概率论与数理统计方差(“方差”文档)共23张

我们曾经引见了随机变量的数学期望，它表达了随机变量取值的平均程度，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场所，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各丈量10次，将丈量结果X用坐标上的点表示如图：假设让他就上述结果评价一下两台仪器的优劣，他以为哪台仪器好一些呢？

甲仪器丈量结果乙仪器丈量结果较好丈量结果的均值都是a由于乙仪器的丈量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目的射击10发炮弹，其落点距目的的位置如图：他以为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮由于乙炮的弹着点较集中在中心附近.

中心中心下面我们用一例阐明方差性质的运用.设X是一个随机变量，假设E[(X-E(X)]2<∞，那么称故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2由定义知，方差是随机变量X的函数它刻划了随机变量取值的离散程度.vX以概率1取常数值.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各丈量10次，将丈量结果X用坐标上的点表示如图：=p-p2=p(1-p)即n取18750时，可以使得在n次独立反复实验中,事件A出现的频率在0.即n取18750时，可以使得在n次独立反复=P(5200-7300X-73009400-7300)g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.=P(5200-7300X-73009400-7300)当方差知时，切比雪夫不等式给出了r.假设X的取值比较集中，那么方差较小；为此需求引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们要引见的方差一、方差的定义采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它与X具有一样的度量单位，在实践问题中经常运用.方差的算术平方根称为规范差设X是一个随机变量，假设E[(X-E(X)]2<∞，那么称D(X)=E[X-E(X)]2(1)为X的方差.假设X的取值比较分散，那么方差较大.假设方差D(X)=0,那么r.vX以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.假设X的取值比较集中，那么方差较小；D(X)=E[X-E(X)]2X为离散型，P(X=xk)=pk由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.X为延续型，X~f(x)二、计算方差的一个简化公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质请本人用此公式计算常见分布的方差.例1设r.vX服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n其中0<p<1,求D(X)解：记q=1-p求和与求导交换次序无穷递缩等比级数求和公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2+E(X)三、方差的性质1.设C是常数,那么D(C)=0;2.假设C是常数,那么D(CX)=C2D(X);3.假设X1与X2独立，那么D(X1+X2)=D(X1)+D(X2);可推行为：假设X1,X2,…,Xn相互独立,那么X1与X2不一定独立时，D(X1+X2)=？请思索4.D(X)=0P(X=C)=1，这里C=E(X)P(X=x)下面我们用一例阐明方差性质的运用.例2二项分布的方差设X~B(n,p),那么X表示n重贝努里实验中的“胜利〞次数.假设设i=1,2，…，n故D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2E(Xi)=P(Xi=1)=p,E(Xi2)=p,那么是n次实验中“胜利〞的次数=p-p2=p(1-p)于是i=1,2，…，nD(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=p-p2=p(1-p)由于X1,X2,…,Xn相互独立=np(1-p)四、切比雪夫不等式设随机变量X有期望E(X)和方差，那么对于任给>0,或由切比雪夫不等式可以看出，假设越小，那么事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的能够性越大.由此可领会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.如下图当方差知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏向不小于的概率的估计式.如取可见，对任给的分布，只需期望和方差存在，那么r.vX取值偏离E(X)超越3的概率小于0.111.例3知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为P(5200X9400)P(5200X9400)=P(5200-7300X-73009400-7300)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式P{|X-E(X)|2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例4在每次实验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需求多大时，才干使得在n次独立反复实验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?解：设X为n次实验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.那么X~B(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}P(0.74n<X<0.76n)可改写为在切比雪夫不等式中取n，那么=P{|X-E(X)|<0.01n}P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各丈量10次，将丈量结果X用坐标上的点表示如图：=P(5200-7300X-73009400-7300)P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，n利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设X为n次实验中，事件A出现的次数，假设X的取值比较集中，那么方差较小；P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…，nD(X1+X2)=D(X1)+D(X2);设X是一个随机变量，假设E[(X-E(X)]2<∞，那么称解：设每毫升白细胞数为X下面我们将引见刻划两r.设随机变量X有期望E(X)和方差