齐鲁医学损伤力学讲义资料

岩土损伤力学西安科技大学叶万军2014年9月损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第1页!目录

第1章损伤力学基础

1.1材料的损伤与损伤力学1.2损伤力学的研究方法和内容1.3损伤力学的热力学基础1.4损伤变量和有效应力第2章岩体损伤力学2.1岩石材料的损伤及损伤现象2.2岩体损伤及层次分析2.3岩石损伤状态的几何描述2.4节理岩体损伤力学分析2.5岩体动力损伤力学分析第3章岩体损伤检测方法第4章岩体细观损伤的CT识别损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第2页!第3章岩体损伤检测方法3.1质量密度变化检测法3.2弹模变化检测法3.3弹性应变检测法3.4电阻率变化检测法3.5塑性特征变化检测法3.6粘塑性特征变化检测法3.7声发射检测法3.8超声波检测法3.9光学技术检测法3.10扫描电镜检测法损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第3页!第1章损伤力学基础

1.1材料的损伤与损伤力学

损伤是指材料或介质中各种非设计缺陷的存在和发展。材料力学中假设材料是均匀的各向同性介质，但在显微镜或光学显微镜下看到的材料组织并非均匀，存在着如裂纹、夹渣、气泡、孔穴等缺陷。岩石、混凝土材料由于是一种地质材料或人工合成材料，本身就在其内部存在各种各样的缺陷。这种缺陷就是其损伤的实质性表现。

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岩体工程的失稳，大多是由断层和裂隙扩展促成的。地下工程中由于开采引起顶板上覆岩层的破坏、围岩松动、离层的形成显然也是岩体中微裂纹扩展汇合造成的。长期以来，人们对材料和介质宏观力学性能的劣化直至破坏全过程的机理、本构关系、力学模型和计算方法都非常重视，并且用各种理论和方法进行了研究。材料和物理学家从微观的角度研究微缺陷产生和扩展的机理，但是所得结果不易与宏观力学量相联系。力学工作者则着眼于宏观分析，其中最常用的是断裂力学的理论和方法。断裂力学主要研究裂纹尖端附近的应力场和应变场、能量释放率等，以建立宏观裂纹起裂、裂纹的稳定扩展和失稳扩展的判据。断裂力学无法分析宏观裂纹出现以前材料中的微缺陷或微裂纹的形成及其发展对材料力学性能的影响，而且许多微缺陷的存在并不都能简化为宏观裂纹，这是断裂力学的局限性。经典的固体力学理论虽然完备地描述了无损材料的力学性能（弹性、粘弹性、塑性、粘塑性等），然而，材料或介质的工作过程就是不断损伤的过程，用无损材料的本构关系描绘受损材料的力学性能显然是不合理的。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第5页!

1.2损伤力学的研究方法和内容

损伤力学的研究方法从立足点和研究尺度大致可分为微观方法、细观方法与宏观方法，而损伤变量的选取和意义直接与研究方法有关。

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微观损伤力学主要在分子、原子层次上研究材料损伤的物理过程，用量子力学、统计力学方法确定损伤对微观结构的影响，并推求其宏观力学效果。

方法：从微观裂纹的位错机理出发，用非平衡统计的概念和方法，对材料的本质进行微观与宏观相结合的理论概括，并能统一求得微裂纹的扩展速率、分布函数、延伸率等宏观力学量及它们的统计分布。

缺点：微观方法因其理论不够完善，且统计量浩繁，使之仅能处理某些损伤现象，并且对于大部分工程材料来讲，在分子、原子层次上认识其损伤机理也不一定是最合适的研究方法。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第7页!

Costin（1983）从脆性材料的微裂纹发育的角度建立了一个微裂纹损伤细观模型，用于分析脆性岩石材料的变形和破坏；

Krajcinovic（1985）指出唯象学模型不能有效地处理材料损伤的细观过程，建立了一个以细观力学为基础的损伤理论；

Hult（1985）依据材料孔洞的形态、尺寸和密度定义了细观损伤变量，并根据孔洞的自相似扩展原理，建立了损伤率与应变率之间的关系；1987年从孔隙介质的延性变形和材料弥散引起的损伤发展两方面提出了适用了于多晶体材料的细观损伤模型，但主要是适应于多晶体金属材料的蠕变分析。

国内余寿文在材料断裂损伤的细观力学方面进行了较早的研究；夏蒙芬提出了统计细观力学的思想，他认为材料细观损伤力学应该包括3个层次的描述，即细观描述、统计描述，然后才能上升到宏观层次上进行描述分析。这种思想很值得借鉴，它既包含了细观力学的基本思想，又为细观描述到宏观分析找到桥梁。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第8页!

连续介质损伤力学分析过程一般分为4个阶段（1）选择合适的损伤变量

描述材料中损伤状态的场变量称为损伤变量，它属于本构理论中的内部状态变量。从力学意义上说，损伤变量的选取应考虑到如何与宏观力学量建立联系并易于测量。不同的损伤过程，可以选取不同的损伤变量。即使同一损伤过程，也可以选取不同的损伤变量。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第9页!（2）建立损伤演化方程

材料内部的损伤是随外界因素（如载荷、温度变化等）作用的变化而变化的。为了描述损伤的发展，需要建立描述损伤发展的方程，即损伤演化方程。选取不同的损伤变量，损伤演化方程也就不同，但它们都必须反映材料真实的损伤状态。

（3）建立考虑材料损伤的本构关系

这种包含了损伤变量的本构关系，即损伤本构关系或损伤本构方程，在损伤力学计算中占有重要的地位，或者说起着关键或核心的作用。

（4）根据初始条件（包含初始损伤）和边界条件求解材料各点的应力、应变和损伤值

由计算得到的损伤值，可以判断各点的损伤状态。在损伤达到临界值时，可以认为该点（体积元）破裂，然后根据新的损伤分布状态和新的边界条件，再作类似的反复计算，直至达到材料的破坏准则而终止。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第10页!1.3损伤力学的热力学基础

材料内的损伤是一个不可逆热力学过程。热力学基本定律是材料损伤研究的基础。研究不可逆热力学是要明确不可逆过程必须满足的约束条件和基本定律，从而找到建立材料损伤状态方程的基准和方法。1.热力学定律

热力学定律即能量守恒定律，可表述为：作用于系统上的功的增量加上系统接受的热的增量等于系统内能的增量加上动能的增量

（1-1）式中

——与过程无关的量变（状态增量）；——与过程有关的量变（过程增量）。当增量无限小，且（1－1）式中各量均是时间的可微函数时，上式可写成率的表述形式（1-2）

损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第11页!2.热力学第二定律——Clausius－Duhem不等式

热力学第二定律指出：在自然界中，系统内部的无序混乱变化引起的增值不可能小于零。经典不可逆热力学认为：熵是一种同温度变化有关的、描述系统内部无序混乱变化程度的量。对近平衡态不可逆热力学系统，Prigogine认为：系统总熵S是一个具有广泛性质的可加量，熵的变化dS由两部分组成，即

（1-6）式中

dSe

——外熵增量；dSi

——内熵增量。外熵增量是总熵增量中的可逆部分，它是通过与周围介质的热交换而形成的，且有

（1-7）式中dQ——热传导引起的与周围介质交换的热增量。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第12页!由（1－10）式得

（1-11）

利用散度定理，Clausius－Duhem不等式的局部表达形式为:（1-12）再利用公式（1-13）则（1－11）式成为（1-14）热力学第二定律可用内熵增的形式表述为

式中＞0——不可逆过程；＝0——可逆过程。

热力学第二定律更具体地规定了过程的本质，指明了哪一些过程在现实中是不可能出现的，而哪一些过程是允许的，它刻划了过程的性质和发展方向。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第13页!

上述基本状态变量和内变量的完整集合体的选择并不是唯一的，取决于力学模型的层次、实际系统的复杂过程以及需要在怎样的精度和变形范围内去描述系统的热力学状态等。虽然目前还没有一种客观的方法来指导如何选择最合适的内变量数目与形式。但实践经验、物理直觉，以及应用环境的限制等，都将会影响到内变量的选择。对建立在唯象学上的损伤力学模型来说，重要的是如何选用尽量少的损伤变量来宏观平均地表征材料内部结构的损伤变化对应力、应变关系和强度、寿命等力学特性的影响，并能通过实验去决定所引入的宏观参数。当然如果能够与微观（或细观）的分析（如金相学或细观力学的分析）结合起来搞清楚其损伤机制，则对损伤内变量及其发展规律的研究无疑是很重要的。但这并不意味着后者是进行损伤分析研究的先决条件，这是因为所选择的损伤模型还可以通过宏观来加以检验和修正。

下表给出了一部分常用的基本状态变量（外变量）和内变量与对偶变量的关系。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第14页!

4.状态函数与损伤本构关系

应用Caratheodor定理可以证明：对于任何一个经受热力学过程的不可逆系统，存在一个称为“熵”的状态变量，

并且由“熵”可推出“自由能”状态函数（热力学中所谓的自由能是指等温过程中可用于对外作功的内能部分）。后者起着一种广义势函数的作用，以至作用于该系统的应力、广义力及熵的数值大小均可通过自由能状态函数的各相应偏导数给出。因此，一旦规定出状态变量之后，就可以假定存在着某种热力学势，它是一个标量函数，对温度具有凹性，对其它变量具有凸性。在不同的独立状态变量为基底的热力学空间上，有可能提出不同的、但又彼此等价的势函数。基本状态变量为应变和温度如果将其相关变量即对偶力——应力和熵S加在一起，这4个状态变量仅有两个是独立的。任取其中两个独立的状态变量为自变量（对于不可逆过程自变量还包括内部状态变量），则可组成4个不同的状态函数即能量函数（这些状态函数对可逆过程是势函数，对不可逆过程是泛函数）。

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由于Q是一个过程量，不是状态函数，因此dQ不是全微分。但当内变量保持不变（包括可逆过程），（1－18）式具有局部可积性，根据Caratheodory定理的推论，dQ与绝对温度T的熵是单位质量熵S的全微分。

（1-19）推导得

（1-20a）（1-20b）

（1-20c）

（1-20d）

常用的状态函数是Helmholtz自由能和Gibbs自由能。在无耗散和等温条件下，自由能为应变能函数，为余能函数。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第16页!由于和的任意性，则得材料的本构关系为

（1-24a）（1-24b）令广义力为则（1－23）式简化为

（1-25）内禀耗散功率为

（1-26）（1－25）式为热力学第二定律的另一表达形式，它表示材料损伤、塑性、粘性等过程与热耗散之间的耗散关系，又称为耗散不等式。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第17页!1.4损伤变量和有效应力

连续介质损伤力学属于唯象学理论，采用“连续损伤介质”假设，通过宏观无穷小、微观无限大的模型，把“实际粒子加以离散”，从数学上抽象为“模型损伤介质连续”，该模型认为：在连续损伤介质中所使用的特征微元体（CharacteristicElement）或微系统不是一个几何点，应包含大量的粒子和许多微缺陷，以便从物理的观点来看，能使温度、熵、质量和能量密度等具有确定的物理内涵，从而在微观上可以看作是“无限”大的；另一方面该特征微元体又足够小，从连续场的分析观点来看，在无穷小的尺寸范围内均匀性的假设对连续场论中数学分析引起的误差可以忽略不计。这样处理的结果使得在微观上看来不连续的损伤缺陷现在有可能如像温度、位移等一样，在宏观上可作为连续变量来处理，从而为采用连续介质力学方法来研究损伤问题提供了可行性。

损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第18页!2.有效应力的概念

现用材料受单轴拉伸的例子说明有效应力的概念。图a为一初始无损伤的材料，假设受F力到一定大小后产生均匀的损伤（图b）。若材料的初始横截面积为A，受损后损伤面积（包括微裂纹和空隙）为，材料的净面积或者有效面积为。在均匀损伤状态下，损伤变量取为标量。Kachanov在研究金属的蠕变断裂时，次提出用连续性变量描述材料的损伤状态，定义ψ为

（1-27）损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第19页!3.应变等价原理

在受损材料中，测定有效面积是比较困难的，为了能间接地测定损伤，Lemaitre提出了应变等价原理。这一假设认为，应力σ作用在受损材料上引起的应变与有效应力作用在无损材料上引起的应变等价。根据这一原理，受损材料的本构关系可通过无损材料中的名义应力得到，即

（1-31）或（1-32）

式（1－32）表示一维问题中受损材料的本构关系。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第20页!下图是用测量卸载弹性模量的方法得到99.99%铜的塑性损伤的变化过程，为损伤变量的临界值，为损伤开始时的塑性应变，为断裂时的塑性应变。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第21页!

4.有效应力张量

在多轴应力作用下，若损伤是各向同性的，则可将单轴应力下的有效应力推广表示为张量，

（1-39）式中——Cauchy(柯西)应力张量。设在材料内取一体元，该体元任一方面的截面为A，该截面的法向单位矢量为n，则截面的面积矢量为

（1-40）当材料损伤后，设有一虚构的体元，其法线的的面积矢量为

（1-41）式中

——面法线方向的损伤变量。现定义二阶对称张量，，为单位张量，使

（1-42）

，

损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第22页!第4章岩体细观损伤的CT识别4.1岩体（石）初始细观损伤的CT检测4.2岩石细观损伤CT数分布的特性规律4.3岩石细观损伤CT数分布规律的数学分析4.4岩石细观损伤CT数与岩石损伤密度的关系4.5岩石细观损伤CT数据伤变量公式讨论损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第23页!损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第24页!

损伤力学是研究材料或介质从原生缺陷到形成宏观裂纹直至断裂破坏的全过程，也就是通常指的微裂纹的萌生、扩展或演变、宏观裂纹形成、裂纹的稳定扩展和失稳扩展的全过程。损伤力学主要是在连续介质力学和热力学的基础上，用固体力学的方法，研究材料或介质宏观力学性能演变直至破坏的全过程。损伤理论旨在建立受损材料的本构关系、解释材料的破坏机理、建立损伤的演变方程、计算材料的损伤程度，从而达到预估其剩余寿命或评价介质稳定程度的目的。因此，它是经典的固体力学理论的发展和补充。损伤的概念最早起源于1958年Kachanov研究蠕变断裂时引用“连续性因子”和有效应力的概念。Rabotnov又进一步引进“损伤因子”的概念。在此基础上他们采用连续介质力学的唯象方法，研究了材料蠕变损伤过程。此后20年，这些概念和方法仅局限于分析蠕变断裂。到70年代后期，原子能工业和航天技术工业材料行为的研究遇到许多问题，损伤的概念又开始被重视起来。经Lemaitre（1978，1981）、Chaboche（1980，1981），Hult（1979），及Krajcinovic（1981）等学者的努力，在内变量理论和不可逆热力学一般框架的支持下，逐渐形成了“损伤力学”这门学科。

损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第25页!施斌教授提出的界限尺寸为：小于0.002mm的结构单元体及其组合体为微观范畴，150.002mm的结构单元体及其组合体为细观范畴，大于15mm为宏观范畴。杨更社教授认为细观研究的界限取决于研究的范围与工程应用背景范围的比例：金属材料常在10-6mm内；岩土材料以肉眼不可见的尺度作为细观上限，小于10-6mm到了微观界限。

谢尔盖耶夫所谓的“中观”，实际上就是现在所说的细观（meso)。顾名思义，只有仔细地看，才能看清（用肉眼看不清，或看不见；借助普通放大镜，放大数倍，才可看清）。由此可见，谢尔盖耶夫划分的细观界限较为合适。故细观界限尺寸：1mm~0.001mm.损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第26页!由于材料的损伤现象涉及到从微观到宏观各种尺度的过程和各层次的互相耦合。而在远离平衡条件下，微观的原子、分子层次与宏观层次之间没有简单的、直接的联系。比较现实的途径是通过若干中间层次作为联系微观与宏观的桥梁，这种中间尺度称为细观尺度。

细观损伤主要从材料内的颗粒、晶体、微裂纹、空洞等细观结构层次上研究各类损伤的形态、分布及其演化特征，从而预测材料的宏观力学特征。细观损伤理论是一种多重尺度的连续介质理论。一般认为，细观损伤模型为损伤变量和损伤演化赋予了较为真实的几何形状和物理过程，并为宏观损伤理论提供较高层次的实验基础，有助于对损伤过程本质的认识。因此，80年代中后期，细观损伤力学成为损伤力学的主导发展方向之一。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第27页!

宏观损伤力学的方法是通过引进内变量来把材料内结构的变化现象渗透到宏观力学现象来加以分析。它基于连续介质力学和不可逆热力学理论，将包含各种缺陷的材料视为一种连续体，认为损伤作为一种场变量在其中连续分布，损伤状态由损伤变量进行描述。在满足力学、热力学基本假设和定理的条件下，唯象地推求出损伤材料的本构方程和损伤演化方程。

宏观损伤力学用不可逆热力学内变量来描述材料内损伤缺陷及其变化，而不去更细致地考虑其变化的机制。它从Kachanov（1958）损伤力学基本思想的提出到80年代中期一直占主导地位，通常称之为“连续介质损伤力学”（CDM）。经过20多年的不断发展，连续介质损伤力学理论已日趋成熟，并在各学科、领域得以应用。

损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第28页!损伤变量要由物理意义明确的物理量来定义，并且还必须具有一定的物理和数学本质，早期的以Kachanov-Rabotnov有效面积为基础所定义的损伤张量均为标量，主要适用于各向同性损伤材料。实际上材料的损伤是各向异性的，通过损伤张量可方便地处理各向同性或各向异性材料的各向异性损伤问题，于是人们又致力于矢量或张量性质损伤变量的研究。如Krajcinovic（1981）从材料微缺陷模型出发，对脆弹性材料中的扁平缺陷用矢量作为损伤描述，Vakulenko和Kachanov（1971）在处理脆弹性损伤时，提出用微裂纹的法向矢量。与裂纹面相对位移矢量构成2阶“损伤张量”

。Murakami&Ohno（1981）应用微裂纹的体积配置定义了2阶损伤张量。损伤张量阶次的增加，可以更多地考虑损伤的影响因素，使损伤的分析更为精细。而且，早期的标量损伤模型均可由张量模型退化而得到。损伤张量的阶次不具任意性，最高为8阶。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第29页!

损伤实验研究建立具体问题的损伤模型不可逆热力学与连续介质力学的均衡定律选择损伤变量建立损伤材料本构方程应力分析数值计算强度分析实验验证工程实际应用损伤演变方程损伤初始条件损伤破坏准则损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第30页!对于连续损伤介质，上式中各量均与损伤变量有关。当不考虑体力矩和面力矩时，有（1-3）所以：

（1-4）若考虑到动量守恒定律：则（1－4）式的局部形式为（1-5）

式中——单位质量含有的内能。

热力学定律反映出哪些能量参与了能量的转化与平衡？损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第31页!热力学第二定律用内熵增量可表示为：

（不可逆过程）

（1－8a）

（可逆过程）

（1－8b）（1－8a）式又被称为Prigogine“熵平衡方程”，时称为等熵过程，一个绝热过程成为等熵过程的充要条件是该过程是可逆的。由（1－6）与（1－8）式可得（1－9）

上式中等号仅对可逆过程成立，不等号适用于不可逆过程。当（1－9）式中熵和热量都是时间的可微函数时，则可改写为率的形式（1-10）

上式就是著名的Clausius-Duhem不等式，是热力学第二定律的率表达形式。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第32页!3.热力学状态变量与损伤变量

状态变量在t时刻的数值大小对于唯一决定t时刻能量密度的数值是必要的，但不一定是充分的。如果一个状态变量不是以前所发现的那些状态变量的函数，它就被称为基本的状态变量。例如，应变，人们确信应变张量是描述固体介质热力学状态的基本状态变量；当应变保持常值时，借助于温度也可以改变固体的内能，温度是一个在系统空间各点上任何瞬间的标量函数，也是基本状态变量。基本状态变量是互相独立的变量。应变和温度都是可观测量，通常又被称为外部状态变量或简称为外变量。内部状态变量（通常简称为内变量）是一种不一定能够被直接测定，但又可观测、与基本状态变量独立的热力学变量，它们与基本状态变量一道唯一决定不可逆系统的状态。内变量的具体物理含义非常广泛，它取决于具体材料的热力学系统历史和在特定环境条件下的内部组织与结构状态。损伤变量是一种用于描述材料内部损伤状态变化发展及其对材料力学作用影响的内部状态变量。在损伤力学的局部状态方法中，通过损伤内变量的变化来刻划这种不可逆的耗散过程。这些损伤变量表征了材料内部微结构（如位错密度、微裂纹、孔隙等的形貌，以及聚合物分子结构的化学老化过程等）的演化和发展过程。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第33页!损伤材料的对偶状态变量

外变量内变量对偶变量温度T熵应变应力塑性应变屈服面变径累积塑性应变损伤对偶力损伤变量对偶力其他内变量损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第34页!这4个状态函数为内能密度

内焓密度Helmholtz自由能密度（1-16）Gibbs自由能密度这四个状态函数之间的关系为

（1-17）由（1－5）式，得

（1-18）式中

——单位体积的变形功增量；——单位体积输入的热量增量。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第35页!

状态方程是描述应力、广义力和熵与基本状态变量和内变量之间关系的方程，又被称为本构方程。通常也将状态变量之间的关系称为本构关系。应变可分解为弹性应变（无耗散）和非弹性应变

（有耗散），则

（1-21）如果用表示损伤变量（一般为张量），其它内变量（如表示塑性、粘性等影响）用表示，则Helmholtz自由能可表示为

（1-22）整理得

（1-23）损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第36页!

损伤材料的耗散变量与对偶力的关系耗散变量对偶变量塑性应变量应力损伤变量损伤对偶力热通量热传导驱动力其它耗散变量其它对偶力损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第37页!

1.损伤变量

由于材料的损伤引起材料微观结构和某些宏观物理性能的变化，因此可以从微观和宏观两方面选择度量损伤的基准。微观方面，可以选用空隙的数目、长度、面积和体积；从宏观方面，可以选用弹性系数、屈服应力、拉伸强度、伸长率、密度、电阻、超声波速和声辐射等等。在这两类基准中，最常用的是：（1）空隙的数目、长度、面积和体积；（2）由空隙的形状、排列取向决定的有效面积；（3）弹性系数（弹性模量和泊松比）；（4）密度等。可以用直接法和间接法测量材料的损伤。例如，对微观方面的基准量，可采用直接测定的方法以判定材料的损伤状态；而对宏观方面的基准量，则可用机械法和物理法测定，然后间接推算材料的损伤。至于实际采用哪些方法，应根据损伤变量如何定义以及损伤类型而定。在不同的情况下，可将损伤变量定义为标量、矢量或张量。从热力学的观点看，损伤变量是一种内部状态变量，它能反映物质结构的不可逆变化过程。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第38页!Rabotnov在研究金属蠕变时引入了一个与连续变量相对应的变量，称为损伤变量。

（1-28）式中

，对应于无损伤状态；，对应于完全损伤（断裂）状态；，对应于不同程度的损伤状态。令为横截面上的名义应力；为净截面或有效截面上的应力，称为净应力或有效应力，则利用式（1－28）并由

（1-29）得

（1-30）当材料发生非均匀损伤时，可在材料内一点处取一体元，用相似的方法仍可得到式

（1-30）。损伤力学讲义资料共42页，您现在浏览的是第39页!

将式（1－32）改写为为受损材料的弹性模量，称为有效弹性模量，由此得到

（1-33）由式（1－32）得