第八节：多元函数的极值及其求法课件

第八节：多元函数的极值一元函数

y=f(x)

的极值概念：总有第八节：多元函数的极值一元函数y=f(x)的极值（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若f(x)在极值点处可导，则导数一定为0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为f(x)

的极小值；（2）如果，则为f(x)

的极大值；，定理失效。（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻（2）（极值存在的（一）多元函数的极值定义：设z=f(x,y)

的定义域为D，总有总有是D

的一个内点，则称是f(x,y)的极大值；则称是f(x,y)的极小值。若存在点的一个去心邻域

极大值和极小值统称为极值；第八节：多元函数的极值（一）多元函数的极值定义：设z=f(x,y

使函数取得极值的点称为极值点；

同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念

利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以推广到n

元函数的情形使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元因为在点(0,0)处，函数值为0，而在点(0,0)的任何邻域内，即有使函数值大于0的点，也有使函数值小于0的点。因为在点(0,0)处，函数值为0，而在点(0提示:

由题设例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()的某个邻域内连续,且A(2003考研)P121，1提示:由题设例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(定理1:

（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为f(x,y)在点有极大值定理1:（极值存在的必要条件）如果定理1:

（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似这表明一元函数在点处取得极大值，因此同理可证定理1:（极值存在的必要条件）如果

凡是能使

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。同时成立的点称为函数的驻点。原点是驻点但不是极值点凡是能使具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，同时成立

极值点也可能是使偏导数不存在的点。

极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生。

凡是能使

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，

但驻点不一定是极值点。同时成立的点称为函数的驻点。(0,0)是驻点不是极值点(0,0)点偏导数不存在极值点也可能是使偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点定理2:

（极值存在的充分条件）如果（1）（2）在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当A<0时，有则f(x,y)在处是否取得极值的条件如下极大值，当A>0时，有极小值；时没有极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。定理2:（极值存在的充分条件）如果具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)

的极值的求法：第一步：解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：对于每一个驻点第三步：定出计算二阶偏导数值A、B

、C。的符号，按定理2判定是否是极值，是极大值还是极小值具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)的极值的例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（2）计算二阶偏导数A、B、C

。（3）对每一个驻点，判断的符号所以(1,0)为极小值点，为极小值。例2：求所以点(1,2)和(3,0)不是函数的极值点。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C

。所以点(1,2)和(3,0)不是函所以(3,2)是极大值点。为极大值。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C

。课练:P121,2所以(3,2)是极大值点。为极大值。例2：求例3.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它又在驻点处必有所以将上述方程组两边分别再对x,y

求偏导数，得解又在驻点处必有所以将上述方程组两边解解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)(二)、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,f(P)为极小值f(P)为最小值(大)(大)依据(二)、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解：设箱子的长、宽、高分别为x,y,z,容积为V,

表面积为S，则例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择解：设箱子的长、解上述方程组得唯一驻点

根据实际问题可知S

一定存在最小值，并且一定在D

的内部取得，所以驻点即当表面积S

取得最小值，此时用料最省.是使

S

取得最小值的点解上述方程组得唯一驻点根据实际问题可知S一例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：24cm梯形的上底长为高为其中例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：问题转化为求面积函数A=A(x,)在区域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D内的驻点例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：D注意到得唯一驻点由方程组(1)得代入方程组(2)例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得唯一驻点（2）在D的边界上D例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得唯一驻点（2）在D的边界上D所以当断面的面积最大。例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：解如图,解如图,分别求偏导分别求偏导第八节：多元函数的极值及其求法课件解:由解:由第八节：多元函数的极值及其求法课件无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.习题98B:2,4,5,8,9无条件极值作业无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.习题课堂练习：P1181，2，8,7无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.作业：P1214,

7,8，9，10,11，12习题98B:2,4,5,8,9课堂练习：P1181，2，8,7无条件极（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：求表面积为解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,体积为V,

则问题可描述为：求体积在约束条件下的最大值转化为无条件极值问题。而体积为最大的长方体体积（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：求表面积为解：设长方体的

下面介绍求条件极值的拉格朗日乘数法.

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.若从G的方程解出z，则条件极值问题可转化为求函数

u=f[x,y,z(x,y)]的无条件极值问题.但有时候很难解出z，

由极值的必要条件，知设f和G具有连续的偏导数，且设为u=f[x,y,z(x,y)]的极值点，方程G(x,y,z)=0确定了一个隐函数z=z(x,y),且

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.由极值的必要条件，知设f和G具有连续的偏导数，且设为u=f[x,y,z(x,y)]的极值点，由复合函数求导法，问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.所求问题的解必须满足关系式由复合函数求导法，问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.所求问题的解必须满足关系式

除满足上面的方程组外，还应满足约束条件G(x,y,z)=0问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.即所求问题的解必须满足关系式引进函数L,使它分别对其自变量的偏导等于如上方程.此即为问题1在取极值的必要条件拉格朗日函数拉格朗日乘子问题1：求函数u=f(x,y,拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：其中，为参数，称为拉格朗日乘子.（2）联解方程组，求出问题1

所有可能的极值点.（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断.

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：其中，为参数，称

问题2：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0下的条件极值.（1）作拉格朗日函数其中，称为拉格朗日乘数.（2）联解方程组，求出问题2

的所有可能的极值点.（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断.（P：134，17）问题2：求函数u=f(x,y,例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,体积为V,

则问题可描述为在约束条件下，求体积函数的最大值。（1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组(书例题)例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积（1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组解：由对称性知，x=y=z

，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积（1）例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。结论：表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：这例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)

为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。

由于d

中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。求得两个驻点：对应的距离为（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：问题1：在例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x0,y0,z0

)

为椭球面上平行于已知平面的

的切平面的切点代入椭球面方程，得法二例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组由对称性知，x=y=z

，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。这是唯一可能的极值点（3）判断：设条件所确定的隐函数为代入目标函数中得它有唯一驻点(3a,3a),经计算可得例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。这是唯一可能的极值点（3）判断：例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。这是唯一可能的极值点（3）判断：同理得:例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>0,z>0,a>0。这是唯一可能的极值点（3）判断：它有唯一驻点(3a,3a),所以，(3a,3a)是函数u=xy(x,y)的极小值点从而原条件极值问题有极小值点(3a,3a,3a)对应的极小值为例3：求在条件解：下的极值，其中，x>0,y>习题98:2，4,5,7,8，9，10，11

作业第九章第八节:多元函数的极值练习同济备用题习题98:2，4,5,7,8，9，10，11多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值四、小结总习题:P132;1,2,3,4,5,6,8,9,11,13,14;15,16,17,18,20,多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值及其求法课件第八节：多元函数的极值一元函数

y=f(x)

的极值概念：总有第八节：多元函数的极值一元函数y=f(x)的极值（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若f(x)在极值点处可导，则导数一定为0，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设存在，则有（1）如果（3）如果，则为f(x)

的极小值；（2）如果，则为f(x)

的极大值；，定理失效。（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻（2）（极值存在的（一）多元函数的极值定义：设z=f(x,y)

的定义域为D，总有总有是D

的一个内点，则称是f(x,y)的极大值；则称是f(x,y)的极小值。若存在点的一个去心邻域

极大值和极小值统称为极值；第八节：多元函数的极值（一）多元函数的极值定义：设z=f(x,y

使函数取得极值的点称为极值点；

同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念

利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以推广到n

元函数的情形使函数取得极值的点称为极值点；同一元函数一样，二元因为在点(0,0)处，函数值为0，而在点(0,0)的任何邻域内，即有使函数值大于0的点，也有使函数值小于0的点。因为在点(0,0)处，函数值为0，而在点(0提示:

由题设例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.则()的某个邻域内连续,且A(2003考研)P121，1提示:由题设例1.已知函数(D)根据条件无法判断点(定理1:

（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为f(x,y)在点有极大值定理1:（极值存在的必要条件）如果定理1:

（极值存在的必要条件）如果在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似这表明一元函数在点处取得极大值，因此同理可证定理1:（极值存在的必要条件）如果

凡是能使

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不一定是极值点。同时成立的点称为函数的驻点。原点是驻点但不是极值点凡是能使具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，同时成立

极值点也可能是使偏导数不存在的点。

极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生。

凡是能使

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，

但驻点不一定是极值点。同时成立的点称为函数的驻点。(0,0)是驻点不是极值点(0,0)点偏导数不存在极值点也可能是使偏导数不存在的点。极值点只可能在驻点定理2:

（极值存在的充分条件）如果（1）（2）在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当A<0时，有则f(x,y)在处是否取得极值的条件如下极大值，当A>0时，有极小值；时没有极值；（3）时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。定理2:（极值存在的充分条件）如果具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)

的极值的求法：第一步：解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：对于每一个驻点第三步：定出计算二阶偏导数值A、B

、C。的符号，按定理2判定是否是极值，是极大值还是极小值具有二阶连续偏导数的函数f(x,y)的极值的例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（2）计算二阶偏导数A、B、C

。（3）对每一个驻点，判断的符号所以(1,0)为极小值点，为极小值。例2：求所以点(1,2)和(3,0)不是函数的极值点。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C

。所以点(1,2)和(3,0)不是函所以(3,2)是极大值点。为极大值。例2：求的极值解：（1）得到四个驻点：（3）对每一个驻点，判断的符号（2）计算二阶偏导数A、B、C

。课练:P121,2所以(3,2)是极大值点。为极大值。例2：求例3.讨论函数及是否取得极值.解:

显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它又在驻点处必有所以将上述方程组两边分别再对x,y

求偏导数，得解又在驻点处必有所以将上述方程组两边解解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)为极值点解在驻点处必有所以驻点(1,1)(二)、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值

最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,f(P)为极小值f(P)为最小值(大)(大)依据(二)、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解：设箱子的长、宽、高分别为x,y,z,容积为V,

表面积为S，则例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择解：设箱子的长、解上述方程组得唯一驻点

根据实际问题可知S

一定存在最小值，并且一定在D

的内部取得，所以驻点即当表面积S

取得最小值，此时用料最省.是使

S

取得最小值的点解上述方程组得唯一驻点根据实际问题可知S一例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：24cm梯形的上底长为高为其中例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：问题转化为求面积函数A=A(x,)在区域D上的最大值（1）求A=A(x,)在D内的驻点例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：D注意到得唯一驻点由方程组(1)得代入方程组(2)例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得唯一驻点（2）在D的边界上D例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？解：得唯一驻点（2）在D的边界上D所以当断面的面积最大。例2：有一宽为24cm的长方形铁板，把它两边折起来，解：解如图,解如图,分别求偏导分别求偏导第八节：多元函数的极值及其求法课件解:由解:由第八节：多元函数的极值及其求法课件无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.习题98B:2,4,5,8,9无条件极值作业无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.习题课堂练习：P1181，2，8,7无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.作业：P1214,

7,8，9，10,11，12习题98B:2,4,5,8,9课堂练习：P1181，2，8,7无条件极（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：求表面积为解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,体积为V,

则问题可描述为：求体积在约束条件下的最大值转化为无条件极值问题。而体积为最大的长方体体积（三）条件极值与拉格朗日乘数法例：求表面积为解：设长方体的

下面介绍求条件极值的拉格朗日乘数法.

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.若从G的方程解出z，则条件极值问题可转化为求函数

u=f[x,y,z(x,y)]的无条件极值问题.但有时候很难解出z，

由极值的必要条件，知设f和G具有连续的偏导数，且设为u=f[x,y,z(x,y)]的极值点，方程G(x,y,z)=0确定了一个隐函数z=z(x,y),且

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.由极值的必要条件，知设f和G具有连续的偏导数，且设为u=f[x,y,z(x,y)]的极值点，由复合函数求导法，问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.所求问题的解必须满足关系式由复合函数求导法，问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.所求问题的解必须满足关系式

除满足上面的方程组外，还应满足约束条件G(x,y,z)=0问题1：求函数u=f(x,y,

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.即所求问题的解必须满足关系式引进函数L,使它分别对其自变量的偏导等于如上方程.此即为问题1在取极值的必要条件拉格朗日函数拉格朗日乘子问题1：求函数u=f(x,y,拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：其中，为参数，称为拉格朗日乘子.（2）联解方程组，求出问题1

所有可能的极值点.（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断.

问题1：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

G(x,y,z)=0下的条件极值.拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：其中，为参数，称

问题2：求函数u=f(x,y,z)在约束条件

(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0下的条件极值.（1）作拉格朗日函数其中，称为拉格朗日乘数.（2）联解方程组，求出问题2

的所有可能的极值点.（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断.（P：134，17）问题2：求函数u=f(x,y,例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,体积为V,

则问题可描述为在约束条件下，求体积函数的最大值。（1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组(书例题)例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积（1）构造拉格朗日函数（2）联解方程组解：由对称性知，x=y=z

，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积（1）例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。结论：表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为例1：求表面积为而体积为最大的长方体体积解：这例2：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设(x,y,z)

为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离d

的最大最小值。

由于d

中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题1转化为下面的等价问题例2：在椭球面上，求距离平