第四章-分离变量(傅立叶级数)法3课件

2022/11/25第四章分离变量法31第四章分离变量(傅立叶级数)法§4.1齐次方程的分离变量法（重点：4个齐次边界条件）§4.2非齐次方程和输运方程§4.3非齐次边界条件的处理§4.4Laplace方程、泊松方程（重点：周期边界条件）2022/11/22第四章分离变量法31第四章分离变量12022/11/25第四章分离变量法32§4.4

泊松方程本节介绍稳定场方程(拉普拉斯方程，泊松方程)的分离变量法、傅里叶级数法求解。1、拉普拉斯方程例如矩形截面散热片的稳定温度分布u(x,y)，边界上温度分布如图所示，定解问题为(1)1)矩形边界的稳定场问题yxOabUu0u0u02022/11/22第四章分离变量法32§4.4泊松方22022/11/25第四章分离变量法33分析：u满足二维拉普拉斯方程的第一类边界条件问题。(2)则定解问题变为(3)为了简化计算，设法将x方向的边界条件化为齐次。为此作如下平移变换：注意到v满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探解为v(x,y)=X(x)Y(y)；又因为v(x,y)在x方向的两端是固定的，所以有本征值ln=(np/a)2及本征函数Xn=Csin(npx/a)。2022/11/22第四章分离变量法33分析：u满足二维拉32022/11/25第四章分离变量法34于是令试探解为其中Yn待定，由泛定方程及y方向的边界条件确定。将试探解Eq.(4)代入泛定方程，得(4)即另一方面，由y方向的边界条件得(5a)(5b)2022/11/22第四章分离变量法34于是令试探解为其中42022/11/25第四章分离变量法35以及比较系数得Yn(b)=fn，而fn为常数U-u0的傅里叶正弦展开系数，因此(5c)综合(5a)、(5b)和(5c)式，我们得到Yn(y)满足的方程。2022/11/22第四章分离变量法35以及比较系数得Yn52022/11/25第四章分离变量法36这是一个二阶常系数微分方程，通解为e指数形式Yn(y)=ery(r待定)，代入方程得到r2=(np/a)2，有两个实根r=(np/a)，因此将上式代入到Yn满足的边界条件中，得(i)n为偶数时可见当n为偶数时，Yn(y)=0，即v(x,y)=0，舍弃这个平凡解。(6)2022/11/22第四章分离变量法36这是一个二阶常系数62022/11/25第四章分离变量法37求解上面的联立方程，得(ii)n为奇数时通解仍为Eq.(6)，即，由代入边界条件中，得2022/11/22第四章分离变量法37求解上面的联立方程72022/11/25第四章分离变量法38由此解得n为奇数时代入到试探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,···)，得(7)2022/11/22第四章分离变量法38由此解得n为奇数时82022/11/25第四章分离变量法39最后得稳定场温度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即(8)2022/11/22第四章分离变量法39最后得稳定场温度分92022/11/25第四章分离变量法3102)圆形边界的稳定场问题如图，带电云和大地之间静电场视为匀强电场(场强E0)，求圆柱形输电线对电势u和场强E的改变。由于电线沿z轴方向“无限长”，静电场与z无关，可归结为x-y平面内圆形边界的狄里希利(Dirichlet)问题。式中已取圆形半径为a，规定边界处及导体内电势为0。因为柱外无电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程(即，齐次泊松方程)E0E02022/11/22第四章分离变量法3102)圆形边界的102022/11/25第四章分离变量法311极坐标系下，定解问题变为(见附录)(9)其中周期边界条件如右图所示。xyOa研究区域oraj2p研究区域xyEx=E0(r,j)jOr2022/11/22第四章分离变量法311极坐标系下，定解112022/11/25第四章分离变量法312应用分离变量法，取试探解为：(10)将试探解代入到泛定方程中，即式(9)，得两边同乘r2/F，得上式等号左边只和r有关，右边只和极角j有关，二者相等的条件是它们同时等于一个常数l，即2022/11/22第四章分离变量法312应用分离变量法，122022/11/25第四章分离变量法313F满足二阶常系数微分方程，通解为：其中只有l0的解满足周期边界条件，即式(12)。于是泛定方程分解为两个独立的常微分方程(11)(12)极角j加减2p的整数倍电势u不变，因此有周期边界条件：2022/11/22第四章分离变量法313F满足二阶常系数132022/11/25第四章分离变量法314于是圆域内周期边界条件的本征值和本征函数为(13a)(13b)将本征值(13a)代入R满足的常微分方程中，得(14a)这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换r=et，即t=lnr，式(14a)简化为(见附录，下一章还将用到！)(14b)2022/11/22第四章分离变量法314于是圆域内周期边142022/11/25第四章分离变量法315Eq.(14b)是一个常系数二阶微分方程，通解为(r=et，t=lnr)代回试探解u=RF中，由Eqs.(13b)和(15)得所有本征解的叠加给出一般解:(16)(15)2022/11/22第四章分离变量法315Eq.(14b152022/11/25第四章分离变量法316Eq.(16)中的系数由边界条件u|r=a=0，u|r=-E0rcos确定，所以得(17)2022/11/22第四章分离变量法316Eq.(16)162022/11/25第四章分离变量法317比较系数得对于r>>a，rm项的贡献远大于D0ln(r/a)和诸r-m项，忽略后者的贡献，得(18)将Eq.(17)代入(16)中，得rau=ru=r－1u=lnr2022/11/22第四章分离变量法317比较系数得对于r172022/11/25第四章分离变量法318如果导体不带电，D0=0，Eq.(19)只剩后面两项。由此可证y轴方向的电势始终为零，即A1=-E0，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势(19)其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修正，当r(离电线无穷远)时，修正项可以忽略。2022/11/22第四章分离变量法318如果导体不带电，182022/11/25第四章分离变量法319此外导体A、B两点(如图)的电场强度是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有半圆形突起，那么该突起处的电场强度总是无限远电场强度E0的两倍。AB为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必须刨得非常光滑。2022/11/22第四章分离变量法319此外导体A、B两19203)推广：周期边界条件(periodicboundarycondition)203)推广：周期边界条件(periodicbounda202022/11/25第四章分离变量法321周期边界条件的应用：固体物理、半导体物理---晶格振动；电磁场(E.M.field)理论、电动力学、量子光学，etc.ThefreeclassicalE.M.fieldSeee.g.,R.Loudon,Thequantumtheoryoflight(2thedition,ClarendonPress,Oxford,1983).2022/11/22第四章分离变量法321周期边界条件的应212022/11/25第四章分离变量法322泊松方程采用特解法求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w。因为u=v=f，所以w=u-v=0，即w满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。2、泊松方程例1(P219).在圆域rr0内求解泊松方程的边值问题：也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，不适合用冲量定理法求解。2022/11/22第四章分离变量法322泊松方程采用特解222022/11/25第四章分离变量法323于是取满足泊松方程的特解为解：先找特解。注意到令问题转化为w的定解问题：2022/11/22第四章分离变量法323于是取满足泊松方232022/11/25第四章分离变量法324该定解问题的一般结论由Eq.(16)给出，即其中系数由边界条件w|r=r0给出。此外w在圆内应处处有限，而lnr和r-m在圆心处发散，所以排除在外。于是得2022/11/22第四章分离变量法324该定解问题的一般242022/11/25第四章分离变量法325代入到边界条件中，比较两边系数，得最后得，即2022/11/22第四章分离变量法325代入到边界条件中252022/11/25第四章分离变量法326作业P172

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2262022/11/25第四章分离变量法327附录A：极坐标系拉普拉斯方程从极坐标系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程的极坐标表示式(P12).解:极坐标下C-R条件为(A1)(A2)消去g(其中g=u或v),就对它求偏导,使之成为的形式.例如消掉v,Eq.(A1)左右乘然后对求偏导,得(A3)2022/11/22第四章分离变量法327附录A：极坐标系272022/11/25第四章分离变量法328接着,Eq.(A2)左右对求偏导,得到(A4)比较Eqs.(A3)和(A4),自然得到(A5)或者写为(A6)Eqs.(A5)和(A6)就是极坐标下拉普拉斯方程的表达式.2022/11/22第四章分离变量法328接着,Eq.282022/11/25第四章分离变量法329附录B(1)圆柱外“无穷远处”的静电场视为沿x方向的匀强电场Ex=E0，Ey=0，于是电势的导数ux=-E0，uy=0，所以有因此给出(9)式中圆柱外电势的边界条件。(2)欧拉型二阶常微分方程(14a)的化简：径向部分函数R满足的常微分方程为(B1)这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换r=et，即t=lnr，于是有2022/11/22第四章分离变量法329附录B(1)圆292022/11/25第四章分离变量法330所以Eq.(B1)简化为即(B2)2022/11/22第四章分离变量法330所以Eq.(B1302022/11/25第四章分离变量法331例题.在矩形域0xa，0yb

上求解泊松方程的边值问题解：先找一个特解v.显然v=-x2满足泊松方程。另外也满足泊松方程。取c1=a，c2=0，即令u=v+w，则w满足齐次边界条件定解问题附录C：补充例题(C1)(C2)(C3)2022/11/22第四章分离变量法331例题.在矩形312022/11/25第四章分离变量法332注意到x方向是两端固定，本征函数已知，按其展开得将试探解代入泛定方程，得即(C4)2022/11/22第四章分离变量法332注意到x方向是两322022/11/25第四章分离变量法333另一方面，由y方向的边界条件得而x(x-a)可展开成傅里叶正弦级数其中系数为2022/11/22第四章分离变量法333另一方面，由y方332022/11/25第四章分离变量法334(i)n为偶数时如前所述，该方程的解为Yn(y)=0，舍弃这个平凡解。(ii)n为奇数时通解为，由代入边界条件中，得2022/11/22第四章分离变量法334(i)n为偶数342022/11/25第四章分离变量法335比较系数可得于是得2022/11/22第四章分离变量法335比较系数可得于是352022/11/25第四章分离变量法336将Yn(y)带回Eq.(C4)，得求出的w(x,y)加上x(x-a)就是u(x,y)。2022/11/22第四章分离变量法336将Yn(y)带回362022/11/25第四章分离变量法337第四章分离变量(傅立叶级数)法§4.1齐次方程的分离变量法（重点：4个齐次边界条件）§4.2非齐次方程和输运方程§4.3非齐次边界条件的处理§4.4Laplace方程、泊松方程（重点：周期边界条件）2022/11/22第四章分离变量法31第四章分离变量372022/11/25第四章分离变量法338§4.4

泊松方程本节介绍稳定场方程(拉普拉斯方程，泊松方程)的分离变量法、傅里叶级数法求解。1、拉普拉斯方程例如矩形截面散热片的稳定温度分布u(x,y)，边界上温度分布如图所示，定解问题为(1)1)矩形边界的稳定场问题yxOabUu0u0u02022/11/22第四章分离变量法32§4.4泊松方382022/11/25第四章分离变量法339分析：u满足二维拉普拉斯方程的第一类边界条件问题。(2)则定解问题变为(3)为了简化计算，设法将x方向的边界条件化为齐次。为此作如下平移变换：注意到v满足齐次的泛定方程，可用分离变量法求解，令试探解为v(x,y)=X(x)Y(y)；又因为v(x,y)在x方向的两端是固定的，所以有本征值ln=(np/a)2及本征函数Xn=Csin(npx/a)。2022/11/22第四章分离变量法33分析：u满足二维拉392022/11/25第四章分离变量法340于是令试探解为其中Yn待定，由泛定方程及y方向的边界条件确定。将试探解Eq.(4)代入泛定方程，得(4)即另一方面，由y方向的边界条件得(5a)(5b)2022/11/22第四章分离变量法34于是令试探解为其中402022/11/25第四章分离变量法341以及比较系数得Yn(b)=fn，而fn为常数U-u0的傅里叶正弦展开系数，因此(5c)综合(5a)、(5b)和(5c)式，我们得到Yn(y)满足的方程。2022/11/22第四章分离变量法35以及比较系数得Yn412022/11/25第四章分离变量法342这是一个二阶常系数微分方程，通解为e指数形式Yn(y)=ery(r待定)，代入方程得到r2=(np/a)2，有两个实根r=(np/a)，因此将上式代入到Yn满足的边界条件中，得(i)n为偶数时可见当n为偶数时，Yn(y)=0，即v(x,y)=0，舍弃这个平凡解。(6)2022/11/22第四章分离变量法36这是一个二阶常系数422022/11/25第四章分离变量法343求解上面的联立方程，得(ii)n为奇数时通解仍为Eq.(6)，即，由代入边界条件中，得2022/11/22第四章分离变量法37求解上面的联立方程432022/11/25第四章分离变量法344由此解得n为奇数时代入到试探解中，令n=2k+1(k=0,1,2,···)，得(7)2022/11/22第四章分离变量法38由此解得n为奇数时442022/11/25第四章分离变量法345最后得稳定场温度分布u(x,y)=u0+v(x,y)，即(8)2022/11/22第四章分离变量法39最后得稳定场温度分452022/11/25第四章分离变量法3462)圆形边界的稳定场问题如图，带电云和大地之间静电场视为匀强电场(场强E0)，求圆柱形输电线对电势u和场强E的改变。由于电线沿z轴方向“无限长”，静电场与z无关，可归结为x-y平面内圆形边界的狄里希利(Dirichlet)问题。式中已取圆形半径为a，规定边界处及导体内电势为0。因为柱外无电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程(即，齐次泊松方程)E0E02022/11/22第四章分离变量法3102)圆形边界的462022/11/25第四章分离变量法347极坐标系下，定解问题变为(见附录)(9)其中周期边界条件如右图所示。xyOa研究区域oraj2p研究区域xyEx=E0(r,j)jOr2022/11/22第四章分离变量法311极坐标系下，定解472022/11/25第四章分离变量法348应用分离变量法，取试探解为：(10)将试探解代入到泛定方程中，即式(9)，得两边同乘r2/F，得上式等号左边只和r有关，右边只和极角j有关，二者相等的条件是它们同时等于一个常数l，即2022/11/22第四章分离变量法312应用分离变量法，482022/11/25第四章分离变量法349F满足二阶常系数微分方程，通解为：其中只有l0的解满足周期边界条件，即式(12)。于是泛定方程分解为两个独立的常微分方程(11)(12)极角j加减2p的整数倍电势u不变，因此有周期边界条件：2022/11/22第四章分离变量法313F满足二阶常系数492022/11/25第四章分离变量法350于是圆域内周期边界条件的本征值和本征函数为(13a)(13b)将本征值(13a)代入R满足的常微分方程中，得(14a)这是一个欧拉型二阶常微分方程，作变换r=et，即t=lnr，式(14a)简化为(见附录，下一章还将用到！)(14b)2022/11/22第四章分离变量法314于是圆域内周期边502022/11/25第四章分离变量法351Eq.(14b)是一个常系数二阶微分方程，通解为(r=et，t=lnr)代回试探解u=RF中，由Eqs.(13b)和(15)得所有本征解的叠加给出一般解:(16)(15)2022/11/22第四章分离变量法315Eq.(14b512022/11/25第四章分离变量法352Eq.(16)中的系数由边界条件u|r=a=0，u|r=-E0rcos确定，所以得(17)2022/11/22第四章分离变量法316Eq.(16)522022/11/25第四章分离变量法353比较系数得对于r>>a，rm项的贡献远大于D0ln(r/a)和诸r-m项，忽略后者的贡献，得(18)将Eq.(17)代入(16)中，得rau=ru=r－1u=lnr2022/11/22第四章分离变量法317比较系数得对于r532022/11/25第四章分离变量法354如果导体不带电，D0=0，Eq.(19)只剩后面两项。由此可证y轴方向的电势始终为零，即A1=-E0，其他系数都为零，最终得圆柱之外的静电势(19)其中第一项为电线自带电荷产生的电势；第二项为匀强静电场的电势；最后一项代表圆柱形导线对其邻近区域匀强电场的修正，当r(离电线无穷远)时，修正项可以忽略。2022/11/22第四章分离变量法318如果导体不带电，542022/11/25第四章分离变量法355此外导体A、B两点(如图)的电场强度是匀强电场的两倍，因此特别容易被击穿。讨论：对于平板电容器，如果上极板上带有半圆形突起，那么该突起处的电场强度总是无限远电场强度E0的两倍。AB为防止突起点处被击穿，高压电容器的极板必须刨得非常光滑。2022/11/22第四章分离变量法319此外导体A、B两55563)推广：周期边界条件(periodicboundarycondition)203)推广：周期边界条件(periodicbounda562022/11/25第四章分离变量法357周期边界条件的应用：固体物理、半导体物理---晶格振动；电磁场(E.M.field)理论、电动力学、量子光学，etc.ThefreeclassicalE.M.fieldSeee.g.,R.Loudon,Thequantumtheoryoflight(2thedition,ClarendonPress,Oxford,1983).2022/11/22第四章分离变量法321周期边界条件的应572022/11/25第四章分离变量法358泊松方程采用特解法求解：先不管边界条件，任取泊松方程的一个特解v，然后令u=v+w，把问题转化为求w。因为u=v=f，所以w=u-v=0，即w满足拉普拉斯方程，它的求解过程如前。2、泊松方程例1(P219).在圆域rr0内求解泊松方程的边值问题：也称为非齐次拉普拉斯方程，它描述与时间无关的稳定场问题，不适合用冲量定理法求解。2022/11/22第四章分离变量法322泊松方程采用特解582022/11/25第四章分离变量法359于是取满足泊松方程的特解为解：先找特解。注意到令问题转化为w的定解问题：2022/11/22第四章分离变量法323于是取满足泊松方592022/11/25第四章分离变量法360该定解问题的一般结论由Eq.(16)给出，即其中系数由边界条件w|r=r0给出。此外w在圆内应处处有限，而lnr和r-m在圆心处发散，所以排除在外。于是得2022/11/22第四章分离变量法324该定解问题的一般602022/11/25第四章分离变量法361代入到边界条件中，比较两边系数，得最后得，即2022/11/22第四章分离变量法325代入到边界条件中612022/11/25第四章分离变量法362作业P172

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2622022/11/25第四章分离变量法363附录A：极坐标系拉普拉斯方程从极坐标系中的柯西-黎曼方程可求出拉普拉斯(Laplace)方程的极坐标表示式(P12).解:极坐标下C-R条件为(A1)(A2)消去g(其中g=u或v),就对它求偏导,使之成为的形式.例如消掉v,Eq.(A1)左右乘然后对求偏导,得(A3)2022/11/22第四章分离变量法327附录A：极坐标系632022/11/25第四章分离变量法364接着,Eq.(A2)左右对求偏导,得到(A4)比较Eqs.(A3)和(A4),自然得到(A5