近世代数课件-群的概念

§1.2群的概念群的定义群的性质群的判别11/25/2022数学与计算科学学院§1.2群的概念群的定义11/23/2022数学与计算科1一．群的定义

定义1.2.1

设是一个非空集合,若对中任意两个元素

通过某个法则“”，有中惟一确定的则称法则“”为集合上的一个代数运元素与之对应,

算（algebraicoperation）．元素是通过运算“”作用的结果,我们将此结果记为11/25/2022数学与计算科学学院一．群的定义定义1.2.1设是一个非空集合,若2例１

有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考

虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.

剩余类集．对，规定例２

设为大于1的正整数，为

的模11/25/2022数学与计算科学学院例１有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除3证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可．设

则

于是

从而

则“＋”与“”都是上的代数运算．11/25/2022数学与计算科学学院证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关4所以+与都是上的代数运算.

11/25/2022数学与计算科学学院所以+与都是上的代数运算.11/23/2022数5一个代数运算，即对所有的有如

果的运算还满足(G1)结合律，即对所有的有；

(G2)中有元素，使对每个，有定义1.2.2设是一个非空集合，“”是上的(G3)对中每个元素，存在元素，使

11/25/2022数学与计算科学学院一个代数运算，即对所有的有6．在不致引起混淆的情况下,也称为群．

（unitelement）或恒等元（identity）；

注1．(G2)中的元素称为群的单位元(G3)中的元素称为的逆元（inverse）．

则称关于运算“”构成一个群（group），记作

我们将证明：群的单位元和每个元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常记作．11/25/2022数学与计算科学学院．在不致引起混淆的情况下,也称为群．（unite7（commutativegroup）或阿贝尔群（abeliangroup)．

，有，则称是一个交换群3．群中元素的个数称为群的阶（order），记为．如果是有

限数,则称为有限群

2．如果群的运算还满足交换律，即对任意的（finitegroup），否则称为无限群（infinitegroup).

11/25/2022数学与计算科学学院（commutativegroup）或阿贝尔群（abeli8例３

整数集关于数的加法构成群．这个群称为整数加群．

证对任意的，有

，所以“＋”是上的一个代数运算．同时，对任意的,有所以结合律成立.另一方面，且

有11/25/2022数学与计算科学学院例３整数集关于数的加法构成群．这个群称为整数加群．证9又对每个有

从而关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．所以0为

的单位元.所以是的逆元.注1．当群的运算用加号“＋”表示时，通常将的单位元记作0，并称0为的零元；将的逆元记作,并称为的负元．11/25/2022数学与计算科学学院又对每个有从而关于“＋”构成群，102．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表

示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地,将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，

运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法．当然,所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）．11/25/2022数学与计算科学学院2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表示群的运算，11例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数

的逆元是的倒数．同理，全体非零实数的

集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也．构成交换群．11/25/2022数学与计算科学学院例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个12例５实数域R上全体阶方阵的集合，关于矩阵的加法构成一个交换群．全体阶可逆方阵的集合关于矩阵的乘法构成群，群中的单位元是单位矩阵，可逆方阵的逆元是的逆矩阵

当时，是一个非交换群．例６集合关于数的乘法构成交换群11/25/2022数学与计算科学学院例５实数域R上全体阶方阵的集合，关于矩阵13关于数的乘法构成一个阶交换群．证(1)对任意的，因为,所以

例７全体次单位根组成的集合因此．于是“”是的代数运算．

11/25/2022数学与计算科学学院关于数的乘法构成一个阶交换群．证(1)对任意的14(3)由于，且对任意的，

所以1为的单位元．

(4)对任意的，有，且

所以有逆元．的乘法也满足交换律和结合律．

(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以11/25/2022数学与计算科学学院(3)由于，且对任意的，所以1为15因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为次单位根群，显然是一个具有个元素的交换群．11/25/2022数学与计算科学学院因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为次单位16例８设是大于1的正整数，则关于剩余

类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群．

证(1)由例２知，剩余类的加法“＋”是的

代数运算．

(2)对任意的，所以结合律成立．

11/25/2022数学与计算科学学院例８设是大于1的正整数，则关于剩余类的加法构成加17(3)对任意的,

所以交换律成立．(4)对任意的，

且所以0为的零元．

11/25/2022数学与计算科学学院(3)对任意的,所以交换律成立．(418(5)对任意的,且所以为的负元．从而知，关于剩余类的加法构成加群．□11/25/2022数学与计算科学学院(5)对任意的,且所以19例９设是大于1的正整数，记则关于剩余类的乘法构成群．

证(1)对任意的，有

于是，从而．(2)对任意的

所以剩余类的乘法“”是的代数运算．

11/25/2022数学与计算科学学院例９设是大于1的正整数，记则关于剩余类的20所以结合律成立.

(3)因为，从而，且对任意的

且

所以1是的单位元．

11/25/2022数学与计算科学学院所以结合律成立.(3)因为，从而21(4)对任意的，有，由整数的性质可知，存在，使所以，且显然所以为的逆元．从而知，的每个元素在中都可逆．

11/25/2022数学与计算科学学院(4)对任意的，有，22这就证明了关于剩余类的乘法构成群．□注

(1)群称为的模单位群，显然这是一个交换群．当为素数时，常记作.易知，

(2)由初等数论可知（参见[1]），的阶等于,这里是欧拉函数．如果其中为的不同素因子，那么11/25/2022数学与计算科学学院这就证明了关于剩余类的乘法构成群．□注2311/25/2022数学与计算科学学院11/23/2022数学与计算科学学院24例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元素的逆元素．易知直接计算，可得

表1.2.111/25/2022数学与计算科学学院例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元25由表中很容易看出注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2）．表1.2.212341123422413331424432111/25/2022数学与计算科学学院由表中很容易看出注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.226形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表

（multiplicationtable），也称群表（grouptable）或凯莱表（Cayleytable）．人们常用群表来表述有限群的运算．如下表所示：

ebeebaa11/25/2022数学与计算科学学院形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表（multiplic27在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号

（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左

列按同样的次序列出群的所有元素．表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘

积．注意，在乘积中，左边的因子总是

左列上的元素,右边的因子总是最上面一行的元素．由群表很容易确定一个元素的逆元素．

11/25/2022数学与计算科学学院在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）28又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群．11/25/2022数学与计算科学学院又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群．29二．群的性质定理1.2.1

设为群，则有

(1)群的单位元是惟一的；(2)群的每个元素的逆元是惟一的；(3)对任意的，有；

(4)对任意的，有；(5)在群中消去律成立，即设，如果，或，则．

11/25/2022数学与计算科学学院二．群的性质定理1.2.1设为群，则有(1)群30证(1)如果都是的单位元，则（因为是的单位元），因此

所以单位元是惟一的．

(2)设都是的逆元，则（因为是的单位元），11/25/2022数学与计算科学学院证(1)如果都是的单位元，则31于是

所以的逆元是惟一的．

(3)因为是的逆元，所以从而由逆元的定义知，是的逆元．又由逆元的惟一性得

(4)直接计算可得11/25/2022数学与计算科学学院于是所以的逆元是惟一的．(3)因为是32及从而由逆元的惟一性得

(5)如果，则

同理可证另一消去律．□11/25/2022数学与计算科学学院及从而由逆元的惟一性得(5)如果，则同理33定理1.2.2

设是群，那么对任意的，

方程

及在中都有惟一解．

证取，则所以方程有解又如为方程的任一解，即则这就证明了惟一性．

11/25/2022数学与计算科学学院定理1.2.2设是群，那么对任意的34同理可证另一方程也有惟一解．□

11/25/2022数学与计算科学学院同理可证另一方程也有惟一解．□11/23/235指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成

群的定义中的结合律表明，群中三个元素的乘进一步可知，在群中，任意个元素

的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成.据此,我们可以定义群的元素的方幂

对任意的正整数，定义

11/25/2022数学与计算科学学院指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成群的36再约定（为正整数）则对任意整数都有意义，并且不难证明：对任意的有下列的指数法则(1)；(2)(3)如果是交换群，则

（如果不是交换群，一般不成立）．11/25/2022数学与计算科学学院再约定（为正整数）则对任意整数37当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数相应地,指数法则变为倍数法则：

(1)(2)(3)（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）．11/25/2022数学与计算科学学院当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数相应地,指数38定理1.2.3

设是一个具有代数运算的非空

集合，

则关于所给的运算构成群的充分必要条件是

三．群的判别(1)的运算满足结合律；

(2)中有一个元素（称为的左单位元）,使对

任意的有(3)对的每一个元素，存在

（称为的左逆元），使．这里是的左单位元．11/25/2022数学与计算科学学院定理1.2.3设是一个具有代数运算的非空集合，则39证

必要性由群的定义，这是显然的．充分性只需证:是的单位元,，是的．

逆元即可．

设由条件(3)知，存在使而对于也存在使于是且11/25/2022数学与计算科学学院证必要性由群的定义，这是显然的．充分性只需证:是40进而由条件（1）知，为群．

□由条件(2)及式(3)知，是的单位元．是的逆元，11/25/2022数学与计算科学学院进而由条件（1）知，为群． 41注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合，只要满足结合律，有左单位元，每个元素有左逆元，就构成一个群．同理可证，一个具有乘法运算的非空集合，如

果满足结合律，有右单位元，且中每个元素有右逆元，则构成群

11/25/2022数学与计算科学学院注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空集合，只要满足结42定理1.2.4设是一个具有乘法运算且满足结

合律的非空集合，则构成群的充分必要条件是：

对任意的方程及在中有解.证

必要性

已证（见定理1.2.2）．充分性任取，由条件知，有解，

设为，则.又对任意的，有解,设为

设为

．于是从而知是的左单位元．

11/25/2022数学与计算科学学院定理1.2.4设是一个具有乘法运算且满足结合律的非43其次，对每个，有解，设为.于是从而知有左逆元．

于是由定理1.2.3知，构成群． □11/25/2022数学与计算科学学院其次，对每个，有44例11设是一个具有乘法运算的非空有限集合，

如果满足结合律，且两个消去律成立，则是一个群．对任意的考察与，如果证设则由左消去律得，于是．这说明，

是中个不同的元素．因，11/25/2022数学与计算科学学院例11设是一个具有乘法运算的非空有限集合，如果满45同理可证，方程在中也有解．

从而由定理1.2.4知，是群．

□所以因故必存在，使．这说明，方程

在中有解．11/25/2022数学与计算科学学院同理可证，方程在中也有解．从而由定理1.246参考文献及阅读材料[1]潘承洞，潘承彪．初等数论．北京：北京大学出版社，1998[2]中国大百科全书数学．北京，上海：

中国大百科全书出版社，1988[3]数学百科全书(第二卷)．北京：科学出版社，199511/25/2022数学与计算科学学院参考文献及阅读材料[1]潘承洞，潘承彪．初等数论．北京：北47§1.2群的概念群的定义群的性质群的判别11/25/2022数学与计算科学学院§1.2群的概念群的定义11/23/2022数学与计算科48一．群的定义

定义1.2.1

设是一个非空集合,若对中任意两个元素

通过某个法则“”，有中惟一确定的则称法则“”为集合上的一个代数运元素与之对应,

算（algebraicoperation）．元素是通过运算“”作用的结果,我们将此结果记为11/25/2022数学与计算科学学院一．群的定义定义1.2.1设是一个非空集合,若49例１

有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算．如果只考

虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运算.

剩余类集．对，规定例２

设为大于1的正整数，为

的模11/25/2022数学与计算科学学院例１有理数的加法、减法和乘法都是有理数集Q上的代数运算,除50证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关即可．设

则

于是

从而

则“＋”与“”都是上的代数运算．11/25/2022数学与计算科学学院证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类的代表元的选取无关51所以+与都是上的代数运算.

11/25/2022数学与计算科学学院所以+与都是上的代数运算.11/23/2022数52一个代数运算，即对所有的有如

果的运算还满足(G1)结合律，即对所有的有；

(G2)中有元素，使对每个，有定义1.2.2设是一个非空集合，“”是上的(G3)对中每个元素，存在元素，使

11/25/2022数学与计算科学学院一个代数运算，即对所有的有53．在不致引起混淆的情况下,也称为群．

（unitelement）或恒等元（identity）；

注1．(G2)中的元素称为群的单位元(G3)中的元素称为的逆元（inverse）．

则称关于运算“”构成一个群（group），记作

我们将证明：群的单位元和每个元素的逆元都是惟一的．中元素的惟一的逆元通常记作．11/25/2022数学与计算科学学院．在不致引起混淆的情况下,也称为群．（unite54（commutativegroup）或阿贝尔群（abeliangroup)．

，有，则称是一个交换群3．群中元素的个数称为群的阶（order），记为．如果是有

限数,则称为有限群

2．如果群的运算还满足交换律，即对任意的（finitegroup），否则称为无限群（infinitegroup).

11/25/2022数学与计算科学学院（commutativegroup）或阿贝尔群（abeli55例３

整数集关于数的加法构成群．这个群称为整数加群．

证对任意的，有

，所以“＋”是上的一个代数运算．同时，对任意的,有所以结合律成立.另一方面，且

有11/25/2022数学与计算科学学院例３整数集关于数的加法构成群．这个群称为整数加群．证56又对每个有

从而关于“＋”构成群，显然这是一个交换群．所以0为

的单位元.所以是的逆元.注1．当群的运算用加号“＋”表示时，通常将的单位元记作0，并称0为的零元；将的逆元记作,并称为的负元．11/25/2022数学与计算科学学院又对每个有从而关于“＋”构成群，572．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表

示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的结果叫做和，同时称这样的群为加群．相应地,将不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，

运算的结果叫做积．在运算过程中，乘群的运算符号通常省略不写．今后，如不作特别声明，我们总假定群的运算是乘法．当然,所有关于乘群的结论对加群也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）．11/25/2022数学与计算科学学院2．习惯上，只有当群为交换群时，才用“＋”来表示群的运算，58例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数

的逆元是的倒数．同理，全体非零实数的

集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也．构成交换群．11/25/2022数学与计算科学学院例４全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法构成交换群,这个59例５实数域R上全体阶方阵的集合，关于矩阵的加法构成一个交换群．全体阶可逆方阵的集合关于矩阵的乘法构成群，群中的单位元是单位矩阵，可逆方阵的逆元是的逆矩阵

当时，是一个非交换群．例６集合关于数的乘法构成交换群11/25/2022数学与计算科学学院例５实数域R上全体阶方阵的集合，关于矩阵60关于数的乘法构成一个阶交换群．证(1)对任意的，因为,所以

例７全体次单位根组成的集合因此．于是“”是的代数运算．

11/25/2022数学与计算科学学院关于数的乘法构成一个阶交换群．证(1)对任意的61(3)由于，且对任意的，

所以1为的单位元．

(4)对任意的，有，且

所以有逆元．的乘法也满足交换律和结合律．

(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以11/25/2022数学与计算科学学院(3)由于，且对任意的，所以1为62因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为次单位根群，显然是一个具有个元素的交换群．11/25/2022数学与计算科学学院因此关于数的乘法构成一个群．通常称这个群为次单位63例８设是大于1的正整数，则关于剩余

类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群．

证(1)由例２知，剩余类的加法“＋”是的

代数运算．

(2)对任意的，所以结合律成立．

11/25/2022数学与计算科学学院例８设是大于1的正整数，则关于剩余类的加法构成加64(3)对任意的,

所以交换律成立．(4)对任意的，

且所以0为的零元．

11/25/2022数学与计算科学学院(3)对任意的,所以交换律成立．(465(5)对任意的,且所以为的负元．从而知，关于剩余类的加法构成加群．□11/25/2022数学与计算科学学院(5)对任意的,且所以66例９设是大于1的正整数，记则关于剩余类的乘法构成群．

证(1)对任意的，有

于是，从而．(2)对任意的

所以剩余类的乘法“”是的代数运算．

11/25/2022数学与计算科学学院例９设是大于1的正整数，记则关于剩余类的67所以结合律成立.

(3)因为，从而，且对任意的

且

所以1是的单位元．

11/25/2022数学与计算科学学院所以结合律成立.(3)因为，从而68(4)对任意的，有，由整数的性质可知，存在，使所以，且显然所以为的逆元．从而知，的每个元素在中都可逆．

11/25/2022数学与计算科学学院(4)对任意的，有，69这就证明了关于剩余类的乘法构成群．□注

(1)群称为的模单位群，显然这是一个交换群．当为素数时，常记作.易知，

(2)由初等数论可知（参见[1]），的阶等于,这里是欧拉函数．如果其中为的不同素因子，那么11/25/2022数学与计算科学学院这就证明了关于剩余类的乘法构成群．□注7011/25/2022数学与计算科学学院11/23/2022数学与计算科学学院71例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元素的逆元素．易知直接计算，可得

表1.2.111/25/2022数学与计算科学学院例10具体写出中任意两个个元素的乘积以及每一个元72由表中很容易看出注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表示为更加简单的形式（见表1.2.2）．表1.2.212341123422413331424432111/25/2022数学与计算科学学院由表中很容易看出注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.273形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表

（multiplicationtable），也称群表（grouptable）或凯莱表（Cayleytable）．人们常用群表来表述有限群的运算．如下表所示：

ebeebaa11/25/2022数学与计算科学学院形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表（multiplic74在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号

（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左

列按同样的次序列出群的所有元素．表中的其余部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘

积．注意，在乘积中，左边的因子总是

左列上的元素,右边的因子总是最上面一行的元素．由群表很容易确定一个元素的逆元素．

11/25/2022数学与计算科学学院在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号（有时省略）75又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群．11/25/2022数学与计算科学学院又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个群一定是交换群．76二．群的性质定理1.2.1

设为群，则有

(1)群的单位元是惟一的；(2)群的每个元素的逆元是惟一的；(3)对任意的，有；

(4)对任意的，有；(5)在群中消去律成立，即设，如果，或，则．

11/25/2022数学与计算科学学院二．群的性质定理1.2.1设为群，则有(1)群77证(1)如果都是的单位元，则（因为是的单位元），因此

所以单位元是惟一的．

(2)设都是的逆元，则（因为是的单位元），11/25/2022数学与计算科学学院证(1)如果都是的单位元，则78于是

所以的逆元是惟一的．

(3)因为是的逆元，所以从而由逆元的定义知，是的逆元．又由逆元的惟一性得

(4)直接计算可得11/25/2022数学与计算科学学院于是所以的逆元是惟一的．(3)因为是79及从而由逆元的惟一性得

(5)如果，则

同理可证另一消去律．□11/25/2022数学与计算科学学院及从而由逆元的惟一性得(5)如果，则同理80定理1.2.2

设是群，那么对任意的，

方程

及在中都有惟一解．

证取，则所以方程有解又如为方程的任一解，即则这就证明了惟一性．

11/25/2022数学与计算科学学院定理1.2.2设是群，那么对任意的81同理可证另一方程也有惟一解．□

11/25/2022数学与计算科学学院同理可证另一方程也有惟一解．□11/23/282指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成

群的定义中的结合律表明，群中三个元素的乘进一步可知，在群中，任意个元素

的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成.据此,我们可以定义群的元素的方幂

对任意的正整数，定义

11/25/2022数学与计算科学学院指数与指数法则积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成群的83再约定（为正整数）则对任意整数都有意义，并且不难证明：对任意的有下列的指数法则(1)；(2)(3)如果是交换群，则

（如果不是交换群，一般不成立）．11/25/2022数学与计算科学学院再约定（为正整数）则对任意整数84当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数相应地,指数法则变为倍数法则：

(1)(2)(3)（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）．11/25/2022数学与计算科学学院当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数相应地,指数85定理1.2.3

设是一个具有代数运算的非空

集合，

则关于所给的运算构成群的充分必要条件是

三．群