高等代数课件(北大版)第五章二次型§54

第五章二次型§5.1

二次型的矩阵表示§5.2

标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题2022/11/24数学与计算科学学院第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§51一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.4正定二次型四、小结2022/11/24数学与计算科学学院一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.42、正定二次型则称f为正定二次型.如，二次型

是正定的；

不是正定的．

但二次型

一组不全为零的实数

都有

1、定义：实二次型

若对任意2022/11/24数学与计算科学学院、正定二次型则称f为正定二次型.如，二次型是正定的；32、正定性的判定

1）实二次型正定

2）设实二次型

f正定

证：充分性显然.下证必要性，若f正定，取

则2022/11/24数学与计算科学学院2、正定性的判定1）实二次型正定2）设实二4经过非退化线性替换X＝CY化成

则，

3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.

任取一组不全为零的数令证明：设正定二次型

2022/11/24数学与计算科学学院经过非退化线性替换X＝CY化成则，3）非退化线性替换5所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，

，所以

同理，若正定，则正定.

反之，实二次型

可经过非退化不全为0.即线性替换变到实二次型2022/11/24数学与计算科学学院所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，，6秩＝n＝（的正惯性指数）.4）(定理5)

n元实二次型

正定证：设

经非退化线性替换

变成标准形

由2),正定

即，的正惯性指数p＝n＝秩.2022/11/24数学与计算科学学院秩＝n＝（的正惯性指数）.4）(定理5)n元实二7规范形为5）正定二次型的标准形为

2022/11/24数学与计算科学学院规范形为5）正定二次型的标准形为20228二、正定矩阵1、定义

设A为实对称矩阵，若二次型正定二次型的规范形为

是正定的，则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的判定

2)

实对称矩阵A正定

1）实对称矩阵A正定

A与单位矩阵E合同.A与E合同,即存在可逆矩阵C，使可见，正定矩阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵C，使2022/11/24数学与计算科学学院二、正定矩阵1、定义设A为实对称矩阵，若二次型正定二次型93）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.

即，D与E合同.为任一正对角矩阵，则若2022/11/24数学与计算科学学院3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.即，D与10例1、设

A

为

n

阶正定矩阵，证明

（5）若

B

亦是正定矩阵，则

A＋B

也是正定矩阵；（2）是正定矩阵；（1）是正定矩阵；（3）是正定矩阵；（4）是正定矩阵（m为任意整数）；2022/11/24数学与计算科学学院例1、设A为n阶正定矩阵，证明（5）若B亦是正11证：（1）由于

A

正定，则存在可逆矩阵

P，使于是有，故，正定.（2）由于A

正定，对都有因此有令故，正定.即，与单位矩阵E合同.则Q可逆，且2022/11/24数学与计算科学学院证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使于是有，故12，由（1）（2）即得正定.（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使，于是当

m＝2k

时，即，与单位矩阵E合同，所以

正定.（4）由于

A

正定，知为

n

阶可逆对称矩阵

，2022/11/24数学与计算科学学院，由（1）（2）即得正定.（3）A正定，则存在可逆矩阵C13（5）由于A、B正定，对都有因此有故，A＋B

正定.当

m＝2k＋1

时，即，与正定矩阵A合同，而

A与单位矩阵E合同，所以与E合同，即正定.2022/11/24数学与计算科学学院（5）由于A、B正定，对都有因此有故，A＋B143、正定矩阵的必要条件

1）实对称矩阵正定

取正定.

证：若A正定

，则二次型则2022/11/24数学与计算科学学院3、正定矩阵的必要条件1）实对称矩阵15反之不然.即，为对称矩阵，且但A未必正定.如所以A不是正定的.

注意当时，有2022/11/24数学与计算科学学院反之不然.即，为对称矩阵，且但A未162)

实对称矩阵A正定

但不是正定二次型.如注意证：若A正定，则存在可逆矩阵C，使

从而反之不然.即实对称矩阵A，且

A未必正定.

2022/11/24数学与计算科学学院2)实对称矩阵A正定但不是17

4、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩阵称为A的第k阶顺序主子式.2022/11/24数学与计算科学学院4、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩183）k级行列式称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标相同的k阶子式2022/11/24数学与计算科学学院3）k级行列式称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标195、（定理6）A的顺序主子式

Pk全大于零.正定实二次型

证:必要性.设正定，对每一个k令2022/11/24数学与计算科学学院5、（定理6）A的顺序主子式Pk全大于零.正定实二次型20

是正定的，从而正定.对任意一不全为零的数有充分性：对n作数学归纳法.

n＝1时，正定.结论成立.假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.

2022/11/24数学与计算科学学院是正定的，从而21又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使令

则

也全大于零.设2022/11/24数学与计算科学学院又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A22则令

再令则2022/11/24数学与计算科学学院则令再令则2022/123由判定充要条件3).知A正定，所以正定.再令则有两边取行列式，得

又>0，即为正对角矩阵.2022/11/24数学与计算科学学院由判定充要条件3).知A正定，所以正24例2、判定下面二次型是否正定.

其顺序主子式

正定.

解：的矩阵2022/11/24数学与计算科学学院例2、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.解：25解：的矩阵

A的第k阶顺序主子式Pk

（习题7）2022/11/24数学与计算科学学院解：的矩阵A的第k阶顺序主子式Pk26正定.

2022/11/24数学与计算科学学院正定.2022/11/23数学与计算科学学院27例3、证明：若实对称矩阵A正定

，则A的任意一个k阶主子式证：作二次型（习题9）2022/11/24数学与计算科学学院例3、证明：若实对称矩阵A正定，则A的任意一个k阶主子式28其中，对任意一不全为零的数,

有从而，由于A正定，有正定，即有行列式大于零，即即，是正定二次型，因此其矩阵的2022/11/24数学与计算科学学院其中，对任意一不全为零的数,有从而，由29三、n元实二次型的分类设n元二次型

若对任意一组不全为零的实数都有

②，则称为半正定二次型.③，则称为半负定二次型.

①则称为负定二次型.

既不是半正定，也不是半负定，则称为1．定义不定二次型.2022/11/24数学与计算科学学院三、n元实二次型的分类设n元二次型若对任意一组不全为零的30注：①正定矩阵②负定矩阵③半正定矩阵④半负定矩阵⑤不定矩阵相应于二次型的分类，n

级实对称矩阵可分类为：2022/11/24数学与计算科学学院注：①正定矩阵相应于二次型的分类，n级实对称矩阵可分类311）实二次型正定负定；

实对称矩阵A正定－A负定.半负定；2）实二次型半正定实对称矩阵A半正定－A半负定.

2、判定2022/11/24数学与计算科学学院1）实二次型正定负定；实对称矩阵A323）定理7①半正定

；(或A半正定；

)②秩=秩(A)=（正惯性指数）；③

A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使则下列有条件等价：④存在，使⑤

A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）

由此可得，A半正定（习题14）设n元实二次型

2022/11/24数学与计算科学学院3）①半正定；(或A半正定；)②33四、小结1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二次型；基本概念2、顺序主子式、主子式正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；基本结论1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、半正定、半负定、不定）性不变.2022/11/24数学与计算科学学院四、小结1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二次型；基本34负定（半负定）.2、实二次型正定（半正定）3、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX正定A与E合同，即存在可逆阵C，使A＝C´C.f的正惯性指数p

等于nA的各级顺序主子式全大于零.实对称矩阵A半正定4、实对称矩阵A正定2022/11/24数学与计算科学学院负定（半负定）.2、实二次型正定（半35存在，使

5、实二次型f(x1,x2,…,xn)＝X´AX半正定A与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵C，使秩f=秩(A)=p（正惯性指数）A的所有主子式全大于或等于零.2022/11/24数学与计算科学学院存在，使5、实二次型f36第五章二次型§5.1

二次型的矩阵表示§5.2

标准形§5.3唯一性§5.4正定二次型章小结与习题2022/11/24数学与计算科学学院第五章二次型§5.1二次型的矩阵表示§5.2标准形§537一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.4正定二次型四、小结2022/11/24数学与计算科学学院一、正定二次型二、正定矩阵三、n元实二次型的分类§5.438、正定二次型则称f为正定二次型.如，二次型

是正定的；

不是正定的．

但二次型

一组不全为零的实数

都有

1、定义：实二次型

若对任意2022/11/24数学与计算科学学院、正定二次型则称f为正定二次型.如，二次型是正定的；392、正定性的判定

1）实二次型正定

2）设实二次型

f正定

证：充分性显然.下证必要性，若f正定，取

则2022/11/24数学与计算科学学院2、正定性的判定1）实二次型正定2）设实二40经过非退化线性替换X＝CY化成

则，

3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.

任取一组不全为零的数令证明：设正定二次型

2022/11/24数学与计算科学学院经过非退化线性替换X＝CY化成则，3）非退化线性替换41所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，

，所以

同理，若正定，则正定.

反之，实二次型

可经过非退化不全为0.即线性替换变到实二次型2022/11/24数学与计算科学学院所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.又由于C可逆，，42秩＝n＝（的正惯性指数）.4）(定理5)

n元实二次型

正定证：设

经非退化线性替换

变成标准形

由2),正定

即，的正惯性指数p＝n＝秩.2022/11/24数学与计算科学学院秩＝n＝（的正惯性指数）.4）(定理5)n元实二43规范形为5）正定二次型的标准形为

2022/11/24数学与计算科学学院规范形为5）正定二次型的标准形为202244二、正定矩阵1、定义

设A为实对称矩阵，若二次型正定二次型的规范形为

是正定的，则称A为正定矩阵.2、正定矩阵的判定

2)

实对称矩阵A正定

1）实对称矩阵A正定

A与单位矩阵E合同.A与E合同,即存在可逆矩阵C，使可见，正定矩阵是可逆矩阵.存在可逆矩阵C，使2022/11/24数学与计算科学学院二、正定矩阵1、定义设A为实对称矩阵，若二次型正定二次型453）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.

即，D与E合同.为任一正对角矩阵，则若2022/11/24数学与计算科学学院3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.即，D与46例1、设

A

为

n

阶正定矩阵，证明

（5）若

B

亦是正定矩阵，则

A＋B

也是正定矩阵；（2）是正定矩阵；（1）是正定矩阵；（3）是正定矩阵；（4）是正定矩阵（m为任意整数）；2022/11/24数学与计算科学学院例1、设A为n阶正定矩阵，证明（5）若B亦是正47证：（1）由于

A

正定，则存在可逆矩阵

P，使于是有，故，正定.（2）由于A

正定，对都有因此有令故，正定.即，与单位矩阵E合同.则Q可逆，且2022/11/24数学与计算科学学院证：（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使于是有，故48，由（1）（2）即得正定.（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使，于是当

m＝2k

时，即，与单位矩阵E合同，所以

正定.（4）由于

A

正定，知为

n

阶可逆对称矩阵

，2022/11/24数学与计算科学学院，由（1）（2）即得正定.（3）A正定，则存在可逆矩阵C49（5）由于A、B正定，对都有因此有故，A＋B

正定.当

m＝2k＋1

时，即，与正定矩阵A合同，而

A与单位矩阵E合同，所以与E合同，即正定.2022/11/24数学与计算科学学院（5）由于A、B正定，对都有因此有故，A＋B503、正定矩阵的必要条件

1）实对称矩阵正定

取正定.

证：若A正定

，则二次型则2022/11/24数学与计算科学学院3、正定矩阵的必要条件1）实对称矩阵51反之不然.即，为对称矩阵，且但A未必正定.如所以A不是正定的.

注意当时，有2022/11/24数学与计算科学学院反之不然.即，为对称矩阵，且但A未522)

实对称矩阵A正定

但不是正定二次型.如注意证：若A正定，则存在可逆矩阵C，使

从而反之不然.即实对称矩阵A，且

A未必正定.

2022/11/24数学与计算科学学院2)实对称矩阵A正定但不是53

4、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩阵称为A的第k阶顺序主子式.2022/11/24数学与计算科学学院4、顺序主子式、主子式、称为A为第k阶顺序主子矩阵;设矩543）k级行列式称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标相同的k阶子式2022/11/24数学与计算科学学院3）k级行列式称为A的一个k阶主子式.即行指标与列指标555、（定理6）A的顺序主子式

Pk全大于零.正定实二次型

证:必要性.设正定，对每一个k令2022/11/24数学与计算科学学院5、（定理6）A的顺序主子式Pk全大于零.正定实二次型56

是正定的，从而正定.对任意一不全为零的数有充分性：对n作数学归纳法.

n＝1时，正定.结论成立.假设对于n－1元二次型结论成立，下证n元的情形.

2022/11/24数学与计算科学学院是正定的，从而57又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使令

则

也全大于零.设2022/11/24数学与计算科学学院又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式由归纳假设，A58则令

再令则2022/11/24数学与计算科学学院则令再令则2022/159由判定充要条件3).知A正定，所以正定.再令则有两边取行列式，得

又>0，即为正对角矩阵.2022/11/24数学与计算科学学院由判定充要条件3).知A正定，所以正60例2、判定下面二次型是否正定.

其顺序主子式

正定.

解：的矩阵2022/11/24数学与计算科学学院例2、判定下面二次型是否正定.其顺序主子式正定.解：61解：的矩阵

A的第k阶顺序主子式Pk

（习题7）2022/11/24数学与计算科学学院解：的矩阵A的第k阶顺序主子式Pk62正定.

2022/11/24数学与计算科学学院正定.2022/11/23数学与计算科学学院63例3、证明：若实对称矩阵A正定

，则A的任意一个k阶主子式证：作二次型（习题9）2022/11/24数学与计算科学学院例3、证明：若实对称矩阵A正定，则A的任意一个k阶主子式64其中，对任意一不全为零的数,

有从而，由于A正定，有正定，即有行列式大于零，即即，是正定二次型，因此其矩阵的2022/11/24数学与计算科学学院其中，对任意一不全为零的数,有从而，由65三、n元实二次型的分类设n元二次型

若对任意一组不全为零的实数都有

②，则称为半正定二次型.③，则称为半负定二次型.

①则称为负定二次型.

既不是半正定，也不是半负定，则称为1．定义不定二次型.2022/11/24数学与计算科学学院三、n元实二次型的分类设n元二次型若对任意一组不全为零的66注：①正定矩阵②负定矩阵③半正定矩阵④半负定矩阵⑤不定矩阵相应于二次型