高中新课程数学《解三角形》高考冲刺

第一章解三角形本章归纳整合高考真题1．(2022·辽宁卷)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，则eq\f(b,a)等于 ()．A．2eq\r(3) B．2eq\r(2) \r(3) \r(2)解析∵asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，∴sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，∴sinB＝eq\r(2)sinA，∴eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2).答案D2．(2022·重庆卷)若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为 ()．\f(4,3) B．8－4eq\r(3) C．1 \f(2,3)解析由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.①∵a2＋b2－c2＝2abcosC，故方程①化为2ab(1＋cosC)＝4.∴ab＝eq\f(2,1＋cosC).又∵C＝60°，∴ab＝eq\f(4,3).答案A3.(2022·天津卷)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为()．\f(\r(3),3) \f(\r(3),6) \f(\r(6),3) \f(\r(6),6)解析设AB＝a，∴AD＝a，BD＝eq\f(2,\r(3))a，BC＝2BD＝eq\f(4,\r(3))a，在△ABD中，cosA＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(2a2－\f(4,3)a2,2a2)＝eq\f(1,3)，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(2\r(2),3).由正弦定理知sinC＝eq\f(AB,BC)·sinA＝eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(6),6).答案D4．(2022·北京卷)在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析由tanA＝2得sinA＝2cosA．又sin2A＋cos2A＝1得sinA＝eq\f(2\r(5),5).又∵b＝5，B＝eq\f(π,4)，根据正弦定理，应有eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10).答案eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)5．(2022·全国课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知eq\f(AB,sinC)＝eq\f(\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sinA)，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋eq\r(3)cosC＋sinC)＝2(2sinC＋eq\r(3)cosC)＝2eq\r(7)sin(C＋α)，其中tanα＝eq\f(\r(3),2)，α是第一象限角．由于0°<C<120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值2eq\r(7).答案2eq\r(7)6．(2022·全国大纲卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A－C＝90°，a＋c＝eq\r(2)b，求C.解由a＋c＝eq\r(2)b及正弦定理可得sinA＋sinC＝eq\r(2)sinB.又由于A－C＝90°，B＝180°－(A＋C)，故cosC＋sinC＝eq\r(2)sin(A＋C)＝eq\r(2)sin(90°＋2C)＝eq\r(2)cos2C.eq\f(\r(2),2)cosC＋eq\f(\r(2),2)sinC＝cos2C，cos(45°－C)＝cos2C.因为0°<C<90°，所以2C＝45°－C，C＝15°.7．(2022·安徽高考)在△ABC中，若a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．解由1＋2cos(B＋C)＝0和B＋C＝π－A，得1－2cosA＝0，所以cosA＝eq\f(1,2)，所以sinA＝eq\f(\r(3),2).再由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(2),2).由b<a知B<A，所以B不是最大角，B<eq\f(π,2)，从而cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(\r(2),2).由上述结果知sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2))).设边BC上的高为h，则有h＝bsinC＝eq\f(\r(3)＋1,2).8．(2022·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b).(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求△ABC的面积S.解(1)由正弦定理，设eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k，则eq\f(2c－a,b)＝eq\f(2ksinC－ksinA,ksinB)＝eq\f(2sinC－sinA,sinB)，所以eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2sinC－sinA,sinB).即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此eq\f(sinC,sinA)＝2.(2)由eq\f(sinC,sinA)＝2得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，得4＝a2＋4a2