水文学第三章课件

第三章水文统计基本原理与方法Hydrologicstatistics

1内容：水文统计的意义及基本概念频率和概率经验频率曲线随机变量的统计参数理论频率曲线抽样误差水文频率分析方法相关分析内容：2水文现象具有二重性：水文现象包含着必然性(Inevitability)水文现象也包含着偶然性(Contingency)，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。1.概述物理成因分析法概率论和数理统计分析方法水文现象具有二重性：水文现象也包含着偶然性3水文分析计算常用到数理统计的方法进行流域或地区水资源开发利用，首先要了解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行“概率预估”。所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可能性为多少。水文分析计算常用到数理统计的方法进行流域或地区水42.水文统计的基本概念2.1事件对随机现象的观测称为随机试验。随机试验的结果叫做事件。事件分为三类：必然事件不可能事件随机事件2.水文统计的基本概念2.1事件51）随机变量（Randomvariable）

用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。2.2.总体、样本、样本容量1）随机变量（Randomvariable）2.2.总6

它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般称之为随机系列或随机数列。

随机变量的表示:它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字7

离散型随机变量

Discreterandomvariable

随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0,1,2…，不能取相邻两数值之间的任何值。随机变量的分类:

连续型随机变量

Continuousrandomvariable

随机变量可以取得一个有限区间内的任何数值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流量可以取0~极限值之间的任何实数值。离散型随机变量Discreterandomvari8

总体

（Population/Totality）

在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。水文变量如年径流量的总体数是无穷的，故无法取得总体。2）统计学中几个概念：

样本（Sample）

从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。如实测的水文数据是有限的，是一样本。总体（Population/Totality）2）统91)资料可靠性审查(Reliabilityexamination)

经有关部门整编后正式刊发的资料；

水文资料的测验和整编方法的合理性；2)资料一致性审查(Consistencyexamination)应用数理统计方法进行计算分析时，要求组成系列的水文资料都是在同一类型和同一条件下产生的。3.水文资料审查

Examinationofhydrologicinformation1)资料可靠性审查(Reliabilityexamina10

实测的水文系列可看成总体的一个随机样本，因此资料（样本）的代表性是指样本的统计特征能否反映总体的统计特征。样本对总体的代表性的好坏反映在样本的统计参数与总体统计参数的接近程度。依据数理统计原理，当样本容量愈大，则抽样误差愈小，说明长系列样本代表性高的可能性要大。增加资料系列长度的手段有3种：插补展延、增加历史资料、坚持长期观测。3)资料的代表性审查(RepresentationExamination)实测的水文系列可看成总体的一个随机样本，因此114)资料的随机性审查(RandomExamination)

5)资料的独立性审查(Independenceexamination)4)资料的随机性审查(RandomExaminatio124.1概率和频率的基本概念1)概率（Probability）

为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，这个数量指标就是事件的概率。4.概率和频率

Probability&Frequency4.1概率和频率的基本概念4.概率和频率

Pr13

式中，P(A)：一定条件下随机事件A的概率；

n：试验中所有可能的出现的结果数；

m：出现随机事件A的结果数。简单(古典)的随机事件的概率定义用下式表示： 式中，P(A)：一定条件下随机事件A的概14有利于A的试验结果数m为介于0~n之间的数，

即根据事件出现的可能性是否能预先估计，分为：

事先概率

事后概率随机事件A的概率有利于A的试验结果数m为介于0~n之间的数，

即根据事件15例：袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球、黑球的概率各是多少？摸出白球或黑球的概率为多少？摸出红球的概率为多少？例：袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球16设事件A在n次随机试验中出现了m次，则定义：2）频率

（Frequency）为事件A在n次试验中出现的频率。注意：n

不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。设事件A在n次随机试验中出现了m次，则定义：2）17皮尔逊试验：

丢币次数出现正面的次数频率

404020480.5069

1200060190.501624000120190.5005当试验次数n不大时，事件频率有明显的不稳定性。当试验次数n增加到充分大时，事件频率显著地出现稳定的趋势，例如：频率与概率的关系皮尔逊试验：当试验次数n不大时，事件频率有明显的不稳定18频率:

频率是通过若干次试验后才能求得的经验值，事先不能确定，当试验次数n愈大，即当n趋于无穷大时，理论上，n变成试验中所有可能的结果总数，则频率愈接近概率。概率和频率的区别：概率:

表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理论值。频率:概率和频率的区别：概率:

表达事件客观19

因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，故可用上式，式中n为事件A随机试验次数）推求的频率作为概率的近似值。因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可204.2概率运算定律(1)概率相加定理互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，这类事件称为互斥事件；概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率总和。4.2概率运算定律(1)概率相加定理21[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白或黑求的概率是多少？[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白22[例]某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？某站水位频率计算表3.1

序号水位H（m）频数f（a）频率W（%）累积频率P（%）123454.03.52.72.01.921016935254022.57.55307092.5100∑—40100—

注：表中水位为相对高程。[例]某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表23(2)概率相乘定理独立事件：某一事件的出现并不影响其他事件的出现，这类事件称为独立事件；概率相乘定理：几个独立事件一并（先后）出现的概率等于各事件出现的概率之积。(2)概率相乘定理24例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各为1/10，求这三条排水管道在工作中同时都出现满溢的概率。p=1/10·1/10·1/10=1‰例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各为25

条件概率：在事件B发生的情况下事件A的概率。记为P(A︱B)P(AB)=P(B)·P(A︱B)例：一纸箱中有相同大小的乒乓球50个，其中白色40个，黄色10个，现任意从中取一个不放回，再从中取另一个，问两次取球均为白色的概率。条件概率：26对于离散型随机变量：

随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：4.3随机变量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示随机变量X

取值x1,x2,…xn

所对应的概率。对于离散型随机变量：4.3随机变量的概率分布27

x1x2x3x4……xnXP

离散型随机变量概率分布图一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规律，简称为分布律。可以用以下的分布图形表示：x1x2x3x4…28对于连续型随机变量：

变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其每一个可能值，只能以区间的概率来分析其分布规律。连续系列按由大到小顺序排列，分成N组，组距值△x=xi-xi+1，任一组内概率为△p，组间平均概率为f=△p/△x，此值称为△x区间对应的概率密度。区间足够小时，

对于连续型随机变量：变量的取值充满整个数值区间29水文学第三章课件30水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：

它是x的函数，称作随机变量X

的分布函数(Distributionfunction)，记作F(x)，即

表示随机变量X大于或等于值x的概率，其几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学上通常称累计频率曲线，简称频率曲线）。水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值31f(x)f(xi)F(x)xi密度曲线分布曲线xxdxf(x)f(xi)F(x)xi密度曲线分布曲线xxdx32已知概率密度函数f(x)，可求出随机变量X落在(x~x+dx)区间即dx上的概率=f(x)dx，称之为概率元素，即为图中的阴影面积；已知概率密度函数f(x)，可求出随机变量X概率分布函数F(x)，其与密度函数f(x)有如下的数学关系:已知概率密度函数f(x)，可求出随机变量X落在(x~x33

F(x)分布函数，反映随机变量X超过某个值x的概率。这两个函数能完整地描述随机变量的分布规律。f(x)密度函数，反映随机变量X落入dx区间的平均概率；可见，随机变量的二个函数的物理意义：

F(x)分布函数，反映随机变量X超过某个值x的34例题：某站有62年的降水资料（书中41页表3.3）。分析年降水量的概率分布规律。将62年降水量按大小每隔△x=200mm划分为一组，统计各组值出现的次数，计算各组值相应得频率、频率密度、累积次数、累积频率的值。以年降水量为纵坐标，以频率密度为横坐标，绘成频率密度直方图，而以累积频率为横坐标，绘成累积频率直方图。例题：某站有62年的降水资料（书中41页表3.3）。分析年降35水文学第三章课件364.4累计频率和重现期1）累积频率与随机变量的关系水文特征值属于连续型随机变量，在分析水文系列的概率分布时，用x≥xi的概率。累积频率是指等量值和超量值累计出现的次数与总观测次数之比。在实际应用中用样本系列频率分布代替整体系列的频率分布。当样本容量相当的大，而组距很小时，可以绘出频率分布曲线。4.4累计频率和重现期1）累积频率与随机变量的关系37频率：工程上习惯把累积频率称为频率。根据选取样本系列的方法不同，频率分为：年频率：采用年最大值法选样，得到的频率称为年频率。次频率：采用超定量法或超大值法选样，得到的频率称为次频率。频率：工程上习惯把累积频率称为频率。38

所谓的重现期是指某一随机事件在长时期内平均多长时间出现一次（水文学中常称为“多少年一遇”）。即在许多试验中，某一随机事件重复出现的时间间隔的平均数，即平均的重现间隔期。在水文分析中，重现期可以等效地替代频率。2)重现期

Recurrenceinterval/returnperiod所谓的重现期是指某一随机事件在长时期内平均39a.当研究洪水或暴雨问题水文上关心的是大于等于某洪水或某暴雨量发生的频率，因此，重现期指在很长时期N年内，出现大于等于某水文变量XP事件的平均重现的间隔期T：式中:T-重现期，以年计； P-大于等于某水文变量XP—事件的频率。频率P与重现期T关系的两种表示法：a.当研究洪水或暴雨问题式中:T-重现期，以年计；频率P与重40

水文上关心的是小于XP的事件出现的频率及相应的重现期。重现期指在很长的时期内(N年)出现小于某水文变量XP事件的平均重现间隔期。若水文变量大于等于XP的频率为P，则小于XP事件的频率应为：1-P，在N年内小于XP事件出现的次数应为N(1-P)，因此其重现期为：注意：重现期不是固定多少年重复一次。b.当研究枯水问题水文上关心的是小于XP的事件出现的频率及相应41例1、P=5%的丰水年，重现期等于_____年。例2、P=95%的枯水年，重现期等于________年。例1、P=5%的丰水年，重现期等于_____年。42

工程上习惯把设计频率叫做设计保证率，即供水或供电来水得到保证的程度(频率>50%)。例：供水保证率为90%，其重现期为____年。例：发电年设计保证率为95%，重现期则为____年。注意：重现期不是固定多少年重复一次。c.设计保证率例：P=5%的丰水年，重现期等于_____年。例：P=95%的枯水年，重现期等于________年。工程上习惯把设计频率叫做设计保证率，即供水或43例：百年一遇洪水，是指[]a、大于等于这样的洪水每隔100年必然会出现一次b、大于等于这样的洪水平均100年可能出现一次c、小于等于这样的洪水正好每隔100年出现一次d、大于等于这样的洪水平均100年可能出现一次例：百年一遇洪水，是指[]44水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特征值出现的量值做为工程设计的标准。主管部门根据工程的规模、工程在国民经济的地位以及工程失事后果等因素，在各种工程设计规范中规定各种水文特征值的水文资料，通过水文分析计算，求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计的依据。4.5设计标准水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用455.经验频率曲线【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)，并由大到小排列，按计算频率。式中，P：大于或等于某一变量值x的经验频率；m：x由大到小排列的序号，即在n次观测资料中出现大于或等于某一值x的次数。5.经验频率曲线【例】已知某地年降雨量的观测资料(n=12)46经验频率计算表：n=12经验频率计算表：n=1247由此得到经验频率分布曲线:P(Xx)x由此得到经验频率分布曲线:P(Xx)x48注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进行计算，当m=n时，P=100%，说明样本的最末项为总体的最小值，这是不合理的。故必须进行修正，中国常采用下面的公式进行计算：经验频率的计算公式：这样，当m=n=12

时，该公式在水文计算中通常称为期望公式注意：样本的每一项的经验频率用公式P=m/n进行计算，当m=492）经验频率曲线的绘制

如果有n年实测资料，可按下列步骤绘经验频率曲线：1．将按时间顺序排列的实测资料按递减顺序排列成x1,x2,…,xn,对应的序号m为1，2，…，n。2．利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。3．以水文变量x为纵坐标，以频率P为横坐标，在坐标纸上点绘经验频率点，目估通过点群中心绘一条光滑的曲线，这就是经验频率曲线。4．根据工程设计标准指定的频率，在曲线上查出所需的水文数据。2）经验频率曲线的绘制

如果有n年实测资料，可按下列步骤50水文学第三章课件51绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡，即上部急剧上升，下部急剧下降，而两端正是工程设计频率所用的部位。为了比较方便和精确的绘制频率曲线，人们采用频率计算专用的概率格纸。常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概率分布分格制成的。所以，正态概率分布曲线绘在这种格纸上呈直线，非正态概率分布曲线绘在这种格纸上，其两端曲线坡度也会大大变缓，有利于曲线外延。概率格纸的纵坐标，可以是均匀分格，也可以是对数分格。绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡，即上部急剧上升，523）经验频率曲线的外延由于实测资料年数不多，用其绘制的经验频率曲线位于概率格纸的中间部分，而工程上往往需要推求稀遇频率的水文数据，对经验频率曲线进行外延就是一种常用的推求方法。然而，由于没有实测点据控制，目估使曲线外延往往带有相当大的主观成分。其次，由于水文现象的随机性，有时点绘的经验频率点分布比较散乱，使得经验频率曲线的定线比较困难。这样，就会影响设计水文数据的精度。为了解决定线和外延上的困难，人们提出用数学方程式来表示频率曲线，这就是理论频率曲线。3）经验频率曲线的外延由于实测资料年数不多，用其绘制的经验频53

在实际问题中，随机变量的分布函数有各种形式，不易确定，或有时不一定需要用复杂的完整的形式来说明随机变量的分布规律，而只要知道其主要特征就可以。故采用随机变量的分布函数和密度函数中的一些特征参数（如均值、变差系数、偏态系数），来反映随机变量分布的特点：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布对称，有的分布非对称，等等。在统计学中用以表示随机变量这些分布特征的某些参数，称之为随机变量统计参数。6、随机变量统计参数在实际问题中，随机变量的分布函数有各种形式，不易确定54平均数/数学期望Mean式中N—样本系列的总项数，N=f1+f2+…+fn。a.反映位置特征参数

（Positioncharacteristicparameter）

加权平均法设有一实测系列由x1,x2,…,xn组成，各个随机变量出现的次数分别为f1,f2,…,fn,则系列均值为:平均数/数学期望Mean式中N—样本系列的总项55算术平均法

若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算术平均法求均值。式中n—样本系列的项数。对于水文系列来说，一年内只选一个样或几个样，水文特征值重复出现的机会很少，一般使用算术平均值。

算术平均法若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑56均值的物理意义（1）反映系列的数值水平－均值反映了随机变量的平均水平，能代表整个随机变量系列的水平高低。系列数值水平高的，其平均数大，系列数值水平低的，其平均数小。（2）概率论中大数定律指出，当项数增大时，平均数将渐趋一个稳定值。根据这一特性，在水文学中常利用均值推求设计频率的水文特征值；也可以利用均值表示各种水文特征值的空间分布情况，绘制成各种等值线图。例如，年径流等值线图、年降水量等值线图、最大24h雨量等值线图。该图显示各地水文现象的地区差异。均值的物理意义（1）反映系列的数值水平－均值反映了随机变量的57模比系数（变率）K=1令称模比系数，则

模比系数（变率）K58

该参数用以反映随机变量分布离散程度(相对于随机变量分布中心即平均值的差距)的指标，通常有以下几种：b.反映离散特征参数(variability)s值愈大，分布愈分散；s

值愈小，分布愈集中。

标准差（均方差)

(Standarddeviation)122>1f(x)x标准差对密度函数的影响该参数用以反映随机变量分布离散程度(相对于随59均方差s的因次与变量xi相同。s值较小时，表示系列的离差较小，说明变量间的变化幅度较小，分布比较集中；s值较大时，则说明变量间的变化幅度较大，分布比较分散，即离散程度较大。同时，均方差s还可以说明均值对系列的代表性，s值越小，均值的代表性越强。例如：甲系列：150，125，100，75，50乙系列：120，110，100，90，80甲系列和乙系列的均值大小相等，，其均方差分别为s甲＝39.5、s乙＝15.8、s甲＞s乙说明甲系列的离散程度比乙系列大。均方差s的因次与变量xi相同。s值较小时，表示系列的离差较小60例子：二个系列：第一系列：5，10，15，第二系列：995，1000，1005，但对于均值的相对离散程度则不同：第一系列：最大值和最小值与均值差都是5，相当于均值的5/10=0.5;第二系列：最大值和最小值与均值差都是5，但相当于均值的5/1000=0.005，可见该系列对均值的差距极小，比第一系列分布更集中。因此以离差系数能更好地比较出二系列的离散程度：

CV1=0.408>CV2=0.00408例子：二个系列：但对于均值的相对离散程度则不同：61

变差系数（离差系数，离势系数〕

(Coefficientofvariation)CV1CV2CV2>CV1f(x)x变差系数对密度函数的影响CV值愈大，分布愈分散；CV

值愈小，分布愈集中。对于均值不同的二个系列，用均方差来比较其离散程度就不合适，则要采用均方差和均值的比值来表示：变差系数（离差系数，离势系数〕

(Coeff62离差系数的物理意义（1）Cv是流域形状的一种特征参数。狭长流域Cv的一般大于枝状流域；小流域Cv大于大流域。（2）测站位置与Cv的关系同一流域，各支流汇合前Cv大，汇合后的干流段Cv小，同一河流，上游Cv大，下游Cv小。（3）实测时段长短与Cv的关系同一水文现象，长系列Cv小，短系列Cv大。例如，月降水量Cv小，日降水量Cv大。（4）地理位置与Cv的关系各类河流的Cv值一般为沿海小，内陆大；南方小，北方大；平原小，山区大。离差系数的物理意义63f(x)x偏态系数对密度函数的影响当密度曲线对对称，CS=0；若不对称：

CS>0,称为正偏；CS<0,称为负偏。Cs=0Cs>0Cs<0c.反映对称特征的参数:

偏态系数（偏差系数)(Coefficientofskewness)(8-8)f(x)x偏态系数对密度函数的影响当密度曲线对64d.矩法

MethodofMoments

矩在统计学中常用来描述随机变量的分布特征，均值等统计参数有些可以用矩来表示。矩可分为原点矩和中心矩两种。

----原点矩

随机变量X对原点离差的r次幂的数学期望E（Xr），称为随机变量X的r阶原点矩，以符号mr表示，即:

mr=E（Xr）(r=1，2，3，。。。。，n）

d.矩法MethodofMoments矩在统计65

对离散型随机变量，r阶原点矩为:

mr=E（Xr）=

对连续型随机变量，r阶原点矩为:

mr=E（Xr）=

当r=1时，m1=E（X1）=，即一阶原点矩就是数学期望，也就是算术平均数（均值）。

对离散型随机变量，r阶原点矩为:

mr66----中心矩

随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的数学期望E{[X-E（X）]r}，称为随机变量X的r阶中心矩，以符号μr表示，即:

μr=E{[X-E（X）]r}

对离散型随机变量，r阶中心矩为:

μr=E{[X-E（X）]r}=

对连续型随机变量，r阶中心矩为:

μr=E{[X-E（X）]r}=

当r=2时，μ2=E{[X-E（X）]2}=σ2，即二阶中心矩就是标准差的平方（称方差）。

----中心矩随机变量X对分布中心E（X）离差的r次幂的67由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩。矩法是用样本矩估计总体矩，并通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。

前述，一阶原点矩的计算公式就是均值，均方差σ的计算式为二阶中心矩开方，偏态系数CS计算式中的分子则为三阶中心矩。

由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩。矩法是用样本矩估计68我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体更接近些，为无偏估值，因此，需要将上述公式加以修正。我们希望由样本系列计算出来的统计参数与总体更接近些，为无偏估69根据统计学的证明可知：

由矩法求到的样本平均值为总体平均数的无偏估计量，然而二阶中心矩、CV,CS则不是总体相应参数的无偏估计量，称为有偏估计量。故需要对参数CV

,CS进行修正，使其变成无偏估计量。无偏估计量：

由统计学的定义，若是未知数的估计量，而且，则称为的无偏估计量。根据统计学的证明可知：无偏估计量：由统计学的70因此，需要将上述公式加以修正，修正后的参数计算式为：

因此，需要将上述公式加以修正，修正后的参数计算式为：71(当n较大时)求Cv,Cs的无偏估计量的修正计算式：

用上述的无偏估算公式计算的很多同容量的样本的统计参值的均值，可望等于总体的同名参数。(当n较大时)求Cv,Cs的无偏估计量的727.水文中常用的概率分布曲线7.1正态分布（Normaldistribution）

(8-9)式中，：平均数；

：标准差。许多随机变量如水文测量误差、抽样误差等一般服从正态分布。7.水文中常用的概率分布曲线7.1正态分布（Normal73f(x)

a.单峰，只有一个众数；b.对于平均数对称,Cs=0；c.曲线二端趋于±∞，并以x轴为渐近线;

d.正态分布曲线的特点：f(x)a.单峰，只有一个众数；正态分布曲线的特点：74数学上可以证明：正态分布的密度曲线在处出现拐点，而且：f(x)数学上可以证明：f(x)75经验频率曲线目估定线和外延会产生较大的误差，因此借助于某些数学形式的频率曲线作为定线和外延的依据。1、实测资料中选取或算得2~3个有代表性的特征值作参数；2、选配一些数学方程作为总体系列频率密度曲线的假想数学模型；3、按一定方法确定累积频率曲线。

7.2理论频率曲线注意：‘理论’非物理意义上严格被证明水文现象概率频率符合这种曲线。经验频率曲线目估定线和外延会产生较大的误差，因此借助于某些数76概率密度函数表达式：

皮尔逊Ⅲ型分布

（PearsonTypeIIIdistribution）式中,()~

的伽玛函数,,,a

0：三个参数，与三个统计参数有一定的关系，其表达式为：可见，当以上三个参数确定后，P-III型密度函数亦完全确定。概率密度函数表达式： 皮尔逊Ⅲ型分布（Pearson77皮尔逊曲线特点：1、只有一个众数，该处斜率为零；2、曲线两端或一端以横轴为渐近线。皮尔逊曲线特点：78f(x)皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线

a0xPxP-III型曲线的特点：一端有限另一端无限的不对称单峰正偏曲线，很多水文变量均符合P-III型分布。f(x)皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线a0xPxP-III型曲线79(1)在水文计算中，一般要求出指定概率P所相应的随机变量的取值xP，即求出的xP满足下列等式：按上式计算相当复杂，故实用中，采用标准化变换：取标准变量(离均系数)，即代入上式(1)，,,a0以相应的和关系式表示，简化后得：(1)在水文计算中，一般要求出指定概率P800.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)PCsP-III型曲线离均系数P值表被积函数含有参数,Cs，而包含在

中，制成对应关系表：0.031.302.473.384.160.20.021.281因此，由给定的CS

及P，从P-III型曲线离均系数值表，查出P，再由下式求：

即求出指定概率P所相应的随机变量的取值xP因此，由给定的CS及P，从P-III型曲线82已知:某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,假定年降雨量符合P-III型分布试求：P=1%

的年降雨量。【算例】求解：

由CS=1.0及P=1%，查附表1得P=3.02已知:某地年平均降雨量=1000mm,CV=83引入模比系数：

另一种求解方法：由由此建立的对应数值关系[P-III型曲线模比系数KP

值表（见附表4）]上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2CV

，P=1%查附表4得:引入模比系数：另一种求解方法：由由此建立的84P-III型曲线模比系数KP值表（附表4,P231）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV（三）CS=6CVP-III型曲线模比系数KP值表（附表4,P231）85统计参数对频率曲线的影响：（1）均值对频率曲线的影响统计参数对频率曲线的影响：86（2）Cv对频率曲线的影响（2）Cv对频率曲线的影响87（3）Cs对频率曲线的影响（3）Cs对频率曲线的影响88

P-III型曲线只是作为实测系列频率密度曲线的一种数学模型，因此实际应用中还应联系水文现象的物理特征，即不可能为负值。需有：a0≥0因此得到CS≥2CVP-III型曲线的应用问题P-III型曲线只是作为实测系列频率密度曲线的一种数89

由于水文系列总体是无限的，而样本的容量是有限的，因此，由样本求到的参数对于总体存在一定的误差，则称为抽样误差。因此，以样本参数替代相应的总体参数时，必须考虑这一误差。该误差无法准确求到，只能在概率意义下作出某种估计。8.抽样误差：Samplingerror由于水文系列总体是无限的，而样本的容量是有限的，因此90

抽样类型：1、随机抽样2、分层随机抽样3、均匀抽样4、适时抽样

抽样误差：从总体中抽样，可得到多个随机样本，它们的统计参数具有一定的频率分布，称为抽样误差分布。抽样分布大多认为属正态分布。抽样类型：抽样误差：91

称为均方误差或标准误差。

样本均值组成系列xi均值为总体均值x总，

xi-x总=△x,由抽样引起，称为抽样误差。f(x)样本均值组成系列xi均值为总体均值x总，f(x92

同理，与样本平均数的抽样误差类似，样本的CV

,CS

的抽样误差，可以它们相应的抽样分布的均方误来表示。

因此，只要样本参数的均方误为已知的，则可以对该样本参数的抽样误差可作出估计。同理，与样本平均数的抽样误差类似，样本的93(1)(2)(3)(4)

当总体为P-III型分布时，其样本各参数的均方误计算式由统计数学可以导出分别为：(1)(2)(3)(4)当总体为P-III型94结论：

(1)样本统计参数抽样误差随样本的均方差s、离差系数CV及偏态系数CS的增大而增大；

(2)

样本统计参数抽样误差随样本的容量n的增大而减少。依据结论(2)，可知水文计算常用延长系列增加项数n的方法，来减少抽样误差。即系列愈长，则其代表性愈好。（3）Cs的标准误差很大，因此要通过适线来确定。结论：959.现行水文频率计算方法～配线法

(适线法)

Curvefittingmethod

是以经验频率点据为基础，在一定的适线准则下，求出与经验点据拟合最优的频率曲线参数，这是一种较好的参数估计方法，是我国估计某些水文变量（如径流量、降雨量等）频率曲线统计参数的主要方法。9.现行水文频率计算方法～配线法

(适线法)C96具体求解步骤：a

根据实测样本资料进行点绘[纵坐标为随机变量X=x，横坐标为对应的经验频率P(Xx)]，经验频率计算公式为：b

假定一组参数，可选用矩法的估值作为的初始值,一般不求CS，假定，K为比例系数，可选K＝2,2.5,3...适线法（配线法）的步骤已知：经验频率分布求：总体分布参数12具体求解步骤：b假定一组参数，可选用矩法97d根据选定的参数，由P-III型曲线离均系数值表或P-III型曲线模比系数KP值表，求出xP~P的理论频率曲线，将其绘在有经验点据的同一张图上，看它们的配合好坏，若不理想，则修改有关的参数(主要调整CV及K=CS/CV)，重复以上的步骤，重新配线；c选定线型。对于水文的随机变量，一般选P-III型;e根据配合的情况，选出一配合最佳的频率曲线作为采用曲线，则相应的参数作为总体参数的估值。d根据选定的参数，由P-III型曲线98PxP

适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线法的关键在于“最佳配合”的判别。经验点据理论频率曲线PxP适线法的实质是通过样本经验分布来推求总体分布，适线99【水文学习题】1．在水文频率计算中，我国一般选配皮尔逊Ⅲ型曲线，这是因为[]A、已经从理论上证明它符合水文统计规律B、已支撑该线型的值表供查用，使用方便C、已制成该线型的KP值表供查用，使用方便D、经验表明该线型能与我国大多数地区水文变量的频率分布配合良好D【水文学习题】1．在水文频率计算中，我国一般选配皮尔逊Ⅲ1002．甲乙两河，通过实测年径流量资料的分析计算，获得各自的年平均径流值和离差系数如下：甲河：Q甲＝100m3/s，CV甲＝0.42；乙河：Q乙＝500m3/s，CV乙＝0.25，两者比较可知：[] A、甲河水资源丰富，径流量年际变化大 B、甲河水资源丰富，径流量年际变化小 C、乙河水资源丰富，径流量年际变化大 D、乙河水资源丰富，径流量年际变化小D2．甲乙两河，通过实测年径流量资料的分析计算，获得各自的年平1013．用配线法进行频率计算时，判断配线是否良好所遵循的原则是：[] A、抽样误差最小原则 B、统计参数误差最小原则 C、理论频率曲线与经验频率点据配合最好原则 D、设计值偏于安全原则C3．用配线法进行频率计算时，判断配线是否良好所遵循的原则是1024．

某河某站有24年实测径流资料，经频率计算已求得理论频率曲线为P—III型，年径流深均值R=667mm，CV=0.32，CS=2.0CV，试求十年一遇丰水年和十年一遇枯水年的年径流深为多少？十年一遇洪水年，p=1/T=10%，十年一遇枯水年，p=1-1/T=90%4．

某河某站有24年实测径流资料，经频率计算已求得理论频10310.相关分析

1．相关的意义与应用

有些测站，或因建站较晚实测资料系列较短，或有若干年缺测，整个系列不连续。为了提高系列的代表性，需要对已有的实测资料系列进行插补和延长。

相关分析可以用来延长和插补短系列。自然界中有许多现象之间是有一定联系的。研究分析两个或多个随机变量之间的关系称为相关分析。

10.相关分析1．相关的意义与应用

有些测站，或1042．相关的种类

根据变量之间相互关系的密切程度，变量之间的关系有三种情况：即完全相关、零相关、统计相关。

----完全相关（函数关系）

两变量x与y之间，如果每给定一个x值，就有一个完全确定的y值与之对应，则这两个变量之间的关系就是完全相关（或称函数相关）。完全相关的形式有直线关系和曲线关系两种2．相关的种类

根据变量之间相互关系的密切程度，变量105----零相关（没有关系）

两变量之间毫无联系，或某一现象（变量）的变化不影响另一现象（变量）的变化，这种关系则称为零相关或没有关系。----零相关（没有关系）

两变量之间毫无联系，或106----统计相关

若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称为相关关系或统计相关。当只研究两个变量的相关关系时，称为简相关；当研究3个或3个以上变量的相关关系时，则称为复相关。在相关的形式上，又可分为直线相关和非直线相关。

----统计相关

若两个变量之间的关系界于完全相关1073．相关分析的内容相关分析（或回归分析）的内容一般包括三个方面：

（1）确定变量间的数量关系――回归方程或相关线；

（2）判定变量间是否存在相关关系，若存在，计算其相关系数，以判断相关的密切程度；（3）根据自变量的值，预报或延长、插补倚变量的值，并对该估值进行误差分析。

3．相关分析的内容108★简单直线相关

1．相关图解法

设xi和yi代表两系列的观测值，共有n对，把对应值点绘于方格纸上，得到很多相关点。如果相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间及点绘出相关直线。★简单直线相关1．相关图解法

设xi和yi代表两系1092．相关分析法

为避免相关图解法在定线上的任意性，常采用相关计算法来确定相关线的方程，即回归方程。简直线相关方程的形式为:

y=a+bx

式中x

――自变量；y

――倚变量；a、b―待定常数。

待定常数a、b由观测点与直线拟合最佳，通过最小二乘进行估计。

2．相关分析法

为避免相关图解法在定线上的任意性，常110直线回归方程观测点与配合的直线在纵轴方向的离差为：要使直线拟合“最佳”，须使离差△yi的平方和为“最小”，即使为极小值。直线回归方程111最后得到如下形式的回归方程：

此式称为y倚x的回归方程。最后得到如下形式的回归方程：

1123．相关分析的误差

----回归线的误差

回归线仅是观测点据的最佳配合线，通常观测点据并不完全落在回归线上，而是散布于回归线的两旁。

因此，回归线只反映两变量间的平均关系。按此关系推求的和实际值之间存在着误差，误差大小一般采用均方误来表示。

如用Sy表示y倚x回归线的均方误，yi为观测值，为回归线上的对应值，n为系列项数，则

3．相关分析的误差

----回归线的误差

回归线113符合正态分布，因此落在一个标准误差范围内的可能性为68.3%，落在三个标准误差范围内的可能性为99.7%。

P(y-Sy<yi<y+Sy)=68.3%

P(y-3Sy<yi<y+3Sy)=99.7%

符合正态分布，因此落在一个标准误差范围内的可能性为68.3%114----相关系数误差

在相关分析中，相关系数是根据有限的实测资料（样本）计算出来的，必然会有抽样误差。一般通过相关系数的均方误来判断样本相关系数的可靠性，按统计学原理，相关系数的均方误为

----相关系数误差

在相关分析中，相关系数115相关分析应注意的问题1、分析两种变量在成因上的联系性；2、观测资料不能太少，不少于10项；3、相关系数>0.8，回归线误差Sy不大于均值y的10%~15%，相关分析成果才认为可以应用。相关分析应注意的问题1、分析两种变量在成因上的联系性；1161、相关系数r的取值范围是[]。

a、r﹥0；

b、r﹤0；

c、r=-1~1；

d、r=0~1。2、相关分析在水文分析计算中主要用于[]。

a、推求设计值；

b、推求频率曲线；

c、计算相关系数；d、插补、延长水文系列。

3、相关系数是表示两变量相关程度的一个量，若r=－0﹒95，说明两变量没有关系。[]4、相关系数反映的是相关变量之间的一种平均关系。[]1、相关系数r的取值范围是[]。

a、r﹥117水文统计包括频率计算和相关分析两部分内容，是工程水文学的理论基础和技术工具，一定要很好地掌握并能熟练地应用它。

频率计算主要用于工程的规划和设计，可以把年降水量、年径流量、年最大洪峰流量、年最小枯水流量等看作是随机变量，求它们的频率分布-频率曲线，并以此作为总体概率分布的估计。频率曲线的推求用配线法给经验频率点群选配一条最佳的配合线。配线法需要选定一种线型，在我国主要采用皮尔逊III型曲线；还需要选定一种计算经验频率计算公式，在我国主要采用数学期望公式。矩法是配线过程中初估统计参数的方法。

频率计算中有一些重要概念应当注意，它们是：总体、样本，概率、频率，频率与重现期的关系，经验频率曲线和理论频率曲线，样本参数的计算，抽样误差，统计参数对频率曲线的影响等。

水文统计包括频率计算和相关分析两部分内容，是工程水文学的理论118

相关分析又叫回归分析，在工程规划设计中常用于展延样本系列以提高样本的代表性。相关分析方法有图解法和计算法两种。不论哪种情况，相关分析都需要求出变量间关系的表达式或图形，以及相关的密切程度。直线回归的分析方法是基于最小二乘法原理，并提出了便于记忆的正规方程形式。相关分析中，相关系数、回归系数、回归方程、回归方程的均方误、相关分析的目的等，应很好地理解并能熟练地应用。

相关分析又叫回归分析，在工程规划设计中常用于展延样本119水文统计包括频率计算和相关分析两部分内容，是工程水文学的理论基础和技术工具，一定要很好地掌握并能熟练地应用它。

频率计算主要用于工程的规划和设计，可以把年降水量、年径流量、年最大洪峰流量、年最小枯水流量等看作是随机变量，求它们的频率分布-频率曲线，并以此作为总体概率分布的估计。频率曲线的推求用配线法给经验频率点群选配一条最佳的配合线。配线法需要选定一种线型，在我国主要采用皮尔逊III型曲线；还需要选定一种计算经验频率计算公式，在我国主要采用数学期望公式。矩法是配线过程中初估统计参数的方法。

相关分析又叫回归分析，在工程规划设计中常用于展延样本系列以提高样本的代表性。相关分析方法有图解法和计算法两种。不论哪种情况，相关分析都需要求出变量间关系的表达式或图形，以及相关的密切程度。直线回归的分析方法是基于最小二乘法原理，并提出了便于记忆的正规方程形式。

水文统计包括频率计算和相关分析两部分内容，是工程水文学的理论120A站和B站是黄河上下游相邻的两站，两站实测资料如下表（m3/s）求：1、回归直线和回归直线方程，并插补延长短系列；2、用适线法求出B站百年一遇丰水年和十年一遇枯水年的设计年径流量。

196419651966196719681969197019711972197319741975A站15734.912090.722021179.418619419.993.983.4B站13237.211381.421021984206200

10170

1976197719781979198019811982198319841985

A站11013310220414461.346.6254246382

B站133

A站和B站是黄河上下游相邻的两站，两站实测资料如下表（m3/121EndEnd122

第三章水文统计基本原理与方法Hydrologicstatistics

123内容：水文统计的意义及基本概念频率和概率经验频率曲线随机变量的统计参数理论频率曲线抽样误差水文频率分析方法相关分析内容：124水文现象具有二重性：水文现象包含着必然性(Inevitability)水文现象也包含着偶然性(Contingency)，对水文的偶然现象（或称随机现象）所遵循的规律一般称做统计规律。1.概述物理成因分析法概率论和数理统计分析方法水文现象具有二重性：水文现象也包含着偶然性125水文分析计算常用到数理统计的方法进行流域或地区水资源开发利用，首先要了解流域内未来的河道的来水量，以合理规划；进行水利工程规划设计，需弄清未来时期河流中可能的洪水量及其过程，以确定工程的规模。这种对未来长期的径流情势（属随机变量）的估计，只能依据其统计规律，利用数理统计的方法进行“概率预估”。所谓“概率预估”，即分析水文变量出现大过或小于某个数值的可能性为多少。水文分析计算常用到数理统计的方法进行流域或地区水1262.水文统计的基本概念2.1事件对随机现象的观测称为随机试验。随机试验的结果叫做事件。事件分为三类：必然事件不可能事件随机事件2.水文统计的基本概念2.1事件1271）随机变量（Randomvariable）

用以表示随机试验结果的一个数量(事先是未知的)，由于它事先不能确定，是随机的，称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、洪峰流量等)。2.2.总体、样本、样本容量1）随机变量（Randomvariable）2.2.总128

它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变量的可能取的值记作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般称之为随机系列或随机数列。

随机变量的表示:它是指随机试验结果的一个数量。在水文学中，常用大写字129

离散型随机变量

Discreterandomvariable

随机变量仅取得区间内某些间断的离散值，则称为离散型随机变量。如洪峰次数，只能取0,1,2…，不能取相邻两数值之间的任何值。随机变量的分类:

连续型随机变量

Continuousrandomvariable

随机变量可以取得一个有限区间内的任何数值，则称为连续型随机变量。如某河流断面的流量可以取0~极限值之间的任何实数值。离散型随机变量Discreterandomvari130

总体

（Population/Totality）

在统计数学中，把某种随机变量所取数值的全体，称为总体。水文变量如年径流量的总体数是无穷的，故无法取得总体。2）统计学中几个概念：

样本（Sample）

从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。如实测的水文数据是有限的，是一样本。总体（Population/Totality）2）统1311)资料可靠性审查(Reliabilityexamination)

经有关部门整编后正式刊发的资料；

水文资料的测验和整编方法的合理性；2)资料一致性审查(Consistencyexamination)应用数理统计方法进行计算分析时，要求组成系列的水文资料都是在同一类型和同一条件下产生的。3.水文资料审查

Examinationofhydrologicinformation1)资料可靠性审查(Reliabilityexamina132

实测的水文系列可看成总体的一个随机样本，因此资料（样本）的代表性是指样本的统计特征能否反映总体的统计特征。样本对总体的代表性的好坏反映在样本的统计参数与总体统计参数的接近程度。依据数理统计原理，当样本容量愈大，则抽样误差愈小，说明长系列样本代表性高的可能性要大。增加资料系列长度的手段有3种：插补展延、增加历史资料、坚持长期观测。3)资料的代表性审查(RepresentationExamination)实测的水文系列可看成总体的一个随机样本，因此1334)资料的随机性审查(RandomExamination)

5)资料的独立性审查(Independenceexamination)4)资料的随机性审查(RandomExaminatio1344.1概率和频率的基本概念1)概率（Probability）

为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标，这个数量指标就是事件的概率。4.概率和频率

Probability&Frequency4.1概率和频率的基本概念4.概率和频率

Pr135

式中，P(A)：一定条件下随机事件A的概率；

n：试验中所有可能的出现的结果数；

m：出现随机事件A的结果数。简单(古典)的随机事件的概率定义用下式表示： 式中，P(A)：一定条件下随机事件A的概136有利于A的试验结果数m为介于0~n之间的数，

即根据事件出现的可能性是否能预先估计，分为：

事先概率

事后概率随机事件A的概率有利于A的试验结果数m为介于0~n之间的数，

即根据事件137例：袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球、黑球的概率各是多少？摸出白球或黑球的概率为多少？摸出红球的概率为多少？例：袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球138设事件A在n次随机试验中出现了m次，则定义：2）频率

（Frequency）为事件A在n次试验中出现的频率。注意：n

不是所有可能的结果总数，仅是随机试验的次数。设事件A在n次随机试验中出现了m次，则定义：2）139皮尔逊试验：

丢币次数出现正面的次数频率

404020480.5069

1200060190.501624000120190.5005当试验次数n不大时，事件频率有明显的不稳定性。当试验次数n增加到充分大时，事件频率显著地出现稳定的趋势，例如：频率与概率的关系皮尔逊试验：当试验次数n不大时，事件频率有明显的不稳定140频率:

频率是通过若干次试验后才能求得的经验值，事先不能确定，当试验次数n愈大，即当n趋于无穷大时，理论上，n变成试验中所有可能的结果总数，则频率愈接近概率。概率和频率的区别：概率:

表达事件客观上出现的可能性大小，是一个理论值。频率:概率和频率的区别：概率:

表达事件客观141

因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可见水文现象的概率不能视为古典概率。因此，通常将有限的实测水文数据当作多次重复试验结果，故可用上式，式中n为事件A随机试验次数）推求的频率作为概率的近似值。因为各种水文要素其可能出现的总数是无限的，可1424.2概率运算定律(1)概率相加定理互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件均不能发生，这类事件称为互斥事件；概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率总和。4.2概率运算定律(1)概率相加定理143[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白或黑求的概率是多少？[例]袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白144[例]某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.1所示，试确定水位H≥2.0m和H≥2.7m的概率？某站水位频率计算表3.1

序号水位H（m）频数f（a）频率W（%）累积频率P（%）123454.03.52.72.01.921016935254022.57.55307092.5100∑—40100—

注：表中水位为相对高程。[例]某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表145(2)概率相乘定理独立事件：某一事件的出现并不影响其他事件的出现，这类事件称为独立事件；概率相乘定理：几个独立事件一并（先后）出现的概率等于各事件出现的概率之积。(2)概率相乘定理146例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各为1/10，求这三条排水管道在工作中同时都出现满溢的概率。p=1/10·1/10·1/10=1‰例：有三条互不影响的排水管道，它们遭遇满溢的破坏概率各为147

条件概率：在事件B发生的情况下事件A的概率。记为P(A︱B)P(AB)=P(B)·P(A︱B)例：一纸箱中有相同大小的乒乓球50个，其中白色40个，黄色10个，现任意从中取一个不放回，再从中取另一个，问两次取球均为白色的概率。条件概率：148对于离散型随机变量：

随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小，即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表示为：4.3随机变量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示随机变量X

取值x1,x2,…xn

所对应的概率。对于离散型随机变量：4.3随机变量的概率分布149

x1x2x3x4……xnXP

离散型随机变量概率分布图一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规律，简称为分布律。可以用以下的分布图形表示：x1x2x3x4…150对于连续型随机变量：

变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其每一个可能值，只能以区间的概率来分析其分布规律。连续系列按由大到小顺序排列，分成N组，组距值△x=xi-xi+1，任一组内概率为△p，组间平均概率为f=△p/△x，此值称为△x区间对应的概率密度。区间足够小时，

对于连续型随机变量：变量的取值充满整个数值区间151水文学第三章课件152水文学上习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率，表示为：

它是x的函数，称作随机变量X

的分布函数(Distributionfunction)，记作F(x)，即

表示随机变量X大于或等于值x的概率，其几何曲线称作随机变量的概率分