圆锥曲线第十三章圆锥曲线

第十三 圆锥曲圆（1）数与形的相互转化知识梳方 与曲线C满足方 的解为坐标的点都在曲线C则称方曲线C的方程，曲线C为方 的曲点(x0,y0)在曲 上，则F(x0,y0)0，反之亦P(xy典型例【1（1）ykx1x2y2kxy40y（2）设两条直线a1xb1y10a2xb2y10交于点(23)，则过点P(a1b1)Q(a2b2的直线（1）k1，交点(2,1和（2）由题意得2a13b110且2a23b210P(a1b1和Q(a2b2在直线2x3y10上，故所求直线方2x3y10【2（1）MA(2,0)B(8,0M的轨迹方12x221212x2212x82（1）

MB, x2x2y

x2y2（2）PxyPA当y0时,x28

y2,

y说明：求解动点轨迹方程的基本方法之一是直接法，即建立动点x,y的等量关系（00B(6,0),运动，求

解：设ABC重心坐标为x,y,顶点Cxc,yc06xc33

xc3x6yx2 00

3y(3x6)23y3(x2)2【4P1,1作直线lxy轴分别交于A、BAB的中点M的轨迹方程解：由题意斜率必存在，设直线l:y1k(x1)x0,yk1;y0,x11k11 令M ,k1 1x 设Mx,y,则 消去k，得3x2y2xy0yk x,y的方程，就是所求轨迹方程。【备用题1】试从平面曲线方程的概念出发，类比推广出空间曲面方程的概念，并以此求足下述条件的平面方程：已知点M(121的一个法向量为n1,13，求平面解：方 与曲面C满足 方 则称方曲面C的方程，曲面C为方程 设平面上任意一点P(x,y,z)，则有MPn0即(x1(1y21z13故平面的方xy3z22（1）M(a,bCF(ab0F(xy不是曲线C（2）C1xy2x20与曲线C2xxyya0有且只有两到3xy2a0述解法正确，学习并解决如下问题x22y21与3y2axb3个不同3（1）x22y21两边乘以3再与3y2axb

x2y2axb1 巩固练方程(x24)2(1y2)20表示的图形为 一个 四个 5Ayx215

A方程ax2by24的曲线过点A(0,2)、 ，则a ，bB(,24A、BxyABMyxbyx2x2有两个交点，则bCf(xy0关于点(ab的对称曲线D y

y

x2y2

xyF(40)x6已知ABCABC在直线l求ABCM

4BC边上的高为BCxBCy2xyk0x2y22x0k（1）它们有两（2）My1x21MOP的中点（O为原点2PCyx22x2（1）C关于点(20)C1的（2）Cxy30C2的方程。知识梳 x2y2r2r0，其中圆心(00，半径(xa)2yb)2r2，其中圆心(ab，半径x2y2DxEyF0（D2E24F>0）其中圆心(DE D2D2E22xr

yrsin（02，为参数xarybrsin（02，为参数ddrdr直线与圆相切；当dr直线与圆相离直线与圆相交时所截得的弦长（弦长的一半、dr构成直角三角形典型例（2）与直线l1x2y10，l2x2y90均相切，且圆心在直线3x2y10上，A（41x2y22x6y50B（1，2，求圆（1）(x1)2y2)251设l1l2的距离为d51

25,r5设与l1,l2平行且到l1,l2距离相等的直线方x2yc5c1c9得c

xx2y4

即圆心511 483x2y1

y 所求圆 (x5)2(y11)2 已知圆化简为x12y32x y直线 ,即xy3

直线ABxy20

3x12

y

,即x2y50②，由①②得：所求圆心坐标所求圆方：(x3)2(y1)27【2x3y0yyx上截得的弦长为7

(xa)2(yb)2r22ya3b0xr(7)2ab)2r22所以圆方：(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)2【3】已知圆x2y28x2y12

A（3，0xy3xy3【4（1）P(2,1x2y24（2）P(1,3x2y24相切的直线方解：（1）3x4y100x2（2）x3y4【5P、Q的坐标分别是(ab、(3b3aPQ的垂直平分线 ；圆(x2)2(y3)21关于直线l对称的圆的方解（1）-1（2）x2(y1)21（2）x（3）解：圆方程化简x2y22x2y2转化为到原点的距离的平方。得(x2y2 yx

23y3

由1

,kk2即k(3][3（3）x2yc5451 ,得c545由5x2y 45令

x

02y2x2ycos42sin5x2y 45

5sin巩固练

B0，AC0”是方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆 过点（4，6）的圆(x1)2y2)225直线2xy10和圆x2y22mx4mym210的位置关系是 (A)相交但不过圆心(B)相交且可能过圆心(C)相交或相切(D)2x2y22x4y30xy102 1 2 3 4

的点共有 圆心在原点，且圆周被直线3x4y1501:22圆心为(21xy10上截得的弦长为2

A(40作直线lx2y24M、NMNPx,yx2y24x10xyx2y1)21P(xyxym0，则实数m是44

kx1有两个不同的实数根，则实数k已知直线l(2m1)xm1y7m4C(x1)2y2)2求证：直线lC求出相交弦长的最小值及相应的mCx2y24x6y（1）C关于直线la(x2y2a)(2x3y4)0对称，求实数aCC1x2y2Dx2yF0x2yb0对称，求D、Fb已知x2y26mx2(m1y10m22m240(mR（1）求证：不论m何值，圆心在同一直线l（2）与l平行的直线中，那些与圆相交、相切、相离？（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被圆截得的弦长与m无关。已知x2y22(m3)x2(14m2y16m490表示一个求实数m知识梳

2cPPF

2cP点轨迹为椭圆2a=2c点轨迹为线段FF

1

x y

1（ab a

y x

1（a

，其中c2a2b2a 直接能求出a、xyaxaby典型例【例1】根据下列条件，分别求椭圆标准方程x3y603倍，且过点(22,3)。（1）A60,B022

ABb6c2

40

ABb2c6

40

x2y2

1a1

a6c3,则b2a2c2

acx2y2

x21 1由a3b

9点223代入(1)式得b289；代入（2）式得b29x29y2

x21 1【2（1）若方程(m1)x22y2m22m30m（2）椭圆a2x2ay21的一个焦点是(2,0，则a2（1）由(m1)x22y2m22m3知m10且m22m31m的范围为1

2y y 则12)22，且a0a1 【3（1）A（2，0，且与圆(x2)2y236M程x2 y

（1）MxyMB6MA,MBMA6x2yx2

PFPF10,PF2PF22PF

100 PF2PF2F

212 112S PFPF 【4F1(40F240F2x

F1BF2B10A、CF2AF2BF2C（1）（2）x2y2（1）

9 99（2）B(4,5

F2B5(x4)211(x4)222(x4)211(x4)222

2 1A、Cy21

9(25x2)，y2

9(25x222x1x2

AC2【5（1）P(xy2

y1(ab0上任一点，Fy

350公里（指与地表的距离6370公里，试用（1）的

a2（1）

(xc)

x2cxa

(x

)，x[a,c2aaxaP2c

ac当xa，即P在椭圆右端点时， a（2）由（1）ac3506370，ac200a6645，c75，于是b2

1 12【备用题】以椭圆C:2

1(ab 1(ab

a2a2该椭圆的“准圆”.设椭圆CAFBAB2SOAB

2求椭圆C

a2b2的直线l与椭圆CMN两点，当OMON0直线l交“准圆”所得的弦长 （1） 3

1xy巩固练中心在原点，两焦点坐标分别为(20)(20的椭圆过点53 为xy xy椭

1MF12NMF1ON229

4

3长为43

，且F1BF2

3

x a

ya

1表示的曲线为椭圆，则a已知(40)是椭圆kx23ky21的一个焦点，则k

y 1(m0yy

2xMx2为椭圆的右焦点，则m

1

9 4 (A)长轴长相 (B)焦距相(C)短轴长相 (D)长轴长、短轴长、焦距都不相x2y21(ab点F是椭圆

0的一个焦点，PQO角形PQF的面积最大值是 a2(A)1 (B) (C) (D)bc（a22A(30，且与圆(x3)2y264M中心在原点，焦点为(0,52的椭圆被直线3xy20122B24

y

1上的动点，点A(0,2)PAB2:122

yy xPAPFPMABMAPMBM知识梳

2cP PF 1 x2y2 xay

1（x

0

ya

1（a0，b0，其中

a

x y

1

y a a222焦点在y轴上的y yaa xyxax典型例x y【例1（1）双曲 a

1（a0，b0F1PQ两点，另一焦点为F2PQm，则PQF2x2x设P为双曲 x2

2y91F1、F2y2

9PF1 4

（1）

PF1

8

117

PF 4FF2PF2PF22PFPFcos 1 20

PF2PF2PFPF(PFPF)2PF

123PF2123S

2 y22 1若表示椭圆，则k的取值范围 2线，则k(x(x1)2

k1(x(x1)2

2（1）

x2

yk

1若表示椭圆，则由2k0k10且2kkk的取值范围为

(

,2)x2

yk

1若表示双曲线，则由(2k)(k1（xy轴上（2）y0(x说明：求解关键，就是区分曲线的标准方程。并注意椭圆标准方程中ab，即注意“圆”【例3】求满足下列条件的双曲线方程22

y

1

y3xP(-

3)225

y3

2渐近线为3x4y02

y1y （1）椭圆焦点坐标5,0，顶点坐标

y2x1a x1c5a

y2x231 x231

yx x

k

0，把点P

代入上式，解得k

x21 1

y

kk

x2y2x，1 x，1由c216，得

x2 x2 1

y2x2

y2xk xk由题意双曲线的焦点为

满足16k9k10或9k16kk2或k5x5x

5y

1

5y9

5x211

y 1yyy线 k(k0)，若k0，即为双曲线的两条渐近线；而以直线mxny 为渐近线的双曲线可设为(mx)2ny)2k(k0)【4（1）M(xy到点F1（5，0）M到F2（5，0）8，求M的轨迹方程.（2）C:(x3)2y21C:(x3)2y29MCC M解：(1)MF1

c5,2a8,b29双曲线

（2）设动圆半径为r，由题意MMC23r,MC1MC2双曲线

2y21(xx8x22【5M(20)N(20P

PMPN

P迹为W求WN(2,0作直线l交曲线WAB两点，使得|AB|

2，求直线l22P向圆Cx2y4)21AB，令|PC|=d,dPAPBPAPB的取值范围。2（1）

PMPN

P的轨迹是以M(20)N(202实轴长为2

2即设2a22,2c4a 2,c2,b2所以所求的W的方

x2y2（2）kx=2A(2,2)，B(2,-2),|AB|=22满足题意；kl:y=k(x-2)x2y2联立ykx2(1k2x24k2xx2y21k2由题意知

kRk1k1k

|a8k2即|1k2

1k2

2k=02所以直线l的方x=0或PAPBPAPBcosAPB(d21)(12sin2 12

(d21)(d2(d21)12 d d(d21)(d2PAPBd2x2y4)2y22y4)22y28y(d21)(d2PAPB dd

23----d2d2f(dd223在10

f(d)10

237d

则所求的PAPB的范围为752【备用题】F2

y yPAPF的最小值.9巩固练

方程mx2ny2mn0(mn022

yy 以椭圆3x213y239y1x22渐近线 3x4y0，焦点为椭圆2

2y1y 9则F1PF2

yy

t

t

1是双曲线，则t

x2y2

已知双曲线的半焦距和实半轴之比为21F1F2P11

123若等轴双曲线的中心在原点，焦点F1F2在坐标轴上，且过点(4,M(3mMF1MF2

求F1MF22P(2,12

y1Fy（2）F的直线lA、BAB不超过4，求直线l的倾斜角的取值范围知识梳F和一条定直线lF叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。抛物线标准方程及焦点坐标、准线方程（pF到准线l距离 xy22px（p0xyx22py（p0yx22py（p0典型例【例1（1）抛物线x24y的焦点坐 PA（0，2）y31P顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过(2,4)的抛物线方 x22pyp0)上的点(m,35p（1）x2(yx2(y

y31，化简得x28PA（0，2）y2P

x28

y22pxx22把点(2,4)代入，得方y28x或x2由题意知(m,3yp5，即3p5p 【例2抛物

y26xF作倾角为45的直线与抛物线相交于（2）（1） yx3，代入y26x，得x29x9 9由定理得AB中点为(,3)，弦长AB为2

(x9)2(y3)236

x 323【3P(xyF（1，0）y21PC；②A（3，2PCPAPF2P（1）2 2 ：y22xx0和y0xx0PFPPAPAPF72x32当x0时，PAx32PAPF2

1 12x 2【4】抛物线y2xAB3ABMy轴的距离的最小值，并写出此时点M的坐标解：设AxyBxyMxyF1,04 4 AFx14,BFx24AB

AF

1

12x

3

13x AB

AFBFABFx0k线，kAB y2y1

y2

1，

y，y x22x222

y2x

y1

2

5 ,2,252 或M 2 2【1（1）y24xFA、B将（1）y22pxp0)，横坐标之和改为t23（123

yk(x1y24x2

2k2kx(2k4)x

0，由x1x2 k

5k

y23(x1)当直线斜率k不存在时，直线 xp，则xx 故当tpx2当直线斜率k

yk(xpy22pxp2k2

2ptp

，故当tp【2yk(x2)(k0与抛物线C:y28xA、B两点，F为FA2FB，求k223巩固练y24x0yax2x2y40上，则抛物线4x2y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线xy2y24xA、B两点，那么线段AB设Oy22xA、B，则OAOB过抛物线y24x的焦点作直线交抛物A(x,y)、B(x,y两点如果xx6 ABy24xA(2,1PP

PAy22pxp0)M的横坐标为910，求抛M点的坐标2044米需用一支柱支撑，求其中最y28xM(a,0)且斜率为1的直线lA、B求NAB

（1）（2）Pa,0Qy22xPQ知识梳x（y）利用判别式：检验直线斜率k典型例【1（1）P（0，1）y22x2yaxb2

y y 22

y 1(ab0y直线2xy10与圆锥曲线C交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点，且MN y1y2yx2上距直线2xy42ykx1025

1恒有公共点，则m m（1）当斜率kykx1y22xyk2x22k2x10，ⅰ）k20时，有一解；ⅱ）k01

k2y

x1或y1或x2

60，且渐近线斜率为k22

y

2(x 2b2b直线为xc，代入椭圆得y ，故弦长a

ay

y

(yy

，x ，则(x1x2)

114MN14

y

2 ，得yy2 设与2xy4平行的直线方2xyc0代入yx22xc0（*，由0得c1，此时方程（*）x1，则所求点为直线过定点(0,1，则该点在椭圆上或椭圆内，故m【2】对问题“已知双曲线2x2y22P（1，1）M、NPMN的中点？这样的直线若存在，求出它的方程；否则，请

y1kx1与双曲线2x2y22y2k2x22k22kxk22k3x 2k2 2xP1 2 2 22这样的直线不存

,k2，但此时8M(x,y)、N(x,y，则2x2y22且2x2y2 相减得

y2y12y12(x1y2x x 解：解法二错误，从解法一可以看出，当k2方程；利用判别式判断交点个数情况；利用定理解决中点、弦长等问题。【3xOy中，直线ly2＝2xA、B求证如果直线l过点T（3，0，那么

OB＝3”是真命题 （1）T(3,0)的直线ly2＝2xA(x,y)、B( l的斜率不存在时,直线l

x3，此时直线l66

)、

6 ∴OAOB6当直线l的钭率存在时,设直线l

yk(x3，其中k0y22由ykx3

2y6k0y1y2又∵x11y2x1y22 24∴OAOBx1x2y1y21(y1y2)2y1y234综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OAOB=3”是真命题(2)逆命题是：设直线ly2=2xA、B两点,如果OAOB=3,那么该直线过点(2

,1)，此时OAOB直线AB的 ：y2(x1)，而T(3,0)不在直线AB3 【例4】设椭圆方程x 1，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标4P满足OP

1(OAOB点N2

1(,)当lM2PNP

ykx解（1）假设直线l的斜率存在设为k，则ykx1，由题意得 x4得(4k2x22kx3A(xyB(xyP(xy，由OP1(OAOB得点PAB的中 xx x

4k 得8

4k8

k得

2

yyy y

k（2）x2

11x 121212 1x NP1

x NP1 1【5xOy中，已知双曲线C12xy1 过C1的左顶点引C1x轴围成的11l交CP、Qlx2y211设椭圆C4x2y21M、N分别是C、C 求证：OMN2[解]（1）双曲线C:xy21，左顶点A(2,0)，渐近线方程：y x22 2222222Ay

x平行的直线方y

(x2

y x1.22y x2222解方程组y22

x

，得

y

4 ……2所以所求三角形的面积1为S1|OA||y|2 ……4 PQyxb故2

1，即b22 ……6yx 由2x2y21

2bx

10x1x2P(x1y1)、Q(x2y2)，则x

b212

1OPOQxxyy2xxb(xx)1 1 1 2(b21)b2bb2b220故 ……10ONx|ON|=1，|OM|2OMN的距离为3. ONxON

ykx（显然|k|2OM

y1x2ky2k由

x2， 4k2，所以|ON|21k24x2y2

y2

k4k

4k同理|OM