小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题

数论——数的整除和余基本概念和基本性质整数除以整数≠0的商是整数而没有余数们就说a被b整除，或者说b能整除a。b∣a，读着b能整除a;或能被b整除；ba，不能整除；传递性果a|b,b|c,那么a|c;b是a的倍数是的倍数c肯定是a的倍数；加减性：如果a|b、a|c，那么a|(bc);因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除,则或b能整除c;互质性，如a|cb|c，且=1,那么a即如果能整除c,b能整除，且ab互质，则b的积能整除c;个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。2.2数整除的判别法整除数

特

征好朋友10，个零，所以判断末位；2和5：末1位能被2整除；尾是0、、、、8：末1位被5整；尾是、；好朋友100，个，所以判断末2位；4和4或25：末位数是4（或25的倍数好朋友1000个零，所以判末3位；8和1258或125末3位是8（或125的倍数好朋友个零，所以判断末4位；和625或：末4位数是（625）的倍数或9整除）各数位上数字的和是39的倍数，则能被39整除。173652÷9:1+7+3+6+5+2和除以3；简便算法，利用整除的加减性，可以去1或多个9，剩下数字的x再除以3或9；如果9,则余数为果﹤9,则余数为x11从右往左编号号为奇数的为奇数位号为偶数的为偶数位奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11除；8172903311:数位和为为27位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11断法与整数位的判断法一致。7/11/132.2.4.1基本法从右往左三位一截并编号数的为奇数段数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7整除；如86372548，奇数段的和为的和为372求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面1个或多个7直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。2.2.4.2特殊法①一般求空格数如果中间有空格用加减性加或减除数7倍数从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。395864□82365，答案为463925□01234，答案为和8②特殊求空格数根据整除的因数性数能被1001除数能被77791、143除，因为：7×1113=1001;7713=1001;9911=1001;7×143=1001;根据=×1001;

=×1001;求能被整除的空格数9整除）除数是几位数就可以从右往左几位一截截取的段位数相加再截取至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999除。除数是11可以用两位一截判别法为根据整数的因数性被99整除的数，肯定能被11除。例如：2.3余的判别法①整除是余数为0情况。÷b=c..0；此时，a=c;b=÷c②有余数的情况：a÷b=c..d（0﹤db此时，a=bc+d;b=(a-d)÷c;c=(a-d)b记着：d(modb)【注意：当被除数是比除数小非零自然数，则被除数为余数；当被除数比余数大，则减去除数的倍数所得比除数小的数为余数。序号

除数

余数判别法

特别要点1

末1位判断法；看末能否被2整除；尾、2、、、能；2和524和25

末2位断法

看末1位能被5整；尾是0能；末2位是4（或25）的倍数即能被4或25整除

8和125和625

末3位判断法；末位是8或）倍数末4位判断法；末位是16或）的倍数5

数字和法；

各数位上数字的和是3或9的倍数则能被3或9整除。6

3或9、13（）

弃（9）法；利整除的加减性可以去掉1个或多个（包括几个数的和是3或9倍数的也可划掉剩下数字的和x再以或9如果x﹥则余数为x-9;如则余数为0，能整除；如果x9,则余数为x。三位一截奇偶从右往左三位一截并编号编号奇数的为奇数段编号位求差判别法为偶数的为偶数段看奇数段的字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、、除；如86372548，奇数段的和为（548+86，偶数段的和为，求两差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多7，直到够减；7

两位一截求和

两位一截将截取的段位数相加截取至不能再截取，、99

再截判别法

看能否被11或99除，注意，根据整数的因数性，能被99整除的数，定能被整。8

奇偶数字和求差判别法

从右往左编号编号为奇数的为数位编号为偶数的为偶数位看奇数位上的数字的和偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；÷11:奇数位和为，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小则奇数位和加1或多个11到够减可无敌乱切，但还是常用奇偶位截断求差法；9

三位一截求和

从右往左三位一截，将截取的段数相加再截取直至不

再截法四位一截求和

能再截取，看相应的数能否被999整除。从右往左四位一截，将截取的段数相加看相应的数能法

否被11整除。如：9876543223456768，除以2,5,4,25,8,125,3,9,11余数为0,3,0,8,0,18【例】将12,3,4…30左往右依次排列成一个51数，这个数被的余数是多少？奇数位数字和…）×2+0+9+7+5+3+1=115偶数位数字和：3+210+110+8+6+4+2=53115-53=62；÷11，余7；【例】求

被13除数是多少？解：注意13|111111，即每连续6个1是13的倍数，且2012除以余，所以答案为11【例】把自然数120112011数依次写下来，得到一个很大的多位数：123456789101112.20102011，则这个数除以余数是1.无敌乱切，按1/2/3/42011的等差数列求和，看除以的余数；2.3.2.1定义:用给定的正整数m分别除整数得的余数相等a、b关于模m同余或a余于b模a≡b(modm)56（式子称为同余式，m为该同余式的模。充要条件数模余的充要条件是a-b能被或a≡b(mod的充要条件是t整数2.3.2.2同余关系具有自身性、对称性与传递性，即自身性：a≡a(mod对称性：若a≡b(mod则b≡am);传递性：若a≡b(modb≡c(mod，则≡c(mod2.3.2.3定理1若≡b(mod自然数，则≡bn(mod；ab于关于模m同余，则、b的同倍数也关于模m余；定理2若ca≡cb(modm),(c,m)=d最大公约数）,且a,b为整数，则a≡b(mod推论若ca=cb(mod(c,m)=1,且a,b为整数，则≡b(mod定理3≡b(mod≡b(mod则a≡b(mod[m,n]).推论若a≡b(modi=1,2,，则a(mod[m1,m2,..,mn]).【例1996上一个整数被9除数尽可能小，那么加的整数是多少？1996≡16(mod；99-16=83定理4若a≡b(mod则ann(modm),其中n是自然数。2.3.2.5若a≡b(modc≡dm),则可以将这两个同余式左右两边分别相加、相减或相乘：a+c≡b+dm);即和的余数等于余数的和c-d(mod差的余数等于余数的差；ac≡bdm)；即积的余数等于余数的积；【例】316419813以13得的余数2.3.4.1有余数的情况：a÷b=c…..d（0d﹤bb=(a-d)c;或c=(a-d)÷b如果，只知ad,求bc【例】1111÷某位=（）..662.3.4.2①余数不确定——余数的和【例1】63=m×（+a90=m（）+b130=m×（）数和为（63+90+130）=m×（+（）（）+25（63+90+130-25=m×（）258=m×（）258约数有8：/258/129/866/43因为余数要小于除数，判断9m﹤所以m=43②余数不确定——余数相同【例2】300=m（商）+a262=m×（）+a205=m×（）+a,根据同余定理：m∣（）=∣38m∣（）=∣57m∣（）=∣95满足两个即可数小的算同时满足能整除3857求这两个数的公约数，分别有119答案为。③余数不确定——余数的差【例3】97=m×（商+a+329=m（）+a变为94=m（）+a,根据同余定理：m∣（94-29=m6565的约数有1/65,5/13除数大于余数，排除和和都满足；④余数不确定——余数的倍数【例4】61=m×（商+2a90=m（）+a变为180=m×（+2a,根据同余定理：m∣（=∣119119的约数有1/119,7/17，除数大于余数，排除1和119,17满足；周期性的用法：可用以求某个数的若干次方的个位数：【例】的个位数：3的若干次方的个位数，依次枚举，找出循环规律4个一个周期2015除以4，余几为周期内第几个。幂的余数的求法：求底数的余数算底数的幂的余数的周期性根据指数相应的周期来确定最终的余数；【例】以7的余数：≡≡（mod76,36,196,1176除以7的余数分别为6,1,6,12为1周期÷2=50余0，故余数为1特殊情况：①【例】3除以8的余数：≡≡（mod8）9除8余数为1所以无论指数多少，余数皆为1。【例】除以的余数：【例】除以余数：【例】+除以7余数：②作业523次方以上模的余数皆为02.3.6.1【题目】今物知其数三三数剩二（数除三余数二意思,五五数剩三七数剩二,问物几何（韩信点兵算所谓剩余定理）【解法】三人同行七十稀；把除以3得的余数用70五树梅花廿一枝；把除以5得的余数用21；七子团圆正半月；把除以7得的余数用15除百零五便得知；把上述三个积加起来除以105余数即为得数；2×70+3×21+215=233233105=2…23得数为23。不数余问的解基的举从除数大的开始枚举；先找同时满足两个除数的最小符合数，再加这俩除数的最小公倍数，直到满足所有除数的最小的符合数；再加所有除数的最小公倍数×n直到符合题意；【例】3余25，7余2，求满足条件的数；【注意】①从除数大的着手；【例】5余4,97余11,98,195得389；②找最小符合数时不要忽略商为0情况；【例】某除4823除23某最小的答案就是23【例】例349余23,48余23最小符合数为23连续两个自然数的最小公倍数为其积；4849能除14余数是14余数，全是③在所有除数的最小公倍数内一定能找到最小的满足数；④多个符合数必然是一个以所有除数的最小公倍数为等差的等差数列不数余问的解特情①余数相同的——小符合数就是余数的为除数的最小公倍数的倍数+余数（即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数【例】5余4,74,9余最小的为4【例】某除4、除除皆余1某=4/5/6公倍数+1②差相同的——余数都不相同但除数与余数的差相同的最小符合数为除数的最小公倍数-差；其他符合数为除数的最小公倍数的倍-（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数【例】5余3,7余5,9余7都补上两个的就都整齐了，所以为最小公倍数-2；为313；【例】5千多根火柴棍，10根一盒的分余，9根一盒的分余8根一盒的分余77根一盒的分余66根一盒的分余55根一盒的分余4问到底多少根火柴棍？109，98余77余66【5,6,7,8,9【1,2,3,4,5,6,7,8,910】-1=2520-1=25192519+2520=5039【例】有不足100苹果，如果是一堆，那么剩余个9个一堆剩余8个一堆剩余51堆剩余个一堆剩2；求开始有多少个苹果？【10,9,6,5,3】-1=89③和相同——余数都不相同的除数与余数的和相同的以转化为同余的，最小符合数就为最小的除数余数；他的符合数为除数的最小公倍数的倍数+和（也即最小符合数+除数的最小公倍数的倍数【例】5余4,72,6余最小符合数为5+4=9；【注意】多个除数的时候一定先看有无特殊情况；先利用部分特殊规律的，再找一般的；【例】3余2,54,7余【例】3余余余先找同余2+35,37+满足的3个的最小公倍数；物知：以来决以6的余数的算法：质解求A=123456319被12/14/15/45/99的余数；将12质分解=4×求同时满足除以4除以3的；3（mod4;(1+2+3+(1+319)319÷2160319×（mod3）4余3,3余，最小符合数为，其他符合数为×n所以（mod12;【注意】①常见的互质分解有3,14=2×7,15=35,45=59；105=3×57其中105的频率最高；【例】5余4,97余11,98,195得389；②99两种算法，两位截断法和互质分解；求A=123123123被99的余数；︸123123互质分解法：将99质分=9×11,求时满足除以9除以1