平面向量中三点共线

知识梳理(一）、对平面内任意的两个向量 a,b(b 0),a//b的充要条件是：存在唯一的实数，使a b由该定理可以得到平面内三点共线定理：(二）、三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O，存在唯一的一对实数x,yuuuvuvuuuv使得：OPxOAyOB且uuuvuvuuuvOPxOAyOB。特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0当点P在线段AB之外时，xy 0典例剖析例、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，1则14的最小值是y分析：Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线uuuruuuruuur1且x>0,y>0QAPxAByACxy14(14)1(14)(xy)1y4x45y4xxyxyxyxyxyQx>0,y>0y4x0由基本不等式可知：y4x2y4x4，取等号x0,yxyxy时y4xy24x2y2xQx0,y0y2xQxy1x1,y2，符xy33合所以1 4的最小值为9x y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、 基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功 .uuur1uuuruuuruuur2uuur例2、在△ABC中，ANNC，点P是BC上的一点，若APmAB11AC，则3实数m的值为（）A．9B.5C.3D.211111111分析：QB,P,N三点共线，又uuuruuur2uuuruuur2uuuruuur8uuur81APmABACmAB114ANmAB11ANm11113，故选C11例3、在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC于不同的两点

M、N，若

uuurAB

＝

mAM

，

AC

＝nAN

，则

m＋n的值为

．：Q因为O是BC的中点，故连接 AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：uuur1uuuruuurAO2(ABAC)uuuruuuuruuuruuurQAB＝mAM，ACnANuuur1uuuuruuurAO(mAMnAN)2uuurmuuuurnuuurAO2AM2AN又QM,O,N三点共线，图4由平面内三点共线定理可得：mn1mn222变式、直线l过YABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与ABuuur uuur的延长线交于点 M。又知AB＝mAM，AD＝nAN，则m＋n=分析：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点uuur1uuuruuuruuuruuurAO2(ABAD)QAB＝mAM，AD＝nANuuur1uuuuruuurmuuuurnuuurAO2(mAMnAN)AMAN又QM,O,N三点共线，22由平面内三点共线的向量式定理可得：mn21mn22例4、点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线．设，，证明：是定值；证明：Q因为G是VOAB的重心，分析：uuur21uuuruuur1uuuruuurOG32(OAOB)3(OAOB)uuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuur1uuurQOPxOAOAxOPQOQyOBOByOQuuur1uuuruuur11uuur1uuuruuur1uuur1uuurOG(OAOB)(xOPOQ)OGOPOQ33y3x3y又QP,G,Q三点共线，11111311为定值33x3yxyxyuuur1uuuruuur1uuur例5、如图所示,在平行四边形ABCD中，AEAB,AFAD,CE与BF相交uuurruuurruuur34_______于G点，记ABa，ADb，则AG分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。解：QE,G,C三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x使得uuuruuur(1uuur,uuur1uuur1ruuurrrAGxAEx)ACQAEABa,ACab33uuur1rrr2xrrAGxa(1x)(ab)(1)a(1x)b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①33又QF,G,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数使得uuuruuur(1uuuruuur1uuur1rAGAB)AFQAFAD4b，，4uuurr(1)1r②AGab⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯412xx6uuur3r1r由①②两式可得：3713AGab1x7747点评：本题的解法中由两组三点共线（ F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上）变式2、在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相C交于点P，且ABa，ACb，试用a、b表示APNPAMB解：QN,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数uuuruuuruuury1x,y使得APxAByAN,x,QAN﹕AC=1﹕4,AN11uuuruuuryuuurryrr1xrACbAPxABACxabxab⋯⋯44444①又QC,P,M三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 ,使得uuuruuuuruuur1∴AM1AB1a，，APAMAC,∵AM﹕AB=1﹕333uuurrr1rrAPabab⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②33x13x118由①②两式可得：31x2Qxy1,y11411uuur3r2rAPa11b11练习：1.，点在边上，，设，则 （ ）2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足uuuruuuruuury所满足的关系式为（OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x,）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.y R，则4的最小值是xy4、在平行四边形 ABCD中，O是对角线 AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接 DE交AC?于点

F。已知

AB=a,AD=b

,则OF=

（

）A．1

a+

1b

B．

1(a+b)

C．

1

(a+b)

D．

1

a+

1b3

6

4

6

6

45、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是、的中点，交AF于，记→、→分别为a、，则→＝()BCCDDEHABBCbAH24242424A．5a－5bB．5a＋5bC．－5a＋5bD．－5a－5b（2008年广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，6、uuuruuuruuurAE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF（）A．1a1bB．2a1bC．1a1bD．1a2b423324337、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记uuura，uuurb，则uuur＝