量子力学复习题-大题

1.2在OK附近，钠的价电子能量约为3e\"求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv,p=-如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(E动<<〃,「)，那么FP2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV,远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51xl()6eV,因此利用非相对论性的电子的能量一一动量关系式，这样，便有P7^_he1.24x1O-6=f 〃?72x0.51x106x3=0.71x10-9〃？=0.7Inm在这里，利用了he=1.24x10^eV-m以及pec2=0.51x106eV最后，对4-人。从6E作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。21.3氮原子的动能是E= （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氮原子的德布罗意波长。解根据lk-K=10-5eVf知本题的氨原子的动能为3E=-kT=-k-K=1.5x10^eV,2 2显然远远小于4核二这样，便有I久-h1.24x1O-6=V2x3.7xl09xl.5xl0-3=0.37x10-9w=0.31mn这里，利用了〃核T=4x931xlO"=3.7xlOZV最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样，其相应的德布罗意波长就为hehe

A= -= —yj2^c2Eyl2pkc2T据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布一一玻色分布或费米公布。p.522.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。证：对于定态，可令

T(r,0=^(?)/(0--Et=y/(r)e力J=-(TVT*-TW)2〃••••7/7 ——Et ——Et* 8—Et -Et=——[y/(J)e力V(i//(r)e力)一〃(r)etlV(i//(r)e力)]2〃请=—W)V/(r)-^(r)V〃⑺]2〃可见J与f无关。2.2由下列两定态波函数计算儿率流密度:从所得结果说明匕表示向外传播的球面波，忆表示向内（即向原点）传播的球面波。解：4和人只有，分量在球坐标中 V=L—+e.i—+?——--6vdOLsin夕加•XA=FwN%*-%*▽%)2〃访「1/hc-ikr、1-ikr3/。而\[二=—[-^<(一e)——e=(-e加2〃rorrrorrtiktik一?厂hk，与f同向。表示向外传播的球面波。—♦ iPi * *A=—(%▽匕一〃2V〃)2"访「1-ikr3/1ikrx】ikr3/-所=-[-<? k(—e)--e—(-e)儿2//rcrrrorrTOC\o"1-5"\h\zihr1z1 1 1z1 I.=—[-(--r+M—)——(T-lk-)儿2"rr~ r rr rhk- hk一= 2ro= rr售一 田可见，久与『反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。补充：设以x)=e淑，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？•「J夕*y/dx=J6A•二s,波函数不能按J|〃(x)「dx=1方式归一化。其相对位置几率分布函数为=1表示粒子在空间各处出现的几率相同。#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为。，如果粒子的状态由波函数必x)=Ax(a-x)描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：由波函数以x)的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为("=1,2,3,)("=1,2,3,)能量的几率分布函数为以£)=「〃『—sinxy/{x}dxaa—sinxy/{x}dxaaU(x)\]/G)dxX先把Mx)归一化，由归一化条件,1=「心(x)「dx=jA2x2(a-x)dx=A2Jx2(a2-2ax+x2)dx=A2^(a2x2-2ax3-bx4)dxx•x(a-x)dx2V15r「.nn, -2.n九>】———[ajQxsin——xax-^xsin——xdx]若…]：•。出)=|，『=铛"一(-1)”]2

tinn=l93,5,--A2E=仁川x)方—(x)dx=j，(x)卜”(xMx「30 hd )-x(x-a)^[-----—x(x-a)]dxJoa5 Ifldx130方r/ 、」 30力z优-x(x-a)dx=--(———-“同 便J23_5h2pa23.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为Ioo,rNa;u(，)=%[0,r<a求粒子的能级和定态波函数。解：据题意，在，之。的区域，t/(r)=oo,所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数'=0由于在，的区域内，t/(r)=0o只求角动量为零的情况，即，=0,这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度6、夕无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与，有关，而与e、,无关。设为“(r),则粒子的能量的本征方程为力21ddy--丁(，/=E»2Mrdrdr令U(r)=rEw，A?=竿，得d2u.2n--+Kw=0dr其通解为u(r)=Acoskr+BsinkrA B：.，(r)=—cosAr+—sinkrr r波函数的有限性条件知，30)=有限，则A=0••y/(r)=—sinkr

r由波函数的连续性条件，有B必。)=0=—sinAa=0

a•；B工0,ka=nn(n=1,2,…)

/J乃2方七〃=――r2pa/、B.nn必r)=—sin——ra其中B为归一化，由归一化条件得1=1dO^d<p)|^(r)|"r2sin0dr=4tt-Vb2sin2—rdr=2%aB2Jo aB=B=：.归一化的波函数•nnsin——

a43求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。解：定态薛定谭方程为-3”泞2二C(p,t)+鼻C(p,t)=EC(p,t)TOC\o"1-5"\h\z2dp 241/2 2即L3—c(0")+(£一匕)。(夕")=o2dp" 2//2两边乘以而，得1 d2〜 、(2E p2、「( 、A c[p、r)+(————「c(p,匕)=01dp, rico peal4M4M2£

tlCD二。0)+(4-二)C(p,f)=0斯.跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

E,=（〃+?力。「加二 tE（C（P/）=N"e2'（削）ea,式中N”为归一化因子，即N=(---)1/2

〃I/2〃/#4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。解：H=-p~+-/.ico2x2=---^-+-//6y2x22〃 2 2//dx~2"»=JX（x）方匕，（x）dx=_Lfe=_Lfev\,

2就J力d-2//dx2re力dx£（L"尸_L「""一小dx+方re力dx2〃方 2曲J-30 2 2就P'2U/， 、1 '1产/方「6?*-")1=/5(p-p)+y-育L(〃讲"dx=匚6(=匚6(p，-p)+-/后

2〃 2力dx2 1 分2二万（”一刀一5〃苏力2^出”一〃）二分（"一刀一刎加条5（“一p）5.3设一体系未受微扰作用时有两个能级：品】及纥门现在受到微扰6'的作用,微扰矩阵元为8都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。解：由微扰公式得Ew=H'n nn£2)_V'|"”"J11乙p(0)_p(o)〃？L〃砒=町=6E"g=b

E°i-EomE°i—EQ2£（2）=y，W—l=°2々『E。,EQ2-•••能量的二级修正值为5.7计算氢原子由2p态跃迁到Is态时所发出的光谱线强度。解:tr=N2"；°3〃e：

2p37c^68trn2n25=/V 2P36力％3方。*=10.2eV一X25 *=N、 "36c+Z；=N",x3.lxl（T9一〃72〃=10内，则J21=3.1W7.L证明:证：由对易关系&出一4生=2i&反对易关系包仇,+优,包=0，上式两边乘仇，得7.5设氢的状态是〃=57.5设氢的状态是〃=-"^2i（r）丫io（夕,。）①求轨道角动量Z分量4和自旋角动量Z分量sz的平均值;TOC\o"1