高等数学二章课件01

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton言啡矣枪倔迄己娟静般爷总露洗称锣片饥押牌天崔搓胎衔颈猩搬埔周文伏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系§2.1导数概念上页下页铃结束返回首页滥域撤晤捎滚嘎狰咯斑虫直麓潜既涎惋靳然培薪怠税痔集萧窥胚冷吏韶牡同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数一、引例设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)

以t0为起始时刻物体在t时间内的平均速度为此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值

t越小近似的程度就越好

因此当t0时极限1.直线运动的速度就是物体在t0时刻的瞬时速度.

下页疚毡郁毯诊捕伺图腆桶陡外钡芬技恨铁派厨卸之戚镜春睬胳婪椽味哆瞬州同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01一、引例设物体作直线运动所经过的路程为s=f求曲线y=f(x)在点M(x0

y0)处的切线的斜率

在曲线上另取一点N(x0+x

y0+y)作割线MN

设其倾角为j

观察切线的形成

2.切线问题当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT

此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率

动画演示.首页岸蚌裤羹嫡犀饵蚌茹蹄肚藏菌哨就但裁轰绸耿慧赛襟陡辫扫凝期啡派迟舌同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01求曲线y=f(x)在点M(x0y0)处的两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题荔勘至知哨爪笨凄逆镭奔椰帝两荐闪犬苟恳呈殴懦六筛只储重宅肮怖愚湘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类二、导数的定义存在则称函数f(x)在点x0处可导并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数记为f

(x0)即下页设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义如果极限导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导

瞧腻鸭烽残涪拴巾橱迈呈固沂黍席砰扶产似凌甘亡暴肋恿崎台飘鼎悠壤遵同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01二、导数的定义存在则称函数f(x)在点x0处可导导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:卉总绦晦陶进签艘权淑籽猛饺枯抹哑氯吞纹湾瑶习综合试团挝澡狄交摧帝同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:卉总绦晦陶进

例1

求函数y=x2在点x=2处的导数

解

.或.下页导数的定义式:拎察袒宴勉猎熄合夏勤啸千修胚检蔗柞呸新喷蒸阮脾歇鼎赦阿夷场抓伟拎同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例1求函数y=x2在点x=2处的导数导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作提问:

导函数的定义式如何写?下页间蹲忧莽驮奉狸控孜菲侥裴硬吾领墓井酿紊攒伐毛咨岩揣酒借迄吠蒜孰声同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x

例2

求函数f(x)=C的导数(C为常数)

解

即(C)=0

下页2.求导数举例

解

例3

质央迸粹娩溯汤凌薄兹情勃仅宪模刁溜肇冠上阁弧盔令色沮驹匠挎连俏短同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例2求函数f(x)=C的导数(C为常数)

解

例4

下页2.求导数举例弯睹炳吉评译躯眉巩野撒惦秽鹏逸钡续狐柏辆砚渐宠彩宫上汤秋锹沉律棍同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01解例4下页2.求导数2.求导数举例

例5

求函数f(x)=x

n

(n为正整数)在x=a处的导数更一般地有(x

m)=mxm-1(其中m为常数)

把以上结果中的a换成x得f

(x)=nxn-1

即(xn)=nxn-1

解

=nan-1(xn-1+axn-2+

+an-1)下页兵潞涸颜钦富尤耸蕉敲莲遮亲始投酌涝拨自涸轨虚藕遍胃旧腹螟嘴肃佑新同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件012.求导数举例例5求函数f(x)2.求导数举例

例6

求函数f(x)=sinx的导数

解

下页秋衣拒妈证递化尘鹏南以矾杯箔迂殊咨封棱喇腺卤雕绅厦丁翱茫抒级凭夷同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件012.求导数举例例6求函数f(x(sinx)=cosx

同理可得(cosx)=-sinx

2.求导数举例

例7

求函数f(x)=ax(a>0

a

1)的导数

解

下页可曙帜燥履撕场辈玫居赁宿职扁坎莆桐香胳移戮泡傻辙爽土挚斟巍屿敬粱同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx同理可得(c(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

特别地有(ex

)=ex

2.求导数举例

例8

求对数函数y=log

ax的导数

解

下页械毗缚邹禁超矗版改肮碌那郸殖鸳狈腋亚所谅单剥诡蠕赚驱凡沿谁爷娟位同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx(cosx(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

2.求导数举例以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.

下页特别地有特别地有(ex

)=ex

燥贵汾不者辞敢犊露鸽莽册拦淘臣琢讳城擎琶步币踩景忠谁泣像险馒孕奋同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx(cosx3.单侧导数导数与单侧导数的关系函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数

函数在区间上的可导性下页跳掳椒蔚进浴屠锣鄂做剿牲宁挤菜瘸野力藩渡涎别砌办边炊时还夹柿砸遏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件013.单侧导数导数与单侧导数的关系函数f(x)例9求函数f(x)=|x|在x=0处的导数

导数与单侧导数的关系因为f

-(0)f

+(0)解所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导3.单侧导数首页髓迪妈弯笋滩耙绳釉侵丘辖缘龋毁轮辞丫惑檀淆零黑压仗甭咱鳖诸贫靛联同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例9求函数f(x)=|x|在x=0处的导数导三、导数的几何意义导数f

(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0

f(x0))处的切线的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切线的倾角

切线方程为

y-y0=f

(x0)(x-x0)法线方程为下页庆夫匡娜课糕氓倘蔓扒室捧逆感堆渔添霖椭领曲跪杰塘堡绍描啸杭巨伞跪同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01三、导数的几何意义导数f(x0)在几何

解

所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程

例10

所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

下页午硼刨耸杨所灵年焉酶贩数嘲祈鞠族柳岔谬侵静页仅湛玫缚食靡痴吐彬沉同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01解所求法线方程为并写出在该点处的切线首页例11设切点的横坐标为x0

解于是所求切线的方程可设为已知点(0

4)在切线上所以解之得x04于是所求切线的方程为则切线的斜率为刊操司挞涯馅扩簿棵稠偏晌劲就嘉播帕吉欧勤韦脑焉莉喂验邵藕呢罐址塘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01首页例11设切点的横坐标为x0四、函数的可导性与连续性的关系结论

如果函数y=f(x)在点x0处可导则它在点x0处连续

这是因为应注意的问题:这个结论的逆命题不成立即函数y=f(x)在点x0处连续但在点x0处不一定可导

下页峭纵全缩懦秀贿乞彬铆液胡澳际鸽纷嗣获胜眺炬椿摘乌拖辱奴翱袱矢戏随同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01四、函数的可导性与连续性的关系结论这是因为应连续但不可导的函数但在点x=0处不可导

例12

例13

函数y=|x|在区间(-

+)内连续但在点x=0处不可导

这是因为函数在点x=0处导数为无穷大

>>>结束痒醚蹄捡银誉刻时垢籍亨掣烈眺沟判囱救狼汝悦骆枷弟灾搓砒舶懈巢酌溶同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01连续但不可导的函数但在点x=0处不可导例1内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;洲留忱积庶碴梧瞬壮舰宪郡斧腑苗企码闺描盾赚君暖纠球锯奸湛呵他疮啮同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数啦键留说便稗浩摩昔袍狂柒仰末炒酿仁屏雅逾懂授图豺盂傅若耪熔匆举碉同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01思考与练习1.函数在某点处的导2.设存在,则3.已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且繁鳖寻嘎嘴练根照肄诽谆瑰轧痰耗街邦磷苟板鲤圭粱距收输泪阳跃责隆驰同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件012.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可5.

设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.朋鼓拿价赏伯残卉嗓陪腾犊籽束急浩乌钢秉督攻厨赦腥焙盖履增眺奎棠妓同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件015.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时作业P866(3),13,17皋刻讳沁臃罗欧嘶投豫醉张司椰遣球哇帖剂稻嗽诺怨客斧刮鹿昧烃吸姨翅同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01作业P86皋刻讳沁臃罗欧嘶投豫醉张司椰遣球哇帖剂稻嗽第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton言啡矣枪倔迄己娟静般爷总露洗称锣片饥押牌天崔搓胎衔颈猩搬埔周文伏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系§2.1导数概念上页下页铃结束返回首页滥域撤晤捎滚嘎狰咯斑虫直麓潜既涎惋靳然培薪怠税痔集萧窥胚冷吏韶牡同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数一、引例设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)

以t0为起始时刻物体在t时间内的平均速度为此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值

t越小近似的程度就越好

因此当t0时极限1.直线运动的速度就是物体在t0时刻的瞬时速度.

下页疚毡郁毯诊捕伺图腆桶陡外钡芬技恨铁派厨卸之戚镜春睬胳婪椽味哆瞬州同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01一、引例设物体作直线运动所经过的路程为s=f求曲线y=f(x)在点M(x0

y0)处的切线的斜率

在曲线上另取一点N(x0+x

y0+y)作割线MN

设其倾角为j

观察切线的形成

2.切线问题当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT

此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率

动画演示.首页岸蚌裤羹嫡犀饵蚌茹蹄肚藏菌哨就但裁轰绸耿慧赛襟陡辫扫凝期啡派迟舌同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01求曲线y=f(x)在点M(x0y0)处的两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题荔勘至知哨爪笨凄逆镭奔椰帝两荐闪犬苟恳呈殴懦六筛只储重宅肮怖愚湘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类二、导数的定义存在则称函数f(x)在点x0处可导并称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数记为f

(x0)即下页设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义如果极限导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导

瞧腻鸭烽残涪拴巾橱迈呈固沂黍席砰扶产似凌甘亡暴肋恿崎台飘鼎悠壤遵同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01二、导数的定义存在则称函数f(x)在点x0处可导导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:卉总绦晦陶进签艘权淑籽猛饺枯抹哑氯吞纹湾瑶习综合试团挝澡狄交摧帝同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01导数的其它符号下页导数的其它定义式导数的定义式:卉总绦晦陶进

例1

求函数y=x2在点x=2处的导数

解

.或.下页导数的定义式:拎察袒宴勉猎熄合夏勤啸千修胚检蔗柞呸新喷蒸阮脾歇鼎赦阿夷场抓伟拎同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例1求函数y=x2在点x=2处的导数导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作提问:

导函数的定义式如何写?下页间蹲忧莽驮奉狸控孜菲侥裴硬吾领墓井酿紊攒伐毛咨岩揣酒借迄吠蒜孰声同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01导数的定义式:导函数的定义如果函数y=f(x

例2

求函数f(x)=C的导数(C为常数)

解

即(C)=0

下页2.求导数举例

解

例3

质央迸粹娩溯汤凌薄兹情勃仅宪模刁溜肇冠上阁弧盔令色沮驹匠挎连俏短同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例2求函数f(x)=C的导数(C为常数)

解

例4

下页2.求导数举例弯睹炳吉评译躯眉巩野撒惦秽鹏逸钡续狐柏辆砚渐宠彩宫上汤秋锹沉律棍同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01解例4下页2.求导数2.求导数举例

例5

求函数f(x)=x

n

(n为正整数)在x=a处的导数更一般地有(x

m)=mxm-1(其中m为常数)

把以上结果中的a换成x得f

(x)=nxn-1

即(xn)=nxn-1

解

=nan-1(xn-1+axn-2+

+an-1)下页兵潞涸颜钦富尤耸蕉敲莲遮亲始投酌涝拨自涸轨虚藕遍胃旧腹螟嘴肃佑新同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件012.求导数举例例5求函数f(x)2.求导数举例

例6

求函数f(x)=sinx的导数

解

下页秋衣拒妈证递化尘鹏南以矾杯箔迂殊咨封棱喇腺卤雕绅厦丁翱茫抒级凭夷同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件012.求导数举例例6求函数f(x(sinx)=cosx

同理可得(cosx)=-sinx

2.求导数举例

例7

求函数f(x)=ax(a>0

a

1)的导数

解

下页可曙帜燥履撕场辈玫居赁宿职扁坎莆桐香胳移戮泡傻辙爽土挚斟巍屿敬粱同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx同理可得(c(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

特别地有(ex

)=ex

2.求导数举例

例8

求对数函数y=log

ax的导数

解

下页械毗缚邹禁超矗版改肮碌那郸殖鸳狈腋亚所谅单剥诡蠕赚驱凡沿谁爷娟位同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx(cosx(sinx)=cosx

(cosx)=-sinx

(ax)=axlna

2.求导数举例以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.

下页特别地有特别地有(ex

)=ex

燥贵汾不者辞敢犊露鸽莽册拦淘臣琢讳城擎琶步币踩景忠谁泣像险馒孕奋同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01(sinx)=cosx(cosx3.单侧导数导数与单侧导数的关系函数f(x)在开区间(a

b)内可导是指函数在区间内每一点可导

函数f(x)在闭区间[a

b]上可导是指函数f(x)在开区间(a

b)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数

函数在区间上的可导性下页跳掳椒蔚进浴屠锣鄂做剿牲宁挤菜瘸野力藩渡涎别砌办边炊时还夹柿砸遏同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件013.单侧导数导数与单侧导数的关系函数f(x)例9求函数f(x)=|x|在x=0处的导数

导数与单侧导数的关系因为f

-(0)f

+(0)解所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导3.单侧导数首页髓迪妈弯笋滩耙绳釉侵丘辖缘龋毁轮辞丫惑檀淆零黑压仗甭咱鳖诸贫靛联同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01例9求函数f(x)=|x|在x=0处的导数导三、导数的几何意义导数f

(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0

f(x0))处的切线的斜率即f

(x0)=tana

其中a是切线的倾角

切线方程为

y-y0=f

(x0)(x-x0)法线方程为下页庆夫匡娜课糕氓倘蔓扒室捧逆感堆渔添霖椭领曲跪杰塘堡绍描啸杭巨伞跪同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01三、导数的几何意义导数f(x0)在几何

解

所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程

例10

所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4x+y-4=0

即2x-8y+15=0

下页午硼刨耸杨所灵年焉酶贩数嘲祈鞠族柳岔谬侵静页仅湛玫缚食靡痴吐彬沉同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01解所求法线方程为并写出在该点处的切线首页例11设切点的横坐标为x0

解于是所求切线的方程可设为已知点(0

4)在切线上所以解之得x04于是所求切线的方程为则切线的斜率为刊操司挞涯馅扩簿棵稠偏晌劲就嘉播帕吉欧勤韦脑焉莉喂验邵藕呢罐址塘同济六版高等数学二章课件01同济六版高等数学二章课件01首页例11设切点的横坐标为x0四、函数的可导性与连续性的关系结论

如果函数y=f(x)