高等数学-概率43连续型随机变量的常见分布课件

二、常见的连续型随机变量的概率分布

（一）均匀分布（Uniform）

1、概率密度

若r.v.的概率密度为二、常见的连续型随机变量的概率分布（一）均匀分布（Unif1若

r.v.X的概率密度为：

则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：

X

～

U[a,b]

二、均匀分布(Uniform)（注：X

～

U（a,b））若r.v.X的概率密度为：则称X服从区间(a,b)2均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X

～

U[a,b]，则对于满足的c,d,总有均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入3则称

X

服从参数为

的指数分布.

指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.

三、指数分布：若r.vX具有概率密度常简记为

X~E().则称X服从参数为的指数分布.指数分布常4

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.一、正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布5你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。6

下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博

高尔顿钉板试验

下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博高尔顿钉板试验7高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。高这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。8(I)、正态分布的定义

若r.v.X的概率密度为记作

f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中

和

都是常数，

任意，>0，则称X服从参数为

和

的正态分布.(Normal)(I)、正态分布的定义若r.v.X的9(II)、正态分布

的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.

特点是“两头小，中间大，左右对称”.(II)、正态分布的图形10决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.11故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分别代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c12这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。

当x→

∞时，f(x)→0,这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x13用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μ

σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=14实例

年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。实例年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频15下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是16人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数17除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下18(III)、设X~,X的分布函数是(III)、设X~,19(IV)、标准正态分布

的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：(IV)、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函20它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.

,则~N(0,1)

设定理1它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何21书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.

（V）、正态分布表

表中给的是x>0时,Φ(x)的值.

当-x<0时书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态22若~N(0,1)

若

X～N(0,1),

若~N(0,1)若X～N(0,1),23由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974（VI）、3准则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集24将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.

这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）.将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值25

例1（1）假设某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.2578例1（1）假设某地区成年男性的身高（单解:(1)根26解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01

或P(X<h)≥0.99，下面我们来求满足上式的最小的h.（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?解:(2)设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)27因为X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.99查表得(2.33)=0.9901>0.99所以=2.33,即

h=170+17.92188

设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.

P(X<h)0.99

求满足的最小的h.

因为X～N(170,7.692),故P(X<h)=0.928

这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。

还介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.

后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布;还要给出德莫佛极限定理的证明.

另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布这一讲，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。29二、常见的连续型随机变量的概率分布

（一）均匀分布（Uniform）

1、概率密度

若r.v.的概率密度为二、常见的连续型随机变量的概率分布（一）均匀分布（Unif30若

r.v.X的概率密度为：

则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：

X

～

U[a,b]

二、均匀分布(Uniform)（注：X

～

U（a,b））若r.v.X的概率密度为：则称X服从区间(a,b)31均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五

入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五

入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X

～

U[a,b]，则对于满足的c,d,总有均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入32则称

X

服从参数为

的指数分布.

指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.

三、指数分布：若r.vX具有概率密度常简记为

X~E().则称X服从参数为的指数分布.指数分布常33

正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.德莫佛

德莫佛（DeMoivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.一、正态分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.正态分布34你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。你们是否见过街头的一种赌博游戏?用一个钉板作赌具。35

下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博

高尔顿钉板试验

下面我们在计算机上模拟这个游戏：街头赌博高尔顿钉板试验36高尔顿钉板试验这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。高这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。37(I)、正态分布的定义

若r.v.X的概率密度为记作

f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.其中

和

都是常数，

任意，>0，则称X服从参数为

和

的正态分布.(Normal)(I)、正态分布的定义若r.v.X的38(II)、正态分布

的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.

特点是“两头小，中间大，左右对称”.(II)、正态分布的图形39决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.

正态分布

的图形特点决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.40故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c,

x=μ-c(c>0),分别代入f(x),

可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c41这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。

当x→

∞时，f(x)→0,这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x42用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μ

σ这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下。用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=43实例

年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。实例年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频44下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是45人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数46除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下47(III)、设X~,X的分布函数是(III)、设X~,48(IV)、标准正态分布

的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：(IV)、标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函49它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.

,则~N(0,1)

设定理1它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何50书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.

（V）、正态分布表

表中给的是x>0时,Φ(x)的值.

当-x<0时书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态51若~N(0,1)

若

X～N(0,1),

若~N(0,1)若X～N(0,1),52由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974（VI）、3准则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集53将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.

这在统计学上称作“3准则”

（三倍标准差原则）.将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值5