高等代数课件(北大版)第五章二次型§51

第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题11/24/2022数学与计算科学学院第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§51一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.1二次型的矩阵表示11/24/2022数学与计算科学学院一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.2解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴

(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线

问题的引入:11/24/2022数学与计算科学学院解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程)中3代数观点下作适当的非退化线性替换

只含平方项的多项式二次齐次多项式

(标准形)11/24/2022数学与计算科学学院代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次4一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型．①n个文字的二次齐次多项式11/24/2022数学与计算科学学院一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二5注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中的系数写成11/24/2022数学与计算科学学院注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中61）约定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjxi，有②2、二次型的矩阵表示11/24/2022数学与计算科学学院1）约定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjx7则矩阵A称为二次型的矩阵.11/24/2022数学与计算科学学院则矩阵A称为二次型的矩阵.811/24/2022数学与计算科学学院11/23/2022数学与计算科学学院9于是有11/24/2022数学与计算科学学院于是有11/23/2022数学与计算科学学院10注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.

若且，则1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即（这表明在选定文字下，二次型完全由对称矩阵A决定.)11/24/2022数学与计算科学学院注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二11例11）实数域R上的2元二次型

3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2）实数域R上的3元二次型11/24/2022数学与计算科学学院例11）实数域R上的2元二次型3）复数域C上的4元二次型12二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由的一个线性替换;若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.11/24/2022数学与计算科学学院二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由13.0它是非退化的.∵系数行列式

例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度即变换11/24/2022数学与计算科学学院.0它是非退化的.∵系数行列式例2解析几何中的坐标142、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY

④若|C|≠0，则④为非退化线性替换.注1）③或④为非退化的为可逆矩阵.2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化线性替换.11/24/2022数学与计算科学学院2、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY④注15即，B为对称矩阵.

3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型————

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事实上，是一个二次型.11/24/2022数学与计算科学学院即，B为对称矩阵.3、二次型经过16三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:

1、定义：设，若存在可逆矩阵使，则称A与B合同.11/24/2022数学与计算科学学院三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反173）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.

2）合同矩阵具有相同的秩.

2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY进而，有:C可逆原二次型矩阵是合同的.11/24/2022数学与计算科学学院3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的18例2证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型11/24/2022数学与计算科学学院例2证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型11/19故矩阵A与B合同.对作非退化线性替换则二次型化为（注意

的系数为）11/24/2022数学与计算科学学院故矩阵A与B合同.对作非退化线性替换则二次型化20练习

写出下列二次型的矩阵其中11/24/2022数学与计算科学学院练习写出下列二次型的矩阵其中11/23/2022数学与计21答案11/24/2022数学与计算科学学院答案11/23/2022数学与计算科学学院22-

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4.解：11/24/2022数学与计算科学学院--4.解：11/23/2022数学与计算科学学院23四、小结

n元二次型：非退化线性替换：，或X=CY，|C|≠0.基本概念矩阵的合同：11/24/2022数学与计算科学学院四、小结n元二次型：非退化线性替换：，或X=CY，|C24

基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性.2、二次型X´AX可经非退化线性替换化为二型Y´BY11/24/2022数学与计算科学学院基本结论1、二次型经过非退化线性替换仍为二次型.3、矩阵的25第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题11/24/2022数学与计算科学学院第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§526一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.1二次型的矩阵表示11/24/2022数学与计算科学学院一、n元二次型二、非退化线性替换三、矩阵的合同四、小结§5.27解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴

(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线

问题的引入:11/24/2022数学与计算科学学院解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程)中28代数观点下作适当的非退化线性替换

只含平方项的多项式二次齐次多项式

(标准形)11/24/2022数学与计算科学学院代数观点下作适当的非退化线性替换只含平方项的多项式二次齐次29一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二次型．①n个文字的二次齐次多项式11/24/2022数学与计算科学学院一、n元二次型1、定义：设P为数域，称为数域P上的一个n元二30注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中的系数写成11/24/2022数学与计算科学学院注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中311）约定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjxi，有②2、二次型的矩阵表示11/24/2022数学与计算科学学院1）约定①中aij=aji，i<j，由xixj＝xjx32则矩阵A称为二次型的矩阵.11/24/2022数学与计算科学学院则矩阵A称为二次型的矩阵.3311/24/2022数学与计算科学学院11/23/2022数学与计算科学学院34于是有11/24/2022数学与计算科学学院于是有11/23/2022数学与计算科学学院35注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二次型时矩阵是一个有力的工具.

若且，则1）二次型的矩阵总是对称矩阵,即（这表明在选定文字下，二次型完全由对称矩阵A决定.)11/24/2022数学与计算科学学院注意:2）二次型与它的矩阵相互唯一确定，即正因为如此，讨论二36例11）实数域R上的2元二次型

3）复数域C上的4元二次型它们的矩阵分别是：2）实数域R上的3元二次型11/24/2022数学与计算科学学院例11）实数域R上的2元二次型3）复数域C上的4元二次型37二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由的一个线性替换;若系数行列式|cij|≠0,则称③为非退化线性替换.11/24/2022数学与计算科学学院二、非退化线性替换1、定义：是两组文字,，关系式③称为由38.0它是非退化的.∵系数行列式

例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转解角度即变换11/24/2022数学与计算科学学院.0它是非退化的.∵系数行列式例2解析几何中的坐标392、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY

④若|C|≠0，则④为非退化线性替换.注1）③或④为非退化的为可逆矩阵.2）若X＝CY为非退化线性替换，则有非退化线性替换.11/24/2022数学与计算科学学院2、线性替换的矩阵表示则③可表示为X=CY④注40即，B为对称矩阵.

3、二次型经过非退化线性替换仍为二次型————

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事实上，是一个二次型.11/24/2022数学与计算科学学院即，B为对称矩阵.3、二次型经过41三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:

1、定义：设，若存在可逆矩阵使，则称A与B合同.11/24/2022数学与计算科学学院三、矩阵的合同1）合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反423）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.

2）合同矩阵具有相同的秩.

2、经过非退化线性替换，新二次型矩阵与A与B合同.二次型X´AX可经非退化线性替换化为二次型Y´BY进而，有:C可逆原二次型矩阵是合同的.11/24/2022数学与计算科学学院3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的43例2证明：矩阵A与B合同，其中一个排列.证：作二次型11/24/2