn1bn，即n2nn12n1，化为n1，所以2.证明：（1）取AD中点为O,BC中点为F,由侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，得PO平面ABCD,故FOPO,又FOAD,则FO平面PAD,∴FOAE,又CD//FO,则CDAE,又E是PD中点，则AEPD,由线面垂直的判判定理知AE平面PCD.又AE平面AEC,故平面AEC平面PCD.（2）如图，以O为坐标原点，以OA,OF,OP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则令ABa，则P0,0,3,A1,0,0,C1,a,0由（1）知EA3,0,3为平面PCE的法向量，22令nx,y,z为平面PAC的法向量，由于PA1,0,3,CA2,a,0，y2,1,2,故nPA0即13z0,解得a故n3，nCA02ay0,z3,a33由cosEAn12，解得a3.EAn34443a2故四棱锥PABCD的体积V1SABCDPO12332.3321.解：（1）抛物线的焦点Fp,0，∴直线AB的方程为：y2xp22y22px2联立方程组p，消元得：22pxp0，y2xx42∴x1x22p,x1x2p24∴AB12x1x224x1x234p2p26，解得p2.∵p0，∴抛物线E的方程为：y24x.（2）设C,D两点坐标分别为x1,y1,x2,y2，则点P的坐标为x1x2,y1y2..22由题意可设直线l1的方程为ykx1k0.y24x，得k2x22k24xk20.由kxy12k244k416k2160由于直线l1与曲线E于C,D两点，所以x1x224y2kx1x224.k2,y1k所以点P的坐标为122.k2,k由题知，直线l2的斜率为1，同理可得点Q的坐标为12k2,2k.k22kk当k122k2.时，有112k，此时直线PQ的斜率kPQk2212k21k1k2所以，直线PQ的方程为y2k1k2x12k2，整理得yk2x3ky0.k于是，直线PQ恒过定点3,0；当k1时，直线PQ的方程为x3，也过点3,0.综上所述，直线PQ恒过定点3,0.22.解：（1）∵BABP,BQBQ,PBQABQ,∴QABQPB,∴QAQP,∵CPCQQPQCQA,∴QCQA4,由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C,A为焦点,2a4的椭圆，22故点Q的轨迹方程为x