多维随机变量及其分布课件

第三章多维随机变量及其分布§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望绍兴文理学院第三章多维随机变量及其分布§3.1多维随机变量及其1§3.1

多维随机变量及其联合分布一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标3.3.1多维随机变量

定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n

维随机变量(随机向量).绍兴文理学院§3.1多维随机变量及其联合分布一维随机变量X——R1上2第三章知识框架图作为整体：联合分布函数离散型：联合分布列连续型：联合密度函数作为个体：边际分布函数离散型：边际分布列连续型：边际密度函数相互关系X,Y是否独立？X,Y是否相关？数字特征：协方差、相关系数，等条件分布二维随机变量(X,Y)绍兴文理学院第三章知识框架图作为整体：联合分布函数离散型：联合分布列连续3

定义3.1.2

3.1.2

联合分布函数F(x,y)=P(X

x,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.

任对实数x和y,称二元函数注意：F(x,y)为随机点(X,Y)落在点(x,y)的左下区域内的概率.绍兴文理学院定义3.1.23.1.2联合分布函数F(x,4xyO(x,y)绍兴文理学院xyO(x,y)绍兴文理学院5联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调不减.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当a<b,c<d时，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(a<Xb,c<Yd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)绍兴文理学院联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和6反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为（1)求常数A，B，C；（2)求P{X≤2,0<Y≤3}绍兴文理学院反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都例1已7例2设二元函数问G(x,y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数？绍兴文理学院例2设二元函数问G(x,y)能否作为某二维随机变量的联合8

二维离散随机变量

3.1.3联合分布列若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.绍兴文理学院二维离散随机变量3.1.3联合分布列若(X,Y9二维离散分布的联合分布列称pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………绍兴文理学院二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=y10联合分布列的基本性质(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非负性)(正则性)绍兴文理学院联合分布列的基本性质(1)pij0,i,11例3

设随机变量Y~N(0,1),

求

的联合分布列.例4

从1，2，3，4中任取一个数记为X，再从1，…,X中任选一个数记为Y.（1）求(X,Y)的联合分布列，（2）求P(X>2,Y≤3),(3)求F(2.5,2).绍兴文理学院例3设随机变量Y~N(0,1),求的联合分12例5

一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0<p<1),射击直到击中目标两次为止。记X表示首次击中目标的射击次数，Y表示总共进行的射击次数。求X和Y的联合分布列。

练习：设100件产品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。从中任取5件，X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，试求(X,Y）的联合分布列.绍兴文理学院例5一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0<p133.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)

为联合密度函数。几何意义：F(x,y)表示以区域（-∞，x]

×(-∞,y]为底以f(x,y)为曲顶的空间立体的体积.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数

p(x,y)，使得绍兴文理学院3.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型14联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)

0.

(非负性)

(2)

(正则性)注意：若f(x,y)在点(x,y)

处连续，则有绍兴文理学院联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.15例6

设(X,Y)的联合概率密度为求（1）；（2）P{X+Y<1}.绍兴文理学院例6设(X,Y)的联合概率密度为求（1）；（2）P{16求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）例7设(X,Y)的联合分布函数为绍兴文理学院求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；例7设17一、多项分布3.1.5常用多维分布

若每次试验有r种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r记Xi为n次独立重复试验中Ai

出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：例8P150第1题.绍兴文理学院一、多项分布3.1.5常用多维分布若每次试验有18二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i种球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：绍兴文理学院二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只19三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从D上的二维均匀分布，记为(X,Y)

U(D).其中SD为D的面积.例9P148例3.1.6绍兴文理学院三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度20四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)

服从二维正态分布，记为(X,Y)

N(

).绍兴文理学院四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度21绍兴文理学院绍兴文理学院22五、二维指数分布例10见P144例3.1.3求（1）A；（2）P{X>Y}；（3）联合分布函数F(x,y);(4)F(1/2,1/3).设(X,Y)～作业：习题3.1第2、3、6、8、9、11、13、15题绍兴文理学院五、二维指数分布例10见P144例3.1.3求（1）A；23选作题已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.绍兴文理学院选作题已知随机变量(X,Y)在D上服从均24§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？绍兴文理学院§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量253.2.1边际分布函数已知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),绍兴文理学院3.2.1边际分布函数已知(X,Y)的联合分布函26例1

已知(X,Y)的联合分布函数为

求FX(x)与FY(y).该分布称为二维指数分布.此例说明什么问题？绍兴文理学院例1已知(X,Y)的联合分布函数为求FX(x)与FY(273.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则

X的边际分布列为：

Y的边际分布列为：

绍兴文理学院3.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为28XY练习：P159第1题绍兴文理学院XY练习：P159第1题绍兴文理学院293.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则

X的边际密度函数为：

Y的边际密度函数为：

绍兴文理学院3.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度30例2

P147例3.2.3（X,Y)的联合概率密度为（1)求关于X,Y的边际概率密度；（2）求P(X+Y<1).绍兴文理学院例2P147例3.2.3（X,Y)的联合概率密度为（131例3P160第3题

设(X,Y)服从区域

D={(x,y),x2+y2<1}上的均匀分布，求X，Y的边际密度函数.xy-11二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.绍兴文理学院例3P160第3题设(X,Y)服从区域xy-1132注意点二维正态分布的边际分布是一维正态：

若(X,Y)

N(

)，

则X

N(

)，

Y

N(

).绍兴文理学院注意点二维正态分布的边际分布是一维正态：则X33请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答绍兴文理学院请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其34因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.显然，(X,Y)不是二维正态分布，但是绍兴文理学院因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正353.2.4

随机变量间的独立性若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pi.p.jiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称X

与Y

是相互独立的.绍兴文理学院3.2.4随机变量间的独立性若满足以下之一:绍兴文理学院36性质任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y是相互独立的，则它们的函数g(X)与h(Y)也是相互独立的.(1)

X

与Y是独立的，其本质是：绍兴文理学院性质任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y37例4设(X,Y)的联合分布列为:X01Y01

0.30.40.20.1问：X与Y是否独立？看书中P157

例3.2.6练习：P160第10题绍兴文理学院例4设(X,Y)的联合分布列为:XY038例5已知(X,Y)的联合密度为

问X与Y是否相互独立？定理

若联合密度p(x,y)可分离变量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

则X与Y相互独立。练习：习题3.2第14题绍兴文理学院例5已知(X,Y)的联合密度为问X与Y是否39注意

(1)

(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.

(2)

(X,Y)服从其他区域上的均匀分布，则X与Y不独立.

(3)若(X,Y)服从二元正态N(

)则X与Y独立的充要条件是=0.绍兴文理学院注意(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分40作业：习题3.2第4、5、12、13题绍兴文理学院作业：绍兴文理学院41§3.3多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？绍兴文理学院§3.3多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量423.3.1多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机变量函数的分布列容易求得：

i)对(X1,X2,…,Xn)的各种可能取值对，写出Z相应的取值.

ii)对Z的相同取值，合并其对应的概率.(1)设(X1,X2,…,Xn)是n维离散随机变量，则Z=g(X1,…,Xn)是一维离散随机变量.绍兴文理学院3.3.1多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机43

求Z＝X＋Y的分布列;(2)求W＝XY的分布列;(3)求M＝max(X,Y)的分布列；(4)求N＝min(X,Y)的分布列.012－10.30.20.100.20.10.1例1设(X,Y)的联合分布列为绍兴文理学院求Z＝X＋Y的分布列;012－10.30.44离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的分布列为绍兴文理学院离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，绍兴文45例2（泊松分布的可加性）

设X~P(1),Y~P(2),且X与Y相互独立，求证：Z=X+Y~P(1

+2).注意：

X

Y不服从泊松分布.绍兴文理学院例2（泊松分布的可加性）注意：XY不服从泊松46二项分布的可加性若Xb(n,p)，Y

b(m,p)，注意：若Xi

b(1,p)，i=1,2,…,n且相互独立，则Z=X1+

X2+……+Xn

b(n,p).且独立，则Z=X+

Yb(n+m,p).绍兴文理学院二项分布的可加性若Xb(n,p)，Yb(m473.3.2最大值与最小值的分布例3

设X与Y独立，且X,Y等可能地取值-1和1.（1）求Z=max(X,Y)的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?绍兴文理学院3.3.2最大值与最小值的分布例3设X与Y48连续情况Y=max

(X1,X2,…,Xn),Z=min

(X1,X2,…,Xn)则Y的分布函数为:FY

(y)=[F(y)]n

Z的分布函数为:FZ(z)=1[1

F(z)]n

设X1,X2,……Xn,

独立同分布，其分布函数均为F(x).若记绍兴文理学院连续情况Y=max(X1,X2,…,Xn),Z49例4见P173第3题

设一设备有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间均服从参数为λ的指数分布。当3个元件都正常工作时，设备才正常工作。求设备正常工作时间T的概率分布。自学P166例3.3.6

练习:习题3.3第5题设P(X≥0,Y≥

0)=3/7,P(X≥

0)=P(Y≥

0)=4/7,求P(max(X,Y)≥

0).绍兴文理学院例4见P173第3题自学P166例3.3.6练习:503.3.3连续场合的卷积公式定理3.3.1

设连续随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的密度函数为绍兴文理学院3.3.3连续场合的卷积公式定理3.3.1设51正态分布的可加性例5

设X与Y是独立同分布的标准正态变量，求Z=X+

Y的分布.且独立，若XN(

)，Y

N(

)，则Z=X+YN().推广为绍兴文理学院正态分布的可加性例5设X与Y是独立同分布的标准正态变量52独立正态变量的线性组合仍为正态变量若Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

间相互独立,实数a1,a2,...,an

不全为零,则绍兴文理学院独立正态变量的线性组合仍为正态变量若Xi~N(i,53例6

见P172第9题设X与Y相互独立，试求Z=X+Y的密度函数.（1）X～U(0,1),Y～U(0,1).（2）X～U(0,1),Y～Exp(1).

总结：哪些分布具有可加性？重要结论：N个独立同分布的标准正态分布之和，服从自由度为n的卡方分布。绍兴文理学院例6见P172第9题总结：哪些分布具有可加性？绍兴文理543.3.4变量变换法已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数求(U,V)的联合分布.绍兴文理学院3.3.4变量变换法已知(X,Y)的分布，(X55变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)的联合密度为若其中J为变换的雅可比行列式绍兴文理学院变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)56例7习题3.3第16题设X,Y独立且均服从参数为1的指数分布，(1)求U=X+Y,V=X/(X+Y)的联合密度函数；(2)问U,V相互独立吗？看书中P170例3.3.10延伸思考题：P173例17题绍兴文理学院例7习题3.3第16题看书中P170例3.3.10延伸57增补变量法可增补一个变量V=h(X,Y)，若要求U=g

(X,Y)的密度pU(u)，先用变量变换法求出(U,V)的联合密度pUV(u,v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度pUV(u,v)，去求出边际密度pU(u)绍兴文理学院增补变量法可增补一个变量V=h(X,Y)，若要求U58分布函数法例9设X,Y相互独立，且均服从N(0,1),求证：Z=(X2+Y2)1/2服从参数为1的瑞利分布.作业：习题3.3第7、9、19题综合思考题：用两种方法解答习题3.3第14题设矩形的边长X,Y相互独立，且分别服从(0,2),(0,1)区间上的均匀分布，求矩形面积Z的密度函数.绍兴文理学院分布函数法例9设X,Y相互独立，且均服从N(0,1),求证593.4.1多维随机变量函数的数学期望定理3.4.1

设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=§3.4多维随机变量的特征数绍兴文理学院3.4.1多维随机变量函数的数学期望定理3.4.160例1在长为a的线段上任取两点X与Y，求两点间的平均长度.特别地例2设X1,X2独立同分布，且均服从Exp(λ)，用两种方法求Y=max(X1,X2)的数学期望.绍兴文理学院例1在长为a的线段上任取两点X与Y，特别地61例3

P190第15题设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从U(0,ө)，(1)求Y=max(X1,…,Xn)的数学期望;(2)求Z=min(X1,…,Xn)的数学期望.思考：P190第6题（离散型）绍兴文理学院例3P190第15题设X1,X2,…,Xn相互独立，且623.4.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),3.当X与Y独立时，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)4.当X与Y独立时,有Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)若X1,X2,…,Xn相互独立，则绍兴文理学院3.4.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=63技巧总结：将复杂的随机变量X分解成若干个随机变量之和，再求E(X).例4P191第25题在一个有n个人参加的晚会上，每人带来一件礼物，且假定各不相同.晚会期间各从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X的期望.自主学习：书中P177例3.4.4；推导二项分布的期望和方差绍兴文理学院技巧总结：将复杂的随机变量X分解成若干个随机变量之和，再求E641.设随机变量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X,Y独立,则E(X-2Y+3)=?Var(X-2Y+3)=?

练习题2.设X,Y,Z相互独立，且E(X)=4,E(Y)=1,

E(Z)=-0.5,则E[(2X-3Y)(4Z+1)]=?作业习题3.4第2、11、12题绍兴文理学院1.设随机变量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X653.4.3

协方差定义3.4.1称Cov(X,Y)=E[(XE(X))][(YE(Y))]为X与Y的协方差.简化公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).Cov(X,Y)=0,称X与Y不相关.绍兴文理学院3.4.3协方差定义3.4.1称Cov(X,66(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,X)=Var(X);Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)协方差的性质绍兴文理学院(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)协方差的性67(5)Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdVar(Y)若X,Y独立，则Cov(X,Y)=0,即X,Y不相关.一般情况下，此时有绍兴文理学院(5)Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+68例5设随机变量Xb(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差.例6P191第27题设(X,Y)的联合密度如下，求协方差.自学书中P180例3.4.8绍兴文理学院例5设随机变量Xb(12,0.5),YN(0,1),例69配对模型的数学期望和方差

n个人、n件礼物，任意取.

X为拿对自己礼物的人数，求E(X),Var(X).

绍兴文理学院配对模型的数学期望和方差n个人、n件礼物，任意取703.4.4

相关系数定义3.4.2

称Corr(X,Y)=为X与Y的相关系数.绍兴文理学院3.4.4相关系数定义3.4.2称为X71若记注意点则绍兴文理学院若记注意点则绍兴文理学院72相关系数的性质(2)1Corr(X,Y)1.

(3)Corr(X,Y)=1X与Y几乎处处有线性关系.即存在a≠0,b使得P(Y=aX+b)=1.(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).

绍兴文理学院相关系数的性质(2)1Corr(X,Y)73注意点

Corr(X,Y)接近于1，X与Y间正相关.

Corr(X,Y)接近于1，X与Y间负相关.

Corr(X,Y)接近于0，X与Y间不相关.没有线性关系Corr(X,Y)的大小反映了X与Y之间的线性关系：绍兴文理学院注意点Corr(X,Y)接近于1，X与Y间74例7

设

(X,Y)的联合分布列为X101Y

1011/81/81/81/801/81/81/81/8

（1）求X,Y的相关系数.（2）判断X,Y的独立性与相关性.此例说明什么问题？绍兴文理学院例7设(X,Y)的联合分布列为XY175例8

设（X,Y）服从单位圆内的均匀分布，问X与Y是否独立?是否相关？例9

见P192第31题此例说明什么问题？绍兴文理学院例8设（X,Y）服从单位圆内的均匀分布，问X与Y是否76(1)不相关与相互独立的关系注意相互独立不相关(2)不相关的充要条件绍兴文理学院(1)不相关与相互独立的关系注意相互独立不相关(2)不相77

二维正态分布的特征数(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y独立

=0X,Y不相关(2)参数恰为X和Y的相关系数(例3.4.9);设则例9（续）

P192第31题，求证：当a=b时，Y,Z相互独立.绍兴文理学院二维正态分布的特征数(1)X~N(1,1278作业习题3.4第32、35、41练习设随机变量(X,Y)~N(-1,2,4,9,0),则2X-3Y服从什么分布？绍兴文理学院作业练习设随机变量(X,Y)~N(-1,2,4,9,0791.问题的提出自主学习：相关系数的意义绍兴文理学院1.问题的提出自主学习：相关系数的意义绍兴文理学院80解得绍兴文理学院解得绍兴文理学院812.相关系数的意义代入得绍兴文理学院2.相关系数的意义代入得绍兴文理学院82§3.5条件分布与条件期望对二维随机变量(X,Y),在给定Y取某个值的条件下,X的分布;在给定X取某个值的条件下,Y的分布.绍兴文理学院§3.5条件分布与条件期望对二维随机变量(X,Y),83一.离散情形条件分布列为：3.5.1条件分布绍兴文理学院一.离散情形条件分布列为：3.5.1条件分布绍84看P194例3.5.1例1

P205第1题以X记某医院一天内诞生婴儿的个数，以Y记其中男婴的个数.设X,Y的联合分布列为求条件分布列P(Y=m|X=n).绍兴文理学院看P194例3.5.1例1P205第1题以X记某医院一85看P195例3.5.2例2

某时间段内进入商店的人数X~P(λ),每个顾客购买某种物品的概率为p,并且各个顾客是否购买该物品相互独立.求进入商店的顾客中购买该物品的人数Y的分布列.绍兴文理学院看P195例3.5.2例2某时间段内进入商店的人数X~86二.连续情形条件密度函数为：绍兴文理学院二.连续情形条件密度函数为：绍兴文理学院87例3

P198例3.5.5设（X,Y）服从单位圆上的均匀分布，试求给定Y=y条件下的条件密度函数p(x|y).绍兴文理学院例3P198例3.5.5设（X,Y）服从单位圆上的均匀分88例4

P206第7题设（X,Y）的联合密度函数为求条件概率P(Y≥0.75|X=0.5).绍兴文理学院例4P206第7题设（X,Y）的联合密度函数为求条件概率89补充内容1：协方差矩阵绍兴文理学院补充内容1：协方差矩阵绍兴文理学院90协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究.绍兴文理学院协方差矩阵的应用协方差矩阵可用来表示多维随机变量的概率密度，91举例绍兴文理学院举例绍兴文理学院92补充内容2：n维正态变量的性质绍兴文理学院补充内容2：n维正态变量的性质绍兴文理学院93线性变换不变性绍兴文理学院线性变换不变性绍兴文理学院94三.连续场合的全概率公式与贝叶斯公式绍兴文理学院三.连续场合的全概率公式与贝叶斯公式绍兴文理学院95说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布边缘分布条件分布联合分布例5绍兴文理学院说明联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下联合分布边缘分布条96四.条件期望绍兴文理学院四.条件期望绍兴文理学院97例6设随机变量(X,Y)的联合密度函数为在0<y<1时，求E(X|Y=y).绍兴文理学院例6设随机变量(X,Y)的联合密度函数为在0<y<1时，求98五.重期望公式在E(X)不便于直接求的时候，有例7设可以供应的电力X～U(10,30),实际需要的电力Y～U(10,20),利润为求平均利润E(Z).将此例题与P83例2.2.7行比较.绍兴文理学院五.重期望公式在E(X)不便于直接求的时候，有例7设可以99作业习题3.5第3、6、8、12题绍兴文理学院作业绍兴文理学院100第三章多维随机变量及其分布§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望绍兴文理学院第三章多维随机变量及其分布§3.1多维随机变量及其101§3.1

多维随机变量及其联合分布一维随机变量X——R1上的随机点坐标二维随机变量(X,Y)——R2上的随机点坐标n维随机变量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的随机点坐标3.3.1多维随机变量

定义3.1.1若X,Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X,Y)是二维随机变量.同理可定义n

维随机变量(随机向量).绍兴文理学院§3.1多维随机变量及其联合分布一维随机变量X——R1上102第三章知识框架图作为整体：联合分布函数离散型：联合分布列连续型：联合密度函数作为个体：边际分布函数离散型：边际分布列连续型：边际密度函数相互关系X,Y是否独立？X,Y是否相关？数字特征：协方差、相关系数，等条件分布二维随机变量(X,Y)绍兴文理学院第三章知识框架图作为整体：联合分布函数离散型：联合分布列连续103

定义3.1.2

3.1.2

联合分布函数F(x,y)=P(X

x,Yy)为(X,Y)的联合分布函数.

任对实数x和y,称二元函数注意：F(x,y)为随机点(X,Y)落在点(x,y)的左下区域内的概率.绍兴文理学院定义3.1.23.1.2联合分布函数F(x,104xyO(x,y)绍兴文理学院xyO(x,y)绍兴文理学院105联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和y分别单调不减.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于x和y分别右连续.(4)当a<b,c<d时，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(a<Xb,c<Yd).(单调性)(有界性)(右连续性)(非负性)绍兴文理学院联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于x和106反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。例1已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为（1)求常数A，B，C；（2)求P{X≤2,0<Y≤3}绍兴文理学院反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都例1已107例2设二元函数问G(x,y)能否作为某二维随机变量的联合分布函数？绍兴文理学院例2设二元函数问G(x,y)能否作为某二维随机变量的联合108

二维离散随机变量

3.1.3联合分布列若(X,Y)的可能取值为有限对、或可列对，则称(X,Y)为二维离散随机变量.绍兴文理学院二维离散随机变量3.1.3联合分布列若(X,Y109二维离散分布的联合分布列称pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,为(X,Y)的联合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………绍兴文理学院二维离散分布的联合分布列称pij=P(X=xi,Y=y110联合分布列的基本性质(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非负性)(正则性)绍兴文理学院联合分布列的基本性质(1)pij0,i,111例3

设随机变量Y~N(0,1),

求

的联合分布列.例4

从1，2，3，4中任取一个数记为X，再从1，…,X中任选一个数记为Y.（1）求(X,Y)的联合分布列，（2）求P(X>2,Y≤3),(3)求F(2.5,2).绍兴文理学院例3设随机变量Y~N(0,1),求的联合分112例5

一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0<p<1),射击直到击中目标两次为止。记X表示首次击中目标的射击次数，Y表示总共进行的射击次数。求X和Y的联合分布列。

练习：设100件产品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。从中任取5件，X,Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，试求(X,Y）的联合分布列.绍兴文理学院例5一射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0<p1133.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型随机变量。称p(x,y)

为联合密度函数。几何意义：F(x,y)表示以区域（-∞，x]

×(-∞,y]为底以f(x,y)为曲顶的空间立体的体积.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数

p(x,y)，使得绍兴文理学院3.1.4联合密度函数则称(X,Y)为二维连续型114联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)

0.

(非负性)

(2)

(正则性)注意：若f(x,y)在点(x,y)

处连续，则有绍兴文理学院联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.115例6

设(X,Y)的联合概率密度为求（1）；（2）P{X+Y<1}.绍兴文理学院例6设(X,Y)的联合概率密度为求（1）；（2）P{116求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）例7设(X,Y)的联合分布函数为绍兴文理学院求：（1）(X,Y)的联合概率密度函数；例7设117一、多项分布3.1.5常用多维分布

若每次试验有r种结果：A1,A2,……,Ar记P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r记Xi为n次独立重复试验中Ai

出现的次数.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：例8P150第1题.绍兴文理学院一、多项分布3.1.5常用多维分布若每次试验有118二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只球中，第i种球的只数.口袋中有N只球，分成r类。第i种球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.则(X1,X2,……,Xr)的联合分布列为：绍兴文理学院二、多维超几何分布从中任取n只，记Xi为取出的n只119三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)服从D上的二维均匀分布，记为(X,Y)

U(D).其中SD为D的面积.例9P148例3.1.6绍兴文理学院三、二维均匀分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度120四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度为：则称(X,Y)

服从二维正态分布，记为(X,Y)

N(

).绍兴文理学院四、二维正态分布若二维连续随机变量(X,Y)的联合密度121绍兴文理学院绍兴文理学院122五、二维指数分布例10见P144例3.1.3求（1）A；（2）P{X>Y}；（3）联合分布函数F(x,y);(4)F(1/2,1/3).设(X,Y)～作业：习题3.1第2、3、6、8、9、11、13、15题绍兴文理学院五、二维指数分布例10见P144例3.1.3求（1）A；123选作题已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.绍兴文理学院选作题已知随机变量(X,Y)在D上服从均124§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？绍兴文理学院§3.2边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量1253.2.1边际分布函数已知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),绍兴文理学院3.2.1边际分布函数已知(X,Y)的联合分布函126例1

已知(X,Y)的联合分布函数为

求FX(x)与FY(y).该分布称为二维指数分布.此例说明什么问题？绍兴文理学院例1已知(X,Y)的联合分布函数为求FX(x)与FY(1273.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则

X的边际分布列为：

Y的边际分布列为：

绍兴文理学院3.2.2边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为128XY练习：P159第1题绍兴文理学院XY练习：P159第1题绍兴文理学院1293.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则

X的边际密度函数为：

Y的边际密度函数为：

绍兴文理学院3.2.3边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度130例2

P147例3.2.3（X,Y)的联合概率密度为（1)求关于X,Y的边际概率密度；（2）求P(X+Y<1).绍兴文理学院例2P147例3.2.3（X,Y)的联合概率密度为（1131例3P160第3题

设(X,Y)服从区域

D={(x,y),x2+y2<1}上的均匀分布，求X，Y的边际密度函数.xy-11二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.绍兴文理学院例3P160第3题设(X,Y)服从区域xy-11132注意点二维正态分布的边际分布是一维正态：

若(X,Y)

N(

)，

则X

N(

)，

Y

N(

).绍兴文理学院注意点二维正态分布的边际分布是一维正态：则X133请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布一定是二维正态分布吗?不一定.举一反例以示证明.答绍兴文理学院请同学们思考边缘分布均为正态分布的随机变量,其134因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.显然，(X,Y)不是二维正态分布，但是绍兴文理学院因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正1353.2.4

随机变量间的独立性若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pi.p.jiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)则称X

与Y

是相互独立的.绍兴文理学院3.2.4随机变量间的独立性若满足以下之一:绍兴文理学院136性质任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y是相互独立的，则它们的函数g(X)与h(Y)也是相互独立的.(1)

X

与Y是独立的，其本质是：绍兴文理学院性质任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y137例4设(X,Y)的联合分布列为:X01Y01

0.30.40.20.1问：X与Y是否独立？看书中P157

例3.2.6练习：P160第10题绍兴文理学院例4设(X,Y)的联合分布列为:XY0138例5已知(X,Y)的联合密度为

问X与Y是否相互独立？定理

若联合密度p(x,y)可分离变量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

则X与Y相互独立。练习：习题3.2第14题绍兴文理学院例5已知(X,Y)的联合密度为问X与Y是否139注意

(1)

(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.

(2)

(X,Y)服从其他区域上的均匀分布，则X与Y不独立.

(3)若(X,Y)服从二元正态N(

)则X与Y独立的充要条件是=0.绍兴文理学院注意(1)(X,Y)服从矩形上的均匀分140作业：习题3.2第4、5、12、13题绍兴文理学院作业：绍兴文理学院141§3.3多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？绍兴文理学院§3.3多维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量1423.3.1多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机变量函数的分布列容易求得：

i)对(X1,X2,…,Xn)的各种可能取值对，写出Z相应的取值.

ii)对Z的相同取值，合并其对应的概率.(1)设(X1,X2,…,Xn)是n维离散随机变量，则Z=g(X1,…,Xn)是一维离散随机变量.绍兴文理学院3.3.1多维离散随机变量函数的分布(2)多维离散随机143

求Z＝X＋Y的分布列;(2)求W＝XY的分布列;(3)求M＝max(X,Y)的分布列；(4)求N＝min(X,Y)的分布列.012－10.30.20.100.20.10.1例1设(X,Y)的联合分布列为绍兴文理学院求Z＝X＋Y的分布列;012－10.30.144离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的分布列为绍兴文理学院离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，绍兴文145例2（泊松分布的可加性）

设X~P(1),Y~P(2),且X与Y相互独立，求证：Z=X+Y~P(1

+2).注意：

X

Y不服从泊松分布.绍兴文理学院例2（泊松分布的可加性）注意：XY不服从泊松146二项分布的可加性若Xb(n,p)，Y

b(m,p)，注意：若Xi

b(1,p)，i=1,2,…,n且相互独立，则Z=X1+

X2+……+Xn

b(n,p).且独立，则Z=X+

Yb(n+m,p).绍兴文理学院二项分布的可加性若Xb(n,p)，Yb(m1473.3.2最大值与最小值的分布例3

设X与Y独立，且X,Y等可能地取值-1和1.（1）求Z=max(X,Y)的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?绍兴文理学院3.3.2最大值与最小值的分布例3设X与Y148连续情况Y=max

(X1,X2,…,Xn),Z=min

(X1,X2,…,Xn)则Y的分布函数为:FY

(y)=[F(y)]n

Z的分布函数为:FZ(z)=1[1

F(z)]n

设X1,X2,……Xn,

独立同分布，其分布函数均为F(x).若记绍兴文理学院连续情况Y=max(X1,X2,…,Xn),Z149例4见P173第3题

设一设备有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间均服从参数为λ的指数分布。当3个元件都正常工作时，设备才正常工作。求设备正常工作时间T的概率分布。自学P166例3.3.6

练习:习题3.3第5题设P(X≥0,Y≥

0)=3/7,P(X≥

0)=P(Y≥

0)=4/7,求P(max(X,Y)≥

0).绍兴文理学院例4见P173第3题自学P166例3.3.6练习:1503.3.3连续场合的卷积公式定理3.3.1

设连续随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的密度函数为绍兴文理学院3.3.3连续场合的卷积公式定理3.3.1设151正态分布的可加性例5

设X与Y是独立同分布的标准正态变量，求Z=X+

Y的分布.且独立，若XN(

)，Y

N(

)，则Z=X+YN().推广为绍兴文理学院正态分布的可加性例5设X与Y是独立同分布的标准正态变量152独立正态变量的线性组合仍为正态变量若Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

间相互独立,实数a1,a2,...,an

不全为零,则绍兴文理学院独立正态变量的线性组合仍为正态变量若Xi~N(i,153例6

见P172第9题设X与Y相互独立，试求Z=X+Y的密度函数.（1）X～U(0,1),Y～U(0,1).（2）X～U(0,1),Y～Exp(1).

总结：哪些分布具有可加性？重要结论：N个独立同分布的标准正态分布之和，服从自由度为n的卡方分布。绍兴文理学院例6见P172第9题总结：哪些分布具有可加性？绍兴文理1543.3.4变量变换法已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函数求(U,V)的联合分布.绍兴文理学院3.3.4变量变换法已知(X,Y)的分布，(X155变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)的联合密度为若其中J为变换的雅可比行列式绍兴文理学院变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)156例7习题3.3第16题设X,Y独立且均服从参数为1的指数分布，(1)求U=X+Y,V=X/(X+Y)的联合密度函数；(2)问U,V相互独立吗？看书中P170例3.3.10延伸思考题：P173例17题绍兴文理学院例7习题3.3第16题看书中P170例3.3.10延伸157增补变量法可增补一个变量V=h(X,Y)，若要求U=g

(X,Y)的密度pU(u)，先用变量变换法求出(U,V)的联合密度pUV(u,v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度pUV(u,v)，去求出边际密度pU(u)绍兴文理学院增补变量法可增补一个变量V=h(X,Y)，若要求U158分布函数法例9设X,Y相互独立，且均服从N(0,1),求证：Z=(X2+Y2)1/2服从参数为1的瑞利分布.作业：习题3.3第7、9、19题综合思考题：用两种方法解答习题3.3第14题设矩形的边长X,Y相互独立，且分别服从(0,2),(0,1)区间上的均匀分布，求矩形面积Z的密度函数.绍兴文理学院分布函数法例9设X,Y相互独立，且均服从N(0,1),求证1593.4.1多维随机变量函数的数学期望定理3.4.1

设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=§3.4多维随机变量的特征数绍兴文理学院3.4.1多维随机变量函数的数学期望定理3.4.1160例1在长为a的线段上任取两点X与Y，求两点间的平均长度.特别地例2设X1,X2独立同分布，且均服从Exp(λ)，用两种方法求Y=max(X1,X2)的数学期望.绍兴文理学院例1在长为a的线段上任取两点X与Y，特别地161例3

P190第15题设X1,X2,…,Xn相互独立，且均服从U(0,ө)，(1)求Y=max(X1,…,Xn)的数学期望;(2)求Z=min(X1,…,Xn)的数学期望.思考：P190第6题（离散型）绍兴文理学院例3P190第15题设X1,X2,…,Xn相互独立，且1623.4.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),3.当X与Y独立时，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)4.当X与Y独立时,有Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)若X1,X2,…,Xn相互独立，则绍兴文理学院3.4.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=163技巧总结：将复杂的随机变量X分解成若干个随机变量之和，再求E(X).例4P191第25题在一个有n个人参加的晚会上，每人带来一件礼物，且假定各不相同.晚会期间各从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，试求抽中自己礼品的人数X的期望.自主学习：书中P177例3.4.4；推导二项分布的期望和方差绍兴文理学院技巧总结：将复杂的随机变量X分解成若干个随机变量之和，再求E1641.设随机变量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X,Y独立,则E(X-2Y+3)=?Var(X-2Y+3)=?

练习题2.设X,Y,Z相互独立，且E(X)=4,E(Y)=1,

E(Z)=-0.5,