热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布课件

统计物理热现象的微观统计理论统计物理热现象的微观统计理论1基本观点:①宏观物体是由大量微观粒子组成的。②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体体现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。统计物理的基本观点和方法方法:深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。基本观点:统计物理的基本观点和方法方法:2建立统计物理要解决以下三个问题：如何求出热力学量的统计表达式（七、八两章）。如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前3节）。建立统计物理要解决以下三个问题：如何求出热力学量的统计表达式3主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述等概率原理及微观状态分布玻耳兹曼统计玻色统计与费米统计主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述4第六章近独立粒子的最概然分布粒子间有相互作用，但可忽略不计第六章粒子间有相互作用，但可忽略不计5系统微观状态的经典描述和量子描述等概率原理三种微观状态分布（波耳兹曼分布、波色分布、费米分布）及相互关系主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述主要内容6§6.1粒子运动状态的经典描述一、广义动量和广义坐标具有r个自由度的粒子具有广义坐标：广义动量：能量：粒子运动状态：广义坐标和广义动量的一组确定值粒子的运动状态指粒子力学运动状态粒子遵守经典力学规粒子遵守量子力学规经典描述量子描述§6.1粒子运动状态的经典描述一、广义动量和广义坐标具7两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中至少一个元不同。如与的第i个广义坐标不同，故表示两个不同的运动状态。μ空间（粒子相空间）：共2r个变量，构成一个2r维的抽象空间，成为μ空间（相空间）。粒子运动状态可用μ空间中的一个“点”进行描述。相点：运动状态相轨道：运动状态的变化相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中与的第i个广81、自由粒子三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标三个动量能量运动状态粒子相空间：6维，3维坐标空间，3维动量空间。二、常见粒子微观运动状态描述实例1、自由粒子三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标三个动量能量9如在一维空间自由粒子运动状态在边长L的线段上。

随时间推移，代表点划出轨迹。代表点另一个代表点。等能面（线）：相空间中具有相同能量的代表点连成的面（线）。：表明轨迹划出来的直线。如在一维空间自由粒子运动状态在边长L的线段上。随时间推102、一维线性谐振子运动状态二维的相空间等能线：的椭圆。椭圆面积半长轴半短轴两个椭圆面积差2、一维线性谐振子运动状态二维的相空间等能线：的椭圆。椭圆面11引入与θ，φ共轭的广义动量四维粒子相空间中质点坐标：（x,y,z）动能：如果用球极坐标r，θ，φ描述质点位置：动能：转动惯量3、转子（双原子分子的转动）引入与θ，φ共轭的广义动量四维粒子相空间中质点坐标：（x,12“量子”概念量子：在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的单位跳跃式进行的，而不是连续的。一个物理量如果有最小的单元而不可连续的分割，我们就说这个物理量是量子化的，并把最小的单元称为量子。量子一词来自拉丁语，原意为“多少”，代表“相当数量的某事”，是一个不可分割的基本个体。例如，一个“光的量子”是光的单位。其基本概念是物质性质也许是“可量子化的”。“量子化”指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。例如，一定状态下的原子中，电子的能量是可量子化的。这能决定原子的稳定和一般问题。“量子”概念量子：在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的单13§6.2粒子运动状态的量子描述一、波粒二象性微观粒子既具有粒子性质，又具有波动性质。德布罗意关系：联系粒子的波动性与粒子性。不确定关系：不可能同时精确测量粒子的位置和动量。二、量子态不确定关系使粒子运动状态的经典描述是不精确的。德布罗意波ħ与h为普朗克常量，量子物理的基本常量。§6.2粒子运动状态的量子描述一、波粒二象性微观粒子既具14在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。量子态由一组量子数表征，每组量子数的数目等于粒子的自由度数目。三、举例1、自旋状态粒子质量m，电荷–e，自旋角动量。（量子化的）自旋磁矩：两个量子态，一个量子数量子态中粒子的占据几率用波函数描述。表示t时刻x,y,z处在dxdydz内发现粒子的几率。在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。量子态由一组量子数152、线性谐振子一个量子数n。3、自由粒子一维情况，粒子在长L的区间。视粒子为波。它在区间L内应形成驻波。波长波矢一个量子数2、线性谐振子一个量子数n。3、自由粒子一维情况，粒子在长16三维情况能级三维情况能级17简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。能级的简并度六简并度十二简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。能级的简并度六简并度18相邻动量的差是很小的量在恒定大小的容积中，粒子相邻动量差可以看作零，可以认为能量动量连续变化(准连续）。在动量间隔中的量子态数为同理，，和中的量子态数为相邻动量的差是很小的量在恒定大小的容积中，粒子19理解：由测不准关系，对一维粒子，最精确。若用q.p描述运动状态，即代表点的位置时，则μ空间内h大小的相体积内只能有一个运动状态。否则违反测不准关系，对于三维自由粒子，h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r个自由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相体积之dw内的量了态数为理解：20，中的量子态数，与动量的方向无关，积分之，中量子态数球极坐标系变换态密度，中的量子态数，与动量的方向无关，积分之，21粒子相空间（μ空间）粒子经典运动状态“代表点”在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。粒子量子运动状态量子态由一组量子数表征。简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。，中量子态数粒子相空间（μ空间）粒子经典运动状态“代表点”在量子力学中，22量子描述与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，ħ是很小的量，量子描述趋近于经典描述。由于不确定关系，。即在体积元h

内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是相同的！以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为。量子描述与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，ħ是很小的23即，一个量子态对应粒子相空间一个

h

大小的体积元。则相空间体积中量子态数为三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元。即，一个量子态对应粒子相空间一个h大小的体积元。则相空间24§6.3系统微观运动状态的描述一、全同和近独立粒子的宏观系统全同粒子具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的微观粒子氢气、氧气、纯水、纯铁等等。空气、合金等不是全同粒子系统。近独立粒子粒子之间的相互作用可以忽略不计。（有微弱相互作用，以保证系统可从非平衡态到达平衡态。系统粒子数能量§6.3系统微观运动状态的描述一、全同和近独立粒子的宏25这些粒子有不同的运动状态（相空间不同的体积元）。其中处于运动状态的粒子有个，则系统能量又为又是个概率。找到微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。这些粒子有不同的运动状态（相空间不同的体积元）。又是个26二、可分辨和不可分辨粒子系统微观粒子全同性原理(量子理论)：微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系）是不可分辨的。经典系统：粒子可分辨量子系统：粒子不可分辨tt1t2xtt1t2波粒二相性x重叠定域的量子系统（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡位置，如固体的原子)。二、可分辨和不可分辨粒子系统微观粒子全同性原理(量子理论)：27三、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定,每个粒子的微观状态确定。第i个粒子的微观状态Nr个广义坐标和Nr

个广义动量都确定。不同的系统微观状态——其中任意一个的数值改变。几何表示：μ空间N个代表点。任意一个代表点的位置发生变化——不同的系统微观状态。经典统计（与玻耳兹曼统计具有类似的形式）。三、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定,每28四、量子系统的微观状态非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在哪个量子态，不确定哪几个粒子在这个量子态。泡利不相容原理：自旋整半数的粒子，在一个量子态不可能有一个以上的粒子。自旋整数的粒子，不受泡令原理限制－玻色统计、玻色粒子。自旋整半数粒子－费米统计、费米粒子。光子(自旋1)、声子(自旋1

)、等电子、质子、夸克等（自旋1/2）定域系粒子可区分—玻耳兹曼统计四、量子系统的微观状态非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在29五、例两个粒子、三个量子态玻耳兹曼统计ABABABABABABBABABA态1态2态3AAAAAAAAAAAA态1态2态3玻色统计态1态2态3费米统计AAAAAA五、例两个粒子、三个量子态玻耳兹曼统计ABABABABABA30在系统可能出现的各种宏观状态中，只有一个是平衡态。如何从各种状态中将平衡态找出来？必须确定一个标准。系统的宏观热力学状态由参量确定。不同的宏观状态对应的微观状态数目不一样。——从微观状态出发研究不同的宏观状态的特征，以区分它们，并确定何为平衡态。§6.4等概率原理在系统可能出现的各种宏观状态中，只有一个是平衡态。如何从各种31统计假定，其正确性由其推论的正确与否决定。等概率原理：系统每一个微观状态以相同的概率出现。导致物理结果：同样条件，宏观态1，微观状态数n1宏观态2，微观状态数n2宏观态1出现几率大。于是：“宏观态1是平衡态”？！必须计算每个宏观态的微观态数。统计假定，其正确性由其推论的正确与否决定。等概率原理：系统每32一、分布的定义能级简并度粒子数确定的宏观状态表示一个分布，满足系统的一个分布就是N个粒子按能级的一套填布数§6.5分布和微观状态一、分布的定义能级简并度粒子数确定的宏观状态表示一个分布，满33注意：一个微观状态对应一个确定的分布，而一个分布却可以包含大量不同的微观状态。二、分布对应的微观状态数微观状态:分布只管能级εL上的粒子数aL，当分布{aL}一定时：①对玻耳兹曼系，微观状态要确定出是哪些粒子在这些能级中，在什么量子态上。②对非定域系，微观状态要确定出aL个粒子对ωL个量子态的占据方式。注意：一个微观状态对应一个确定的分布，而一个分布却可以包含大341、玻耳兹曼系统粒子可以编号。{aL}确定，移动和交换粒子可能改变系统的微观状态；例如A.个粒子在个量子态中不同放置导致不同微观状态。1、玻耳兹曼系统粒子可以编号。{aL}确定，移动和交换粒子35B.不同的能级之间的粒子交换导致新的微观状态。N个粒子的总交换数N!改变微观状态的粒子交换的有效次数：个粒子在个量子态中放置的不同方式的数目所以分布对应微观状态数同能级内粒子交换总数。B.不同的能级之间的粒子交换导致新的微观状态。N个粒子的总362、玻色系统粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。不动量子态与粒子交换导致不同微观状态.不动量子态与粒子交换总数量子态交换数粒子交换数2、玻色系统粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。不动量子态373、费米系统个量子态中选个，每个置一个粒子的方法。3、费米系统个量子态中选个，每个置一个粒子的方法。384、经典系统经典统计玻耳兹曼统计简并度：4、经典系统经典统计玻耳兹曼统计简并度：39三、非简并性条件三、非简并性条件40热力学-统计物理第六章近独立粒子的最概然分布课件41§6.6玻耳兹曼分布分布确定一个宏观状态，对应的微观状态数也给出。根据等概率原理假定，所有微观态出现概率相同，则具有较多微观状态的分布，其出现的概率较大。平衡态较各非平衡态出现的概率大，它必定是对应微观状态数目最多的分布。从微观状态数目的最大值，确定平衡态对应的分布。－最可几分布一、最可几分布§6.6玻耳兹曼分布分布确定一个宏观状态，对应的微观状态数42二、麦克斯韦-玻耳兹曼分布这个极值受的约束。由拉格朗日条件极值公式，极值由如下公式确定：各个不相互独立。此时，各可以看作相互独立的。为了研究方便，计算如下等效的极值α、β待定。这个条件为：二、麦克斯韦-玻耳兹曼分布这个极值受43由斯特令公式：（对于大A）。麦克斯韦-玻耳兹曼分布由斯特令公式：（对于大A）。麦克斯韦-玻耳兹曼分布44由已知的N、E确定α和β。每个量子态平均粒子数由已知的N、E确定α和β。每个量子态平均粒子数45§6.7

玻色分布与费米分布§6.7玻色分布与费米分布46玻色分布费米分布玻色分布费米分布47§6.8三种分布的关系玻色分布和费米分布趋向于玻耳兹曼分布。§6.8三种分布的关系玻色分布和费米分布趋向于玻48统计物理热现象的微观统计理论统计物理热现象的微观统计理论49基本观点:①宏观物体是由大量微观粒子组成的。②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体体现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。统计物理的基本观点和方法方法:深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。基本观点:统计物理的基本观点和方法方法:50建立统计物理要解决以下三个问题：如何求出热力学量的统计表达式（七、八两章）。如何求出概率分布——这是核心（第六章后5节）。研究对象的描述——引入何种假设、模型，如何描述研究对象的运动状态(力学、几何)（第六章前3节）。建立统计物理要解决以下三个问题：如何求出热力学量的统计表达式51主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述等概率原理及微观状态分布玻耳兹曼统计玻色统计与费米统计主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述52第六章近独立粒子的最概然分布粒子间有相互作用，但可忽略不计第六章粒子间有相互作用，但可忽略不计53系统微观状态的经典描述和量子描述等概率原理三种微观状态分布（波耳兹曼分布、波色分布、费米分布）及相互关系主要内容系统微观状态的经典描述和量子描述主要内容54§6.1粒子运动状态的经典描述一、广义动量和广义坐标具有r个自由度的粒子具有广义坐标：广义动量：能量：粒子运动状态：广义坐标和广义动量的一组确定值粒子的运动状态指粒子力学运动状态粒子遵守经典力学规粒子遵守量子力学规经典描述量子描述§6.1粒子运动状态的经典描述一、广义动量和广义坐标具55两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中至少一个元不同。如与的第i个广义坐标不同，故表示两个不同的运动状态。μ空间（粒子相空间）：共2r个变量，构成一个2r维的抽象空间，成为μ空间（相空间）。粒子运动状态可用μ空间中的一个“点”进行描述。相点：运动状态相轨道：运动状态的变化相体积：粒子状态代表点在μ空间所能充斥的范围。两个不同的运动状态：两组广义坐标和广义动量中与的第i个广561、自由粒子三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标三个动量能量运动状态粒子相空间：6维，3维坐标空间，3维动量空间。二、常见粒子微观运动状态描述实例1、自由粒子三维空间中，如果是直角坐标，三个坐标三个动量能量57如在一维空间自由粒子运动状态在边长L的线段上。

随时间推移，代表点划出轨迹。代表点另一个代表点。等能面（线）：相空间中具有相同能量的代表点连成的面（线）。：表明轨迹划出来的直线。如在一维空间自由粒子运动状态在边长L的线段上。随时间推582、一维线性谐振子运动状态二维的相空间等能线：的椭圆。椭圆面积半长轴半短轴两个椭圆面积差2、一维线性谐振子运动状态二维的相空间等能线：的椭圆。椭圆面59引入与θ，φ共轭的广义动量四维粒子相空间中质点坐标：（x,y,z）动能：如果用球极坐标r，θ，φ描述质点位置：动能：转动惯量3、转子（双原子分子的转动）引入与θ，φ共轭的广义动量四维粒子相空间中质点坐标：（x,60“量子”概念量子：在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的单位跳跃式进行的，而不是连续的。一个物理量如果有最小的单元而不可连续的分割，我们就说这个物理量是量子化的，并把最小的单元称为量子。量子一词来自拉丁语，原意为“多少”，代表“相当数量的某事”，是一个不可分割的基本个体。例如，一个“光的量子”是光的单位。其基本概念是物质性质也许是“可量子化的”。“量子化”指其物理量的数值会是一些特定的数值，而不是任意值。例如，一定状态下的原子中，电子的能量是可量子化的。这能决定原子的稳定和一般问题。“量子”概念量子：在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的单61§6.2粒子运动状态的量子描述一、波粒二象性微观粒子既具有粒子性质，又具有波动性质。德布罗意关系：联系粒子的波动性与粒子性。不确定关系：不可能同时精确测量粒子的位置和动量。二、量子态不确定关系使粒子运动状态的经典描述是不精确的。德布罗意波ħ与h为普朗克常量，量子物理的基本常量。§6.2粒子运动状态的量子描述一、波粒二象性微观粒子既具62在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。量子态由一组量子数表征，每组量子数的数目等于粒子的自由度数目。三、举例1、自旋状态粒子质量m，电荷–e，自旋角动量。（量子化的）自旋磁矩：两个量子态，一个量子数量子态中粒子的占据几率用波函数描述。表示t时刻x,y,z处在dxdydz内发现粒子的几率。在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。量子态由一组量子数632、线性谐振子一个量子数n。3、自由粒子一维情况，粒子在长L的区间。视粒子为波。它在区间L内应形成驻波。波长波矢一个量子数2、线性谐振子一个量子数n。3、自由粒子一维情况，粒子在长64三维情况能级三维情况能级65简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。能级的简并度六简并度十二简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。能级的简并度六简并度66相邻动量的差是很小的量在恒定大小的容积中，粒子相邻动量差可以看作零，可以认为能量动量连续变化(准连续）。在动量间隔中的量子态数为同理，，和中的量子态数为相邻动量的差是很小的量在恒定大小的容积中，粒子67理解：由测不准关系，对一维粒子，最精确。若用q.p描述运动状态，即代表点的位置时，则μ空间内h大小的相体积内只能有一个运动状态。否则违反测不准关系，对于三维自由粒子，h3大小的相格内只能有一个运动状态；对于有r个自由度的粒子，hr相体积内只能有一个状态。所以在相体积之dw内的量了态数为理解：68，中的量子态数，与动量的方向无关，积分之，中量子态数球极坐标系变换态密度，中的量子态数，与动量的方向无关，积分之，69粒子相空间（μ空间）粒子经典运动状态“代表点”在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。粒子量子运动状态量子态由一组量子数表征。简并度一个能级对应的不同的量子态的数目。，中量子态数粒子相空间（μ空间）粒子经典运动状态“代表点”在量子力学中，70量子描述与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，ħ是很小的量，量子描述趋近于经典描述。由于不确定关系，。即在体积元h

内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是相同的！以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为。量子描述与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，ħ是很小的71即，一个量子态对应粒子相空间一个

h

大小的体积元。则相空间体积中量子态数为三维自由粒子一个量子态对应粒子相空间体积元。即，一个量子态对应粒子相空间一个h大小的体积元。则相空间72§6.3系统微观运动状态的描述一、全同和近独立粒子的宏观系统全同粒子具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的微观粒子氢气、氧气、纯水、纯铁等等。空气、合金等不是全同粒子系统。近独立粒子粒子之间的相互作用可以忽略不计。（有微弱相互作用，以保证系统可从非平衡态到达平衡态。系统粒子数能量§6.3系统微观运动状态的描述一、全同和近独立粒子的宏73这些粒子有不同的运动状态（相空间不同的体积元）。其中处于运动状态的粒子有个，则系统能量又为又是个概率。找到微观粒子系统对能量分布的概率，就可以求出系统的能量。目的：求出系统在热平衡状态的概率分布。这些粒子有不同的运动状态（相空间不同的体积元）。又是个74二、可分辨和不可分辨粒子系统微观粒子全同性原理(量子理论)：微观粒子（位置可以在大范围变化——非定域系）是不可分辨的。经典系统：粒子可分辨量子系统：粒子不可分辨tt1t2xtt1t2波粒二相性x重叠定域的量子系统（定域系）粒子可分辨(如粒子有固定的平衡位置，如固体的原子)。二、可分辨和不可分辨粒子系统微观粒子全同性原理(量子理论)：75三、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定,每个粒子的微观状态确定。第i个粒子的微观状态Nr个广义坐标和Nr

个广义动量都确定。不同的系统微观状态——其中任意一个的数值改变。几何表示：μ空间N个代表点。任意一个代表点的位置发生变化——不同的系统微观状态。经典统计（与玻耳兹曼统计具有类似的形式）。三、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定,每76四、量子系统的微观状态非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在哪个量子态，不确定哪几个粒子在这个量子态。泡利不相容原理：自旋整半数的粒子，在一个量子态不可能有一个以上的粒子。自旋整数的粒子，不受泡令原理限制－玻色统计、玻色粒子。自旋整半数粒子－费米统计、费米粒子。光子(自旋1)、声子(自旋1

)、等电子、质子、夸克等（自旋1/2）定域系粒子可区分—玻耳兹曼统计四、量子系统的微观状态非定域系粒子不可区分，确定几个粒子在77五、例两个粒子、三个量子态玻耳兹曼统计ABABABABABABBABABA态1态2态3AAAAAAAAAAAA态1态2态3玻色统计态1态2态3费米统计AAAAAA五、例两个粒子、三个量子态玻耳兹曼统计ABABABABABA78在系统可能出现的各种宏观状态中，只有一个是平衡态。如何从各种状态中将平衡态找出来？必须确定一个标准。系统的宏观热力学状态由参量确定。不同的宏观状态对应的微观状态数目不一样。——从微观状态出发研究不同的宏观状态的特征，以区分它们，并确定何为平衡态。§6.4等概率原理在系统可能出现的各种宏观状态中，只有一个是平衡态。如何从各种79统计假定，其正确性由其推论的正确与否决定。等概率原理：系统每一个微观状态以相同的概率出现。导致物理结果：同样条件，宏观态1，微观状态数n1宏观态2，微观状态数n2宏观态1出现几率大。于是：“宏观态1是平衡态”？！必须计算每个宏观态的微观态数。统计假定，其正确性由其推论的正确与否决定。等概率原理：系统每80一、分布的定义能级简并度粒子数确定的宏观状态表示一个分布，满足系统的一个分布就是N个粒子按能级的一套填布数§6.5分布和微观状态一、分布的定义能级简并度粒子数确定的宏观状态表示一个分布，满81注意：一个微观状态对应一个确定的分布，而一个分布却可以包含大量不同的微观状态。二、分布对应的微观状态数微观状态:分布只管能级εL上的粒子数aL，当分布{aL}一定时：①对玻耳兹曼系，微观状态要确定出是哪些粒子在这些能级中，在什么量子态上。②对非定域系