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文档简介
第八章
能量法沈阳建筑大学
侯第八章 能量法§8–1§8–2§8–3§8–4§8–5§8–6§8–7外力功与变形能虚功原理静定桁架的位移计算静定梁、刚架的位移计算图乘法支座移动引起的位移互等定理§8–1
外力功与变形能一、外力功力在自身作用下引起的位移上作功称为外力实功,简称外力功。P△△dyPP(y)o
yyP00ydyPP(
y)dy
W
W
1
P2二、变形能由外力引起的内力在外力自身作用下产生的变形上作功称为内力实功,简称内力功或变形能。⒈拉压杆的变形能dxNNdx
d△ldu
1
Ndl;2EAl
2dl
Ndx
;
U
1
Ndl;dxEAU
l
2N
2⒉扭转变形能dxdxTd2Td;lU
1PGId
TdxdxlPU
T
22GIdx⒊弯曲变形能dl
2U
1Md
;
EIM
Md
dx
Mdx;U
l
2EI
dxM
2横力弯曲时,可忽略剪力作功,变形能仍按上式计算。组合变形杆件的变形能为dx
l
dx
l
dx2EA
2GIP
2EIM
2N
2
T
2U
l三、实功原理当外力由零缓慢增加到终值时,忽略其它能量损耗,根据能量守恒定律,则外力功转化为弹性体的变形能在弹性体内,即外力实功等于内力实功。这就是实功原理。W
UP
l
dx
l
dx
l
dx22EA2GIP
2EI1N
2
T
2
M
2[例8-1]计算图示梁的变形能。m=PlEI
EIx1APCBx2llM
(x1)
Px1M
(x2
)
P(l
x2
)1010
2
dx22EI
12EI
2
dx22EI
1
2EIll
P2
x22l
M
2
(x
)ll
M
2
(x
)2l
P2
(l
x
)2dx
dx
U
2EIP22llox2dx
1
1
[l3EI10P2l3(l
2
2lx
x2
)dx
]
2
2
2解:BC
段:AB
段:[例8-2]计算图示直径为d的圆截面水平直角弯杆在铅直力P作用下的变形能。(G=0.4E)ABPC2aax2BC
段为弯曲变形;M
(x1)
Px1AB
段为弯曲与扭转组合变形;M(x2
)
Px2
dx
dx
U
0dx2T(x2
)
Pa2a
P2a2022a
P2
x210a
P2
x2
22EI
2GIP
12EIP2GI6EI6EI2
3
2
3
P
a
P
(2a)Ed
42
2
2
3
P
a
2a
176P
a解:[例8-3]应用实功原理求图示1/4圆弧形曲梁B
点的铅直位移。P、R、EI
已知。ddsABPM
(
)
PR(1
cos
)ds
RBy2解:
外力功:
W
1
P变形能:Rd2EIU
l
2EI
ds
M
2
()M
2
(s)dU
202EI
P2
R3
(1
cos)2202P2
R3(1
2
cos
cos
)d2EIddsABPU
202P2
R3
cos
)d(1
2
cos1
12
420
sin
2][
2sin
2EI2EIP2
R3
(3
8)P2
R38EIW
U8EI1PBy
2(3
8)P2
R3ByPR34EI
0.356EI
(3
8)PR3[练
]应用实功原理求图示外伸梁C
点的铅直位移。ABx1AY
=P/2l/2EIlx2
PC解:
外力功:W
PCy21变形能:1
12M
(x
)
1
PxM(x
)
PxIl0U
1P2l3PCy
;2
16EIPl3
Cy
8EI
;实功原理仅能求单一荷载下,荷载作用点处沿荷载方向
的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移,不能用实功原理求解。因此,
实功原理无多大实用价值。§8–2
虚功原理一、外力虚功外力在其它因素(如其它力、支座移动、温度改变等)引起的位移上作的功称为外力虚功ABABP121P2P1△
△P2△P1、△P2为力P
作用下梁1、2点的位移。P
在位移△P1上作功为外力实功,即P1W
1
P2ABABPP21P12W
PP2P
在位移△P2上作的功为外力虚功,即△P1dyPP(y)o
yy△P1
△P2P△P2dyo
yyPP二、内力虚功外力所产生的内力在其它因素(如其它力、支座移动、温度改变等)引起的变形上作的功称为内力虚功
ABCBdxdxqPCP
AdxdxNNdlNNdxdxTTd
ABCBdxdxqPCP
AdxdxNNNdxdxTNdlTdddxMMMMdxdxdxNNNdxdxTNdlTdddxMMMMdxEAdl
NdxPTdxd
GIEId
MdxlEA
l
GI
P
EIl内力虚功:U
l
Ndl
l
Td
l
Md
NN
dx
TT
dx
MM
dxlEA
l
GI
P
EIl三、虚原理功根据能量守恒定律得:外力虚功等于内力虚功,这就是虚原理功。即P
NN
dx
TT
dx
MM
dxlEA
l
GI
P
EIl虚功原理对于P的任何值都成立,为了计算方便,取P
1,故也称单位力法。即
NN
dx
TT
dx
MM
dx虚功原理用于静定结构的位移计算具有广泛的适用性。EA
EAl解题步骤:⒈计算实际荷载下的各杆轴力Ni
;⒉在所求位移处,沿所求位移方向加单位荷载(求结点位移加单位力,求杆件转角加单位力偶);⒊计算单位荷载下的各杆轴力
Ni
;⒋将Ni
、Ni
代入虚功方程求位移。§8–3
静定桁架的位移计算桁架杆件只有轴力,且各杆均为等轴力、等截面杆,于是虚功方程简化为:
NN
dx
NNlABCDEFABCEFABCDEFABCDF加单位荷载求结点D
的水平位移P
1求结点D
的竖向位移P
1D求杆BD
的转角P
1/
lBDP
1/
lBD求结点D、E
的相对位移P
1
EP
1[例8-4]求图示桁架结点D
的水平位移和BE
杆的转角,各杆EA
相同。BC
E
Daaa1
23564
7A
8F
9C
E1
23456A
8F
9P
/
20
2P
/
20P/2P/2N0102
/
20 2
/
201/21/2laaa2aa2aaaaEADx2
22
(
2P
2
2a
P
1
a)
1.914Pa2
2
EA
BD解:PBCDEaaaP1234567A
8F
9CE123456A
8F
9P
1/
2a7DE2aEA
2 2a
P
1
a
2)
0.207P2
2a
EA2P
1
1
(DP
1/
2aB123456789N-P002P
/
20
2P
/
20P/2P/2N0001/
2a000-1/2a-1/2alaaa2aa2aaaa[练习2]求图示桁架结点D
的竖向位移,各杆EA
相同。BDaaa1A
45P
1C
C3
12
23A
4
D
5B12345N2P
/
20
2P
/
2P/2P/2N
2
/
21
2
/
21/21/2l2aa2aaaDy
2
(
P
1
a)
PaEA
2
2
2EA解:
PEIl§8–4
静定梁、刚架的位移计算应用虚功原理计算静定梁、刚架的位移时,拉压、剪切较弯曲的内力虚功小得多,可略去不计。于是,虚功方程可简化为:
MM
dx解题步骤:⒈计算实际荷载下各段杆的弯矩Mi
;⒉在所求位移处,沿所求位移方向加单位荷载(求结点位移加单位力,求截面转角加单位力偶);⒊计算单位荷载下各段杆的弯矩Mi
;⒋将Mi
、M
i
代入虚功方程求位移。加单位荷载PABCDPABCDP
1m
1求结点C
的竖向位移求B
截面的转角BCDPABCDP
1m
1求C、E两点的相对位移求铰C两侧截面的相对转角EAPP
1[例8-5]求图示1/4圆弧形曲梁B端的铅直位移、水平位移和转角。P、R、EI已知。ABPddsABddsABP
1P解:M
(
)
PR(1
cos
);M
()
R(1
cos)ds
Rd
ds
RdEI
EIMM
MMlBydEI20
PR3
(1
cos)2EI202PR3)d(1
2
cos
cosddsABPddsABP
1By
202PR3(1
2
cos
cos
)d1
12
420sin
2][
2sin
EIEIPR34EI
(3
8)PR3(向下)ddsABPddsAB
P
1EIEIMMBxRd
20PR3(1
cos)
sin
dPR3M
(
)
PR(1
cos
);M
()
R
sin
032
(1
cos)d
cosEIPR0122
/
2cos
][cos
EI3
PR
(向左)2EIddsAddsABm
1EIEIBPMMBRd
20PR2(1
cos)d(
2)PR2M
(
)
PR(1
cos
);M
()
10
/
2[
sin
]EI
2EI2
PR注意※:M与M转向的假设必须一致,结果为正表示位移与单位荷载同向;结果为负表示位移与单位荷载反向。(顺时针)lAlEI[例8-6]求图示刚架B
点的水平位移和C
截面的转角。
AC
B
C
BEI
EIEIP
1x1x1x2x21ql/2ql/2ql/211M
(x1)M
(x1)M
(x2
)M
(x2
)11解:ql/2ql/211M
(x1)M
(x1)M
(x2
)M
(x2
)1
12M
(x
)
1
qlx22221221qxM
(x
)
ql
M
(x1
)
x1M
(x2
)
l
x222
2
2021
10x
dxqlEI
2lBx
1
[
q
(l
2
x2
)(l
x
)dx
]l8EI4
3ql(向右)11BACEIEIx2x11/lm
1M
(x1)1/l1/lM
(x2
)m
11
12M
(x
)
1
qlx2222121qxM
(x
)
ql1
1lM
(x
)
1
x2M
(x
)
0x
dxlC6EIql
321
102
1
qEI
2(顺时针)ABx1l/2EIlx2
PCABx1x2YA=1/2l/2EIl[练习3]求图示外伸梁C
端的竖向位移△Cy和转角C
。
P
1C1
12M
(x
)
1
PxM(x2
)
Px2YA=P/2解:112M
(x
)
1
xM
(x2
)
x2022
221
10
1
[l
/
2lCyPx
dx
]dx
xPEI
4P
PPl33
l
3
l
/
2x1
x2
12EI
0
3EI
0
8EIABx1YA=P/2l/2EIlx2
PCAx1x2YA=1/ll/2EIlB
Cm
11
12M
(x
)
1
PxM(x2
)
Px211lM
(x
)
1
xM
(x2
)
1021
10l
/
2lC
Px2dx2
]x
dxPEI
2l
1
[P
P7Pl23
l
2
l
/
2x1
x2
6EIl
0
2EI
0
24EI§8–5
图乘法等截面梁、刚架,虚功方程可写为:EIl
1
MM
dx其中积分
l
MMdx
可通过几求之,即通过弯矩图图乘求之,故称为图乘法。x
dxM图yCxCyCM
(x)M
(x)l
M
(x)M
(x)dxAM图BB
xAOl
M
(x)xtgdxl
tg
M
(x)xdx
tg
SyP
C
tg
x
P
yC于是得P
CEI
1
y其中P
为M
图的面积,yC为M
图的形心所对应的M图的竖距。Cl/2
l/2P
lhCl/3
2l/3hh1P
2
lhl/2
l/2C一、解题注意事项⒈M
图与M
图在杆的同侧时,图乘为正;在杆的两侧时,图乘为负。⒉当M
图为同一直线时才能图乘,若
M
图为折线,需分段图乘。二、几种常用几何图形的面积和形心位置矩形
三角形
标准抛物线P23
h182ql
)lh
(h
三、解题步骤⒈画荷载下的弯矩图—M图,均布荷载下的弯矩图按叠加原理画;⒉
在所求位移处,沿所求位移方向加单位荷载,并画弯矩图—
M图;⒊用图乘法求位移。[例8-7]求图示阶梯形悬臂梁端的挠度和转角。AP2EI
C
EI
Ba
aM图2PaPaAP
12EI
C
EI
B2aM
图C2
C1C3y3y2y112EIB[Pa
a
3a
Pa
a
5a
]2
2
31
Pa
a
2aEI
2
3y
3Pa32EI解:AP2EI
C
EI
Ba
aM
图2PaPaAm
12EI
C
EI
B1C1C2y2
y1M
图11
Pa
a
1EI
2
1
(2Pa
Pa)a
2EI
2B
2
5Pa4EI
(顺时针)[例8-8]求图示简支梁C
截面的挠度和A
截面的转角。PA
BEI
C2l/3
l/3YA=P/3
YA=2P/3EIAC2Pl
/
92l
/
9M
图M
图C1
C2P
1y1y2
1
l
2Pl
1
l
2E
2yC243EI2
3
93
4PlB解:ABYA=P/3l/3EI2l/3PCYA=2P/3EIACm
12Pl
/
9M图M
图C1C2y1y2
1
l
2Pl
2)2
3
9
9
1
(
1
2l
2Pl
5EI
2
3
9
9A4Pl
21B
(顺时针)81EIqAll/3BCM
图3[例8-9]求图示外伸梁C截面的挠度和B
截面的转角。P
qlql2/9ql2/8AP
1CBl/3M
图1
1
l
ql2
l
2EI
2
3
9yC
[
3
321
ql2
l
l
2
9
3
3ql2
l
2
l
]3
8
61944
EI5ql4解:qAll/3BCM
图3P
qlql2/9ql2/8CB1M
图A[
l
1
1
ql2
2EI
2
9
3B
]
2
l
ql2
13
8
2ql216
EI3
m
1(逆时针)[练习4]求图示外伸梁C
截面的挠度和转角。ABl/2EIlPCPl
/
2BEIll
/
2P
1Cl/2l
2
1
l
Pl
l
22
3
2
2
2
2
31
l
PlEI
2
2yC
(
8EIPl3
)
解:M
图M图ABEIlPCPl
/
2EI
Bl
l/2Cm
1EI
2
2
3
2
2
2C24EI2
1
(
l
Pl
2
1
l
Pl
1)
7Pll/21M
图AM图AlAlEI[例8-10]求图示刚架B
点的水平位移和C
截面的转角。AC
B
C
BEIP
11qlql/2ql/211ql2
/
2ql2
/
2ql2
/
8llM图M图解:ql2
/
2ql2
/
2ql2
/
8llM图M图Bx8EI3
82
3EI
2l
3ql42l
ql2ql2
2l(
2
)
2
1
lB
lAClEIEIBAm
1
C1/lqlql/2ql/2ql2
/
2ql2
/
2ql2
/
81M图M图1/lC2
ql32(
)
EI
2
2
3
6EI
1
l
ql[例8-11]求图示刚架C
截面的挠度和A
截面的转角。ACEIP=qaqaa/3aD
EI
B18qa2qa281
qa
2721
qa
2
1qa
2BADP
1Cqaa/3M图M图解:18qa
2
1
qa
2qa28721qa
2a/3M图M图Dqa2B1
qa
2BD
段弯矩图可由下列几种图形叠加而成。qa21
qa
28181
qa
21
[EC2
1
a
qa2
3
183
y
9[
EI
62
74
qa81EI4
5qaACEIP=qaqaa/3aD
EI
B18qa2qa281
qa
2721
qa
2
1qa
2BACDm
1qaM图M图1118qa
2
1
qa
2qa28721qa
2M图Dqa2B1
qa
2BD
段弯矩图可由下列几种图形叠加而成。qa21
qa
28181
qa
21]23
123
qa
EIA
[3
qa
[
1
19
1
1]EI
2
108
24
2216EI3
187qaM图11[例8-12]求图示刚架A、B
两点的相对位移xAB
,EI
为常数。ABPPaaABP
1P
1PaaPa
PaPaPaPaaa
aaaaM图M图解:PaPa
PaPaPaPaaa
aaaaM图M图21
Pa2
2a3
10Pa3EI
4
Pa
a
2)2
3xAB
EI
([练习5]求图示结构K
点的水平位移。K2EIEI2EIqaqaaa2EIEIK2EIP
1qa/21aaa3
qa
22qa28qa2qa2M图M图解:aaa3
qa
22qa28qa2qa2M图M图xK(
a
3)
24
4
qa
(1
1
1
qa2EI
2
3
24
3EI4
35qa48EI§8–6支座移动引起的位移AA'BB'cc2c1
3△BP
1BR13A
RR2静定结构,支座发生移动时,各点也将发生位移,但杆件无变形发生。故外力虚功不等于零,内力虚功等于零。AA'BB'c1c2c3△BP
1BR1R23A
R在B
点加一单位荷载,单位荷载下支座的约束反力为R1,
R2
,
R3.外力虚功:W
1B
R1c1
R2c2
R3c3
B
Rici内力虚功:U
0由虚功原理得虚功方程:W
B
Rici
U
0即
Ricici—支座实际移动位移;Ri—单位荷载下支座的约束反力。解题步骤:⒈在所求位移处,沿所求位移方向加单位荷载;⒉计算单位荷载下的支座反力;⒊将单位荷载下的支座反力代入虚功方程求结点位移。[例8-13]图示刚架支座B
发生水平位移a
、竖向位移b
,求铰C
左右截面的相对转角和C
点的竖向位移。ABB'CC'CABbl/2
l/2
ahm
1
m
1001/h1/hC左右
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