控制系统的数学模例题精解课件

控制系统的数学模型

例题精解控制系统的数学模型

例题精解1例题精解例2.1弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：（1）设输入为，输出为，弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足ΣF=0，则对于A点有

yry0其中，Fƒ阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。（3）写中间变量关系式ƒ图2.1机械位移系统K1K2Ayry0·例题精解解：（1）设输入为，输出为2（4）消中间变量得（5）化标准型式中，为时间常数，单位（秒）；为传递系数，无量纲。（4）消中间变量得（5）化标准型式中，为时间常数，单位3例2.2已知单摆系统的运动如图2.2所示。（1）写出运动方程式；（2）求取线性化方程。解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ，摆球质量为m。

（2）由牛顿定律写原始方程式中，l为摆长；lθ运动弧长；h为空气阻力。（3）写中间变量关系式式中，α为空气阻力系数；ldθdt为运动线速度。mgθlh图2.2单摆运动l例2.2已知单摆系统的运动如图2.2所示。解：（1）设输4（4）消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化。在θ=0附近，非线性函数sinθ≈θ，故代入上式可得线性化方程为（4）消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。5例2.3已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。ωfJMƒ图2.3机械旋转系统解：（1）设输入量为作用力矩Mƒ，输出为旋转角速度ω。（2）列写运动方程式式中，fω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于ω=dθdt，代入方程得二阶线性微分方程式例2.3已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方6例2.4设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。

解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。（2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为，于是

画出系统隔离体受力图如图2.5所示。例2.4设有一个倒立摆安装在马达传动车上7ou图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlcosθo图2.4倒立摆系统yuxθmgllPMAou图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlc8式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿x轴方向运动方程为摆杆重心A沿y轴方向运动方程为即（2.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿y轴方向9小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和cosθ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。（3）当θ很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sinθ≈θ，同理可得到cosθ≈1。则方程式（2.1）~（2.4）可用线性化方程表示为小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）10用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x得将微分算子还原后得此为二阶线性化偏量微分方程。用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x11例2.5RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc2（s）/Ur（s）。uruc2R1R2i1i2C1C2图2.6RC无源网络解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。（1）用复阻抗写电路方程式：例2.5RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗12（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7（a）、（b）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。独立回路有三个：（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，13回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征式为回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征14前向通路只有一条由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为代入梅逊公式得传递函数前向通路只有一条由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支15图2.7（a）+－+－+－图2.7（a）+－+－+－16+－+－+－图2.7（c）+－+－+－图2.7（b）+－+－+－图2.7（c）+－+－+－图2.7（b）17+－图2.7（d）图2.7（e）+－图2.7（d）图2.7（e）18例2.6有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。

解：图2.8中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即UA≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2则有故传递函数为对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器，有例2.6有源网络如图2.8所示，试用复阻抗19故+ZfZii1i2uiuc图2.8有源网络uc+uiR1R2C图2.9PI调节器故+ZfZii1i2uiuc图2.8有源网络u20例2.7求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ（0）=0，χ（0）=3。.解：对方程两端取拉氏变换为代入初始条件得到解出X（s）为例2.7求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ21反变换得时域解为例2.8已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。

解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图2.11（a）所示。（2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。（3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。反变换得时域解为例2.8已知系统结构图如22G1G2H++++C（s）R（s）图2.10系统结构图G1H–+++G2G1R（s）C（s）(a)G1G2H++++C（s）R（s）图2.10系统结构图G23G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）(b)G1+G21+G1HR（s）C（s）(c)图2.11系统结构图的简化例2.9已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。G1G2++++R（s）C（s）图2.12系统结构图G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）24解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。++++G1G2（a）++G2G1+1R（s）R（s）C（s）C（s）G1G2+G2+1R（s）C（s）（b）（c）图2.13系统结构图化简解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.1325例2.10已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。χiy0χF1FF2ƒ1ƒ2k1k2（a）••••••••R1R2ii1i2eie0（b）C1C2图2.14系统结构图（a）机械系统（b）电气系统解：（1）列写图2.14（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：例2.10已知机械系统如图2.14（a）所26取拉氏变换，并整理成因果关系有：画结构图如图2.15。取拉氏变换，并整理成因果关系有：画结构图如图2.15。27++++–+ƒs11ƒs2k11k2χiχ0χ0FY图2.15机械系统结构图求传递函数为：++++–+ƒs11ƒs2k11k2χiχ0χ0FY图28(2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：(2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动29整理成因果关系：整理成因果关系：30画结构图如图2.16所示。–+++++Cs1R21R2C

s21EiE0IE0EC2图2.16电气系统结构图求传递函数为画结构图如图2.16所示。–+++++Cs1R21R2C31对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是相似的。机—电系统之间相似量的对应关系见下表。机械系统电气系统χieiχ0e0yeC2FiF1i1F2i2k11/R11/k2R2ƒ1ƒ2C1C2对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统32例2.11RC网络如图2.17所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结构图；（2）求传递函数U2（s）/U1（s）。

解：（1）用复阻抗写出原始方程组。输入回路输出回路中间回路（2）整理成因果关系式。例2.11RC网络如图2.17所示，其中u33由输入回路得由中间回路得由输出回路得即可画出结构图如图2.18所示。u1u2i2i1C1C2R1R2图2.17RC网络由输入回路得即可画出结构图如图2.18所示。u1u2i2i134–+++++R2u1u2I1I2C

s1RCs+121R11Cs21图2.18网络结构图（3）用梅逊公式求出–+++++R2u1u2I1I2Cs1RCs+35控制系统的数学模例题精解课件36例2.12已知系统的信号流图如图2.19所示，试求传递函数C（s）/R（s）。1RCKG1G2G31111-1-1-1-1图2.19信号流图解：单独回路4个，即，两个互不接触的回路有4组，即，例2.12已知系统的信号流图如图2.19所373个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其各前向通路总增益用PK表示，则PK以及余因子式分别为3个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点38因此，传递函数为因此，传递函数为39控制系统的数学模型

例题精解控制系统的数学模型

例题精解40例题精解例2.1弹簧阻尼器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：（1）设输入为，输出为，弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足ΣF=0，则对于A点有

yry0其中，Fƒ阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。（3）写中间变量关系式ƒ图2.1机械位移系统K1K2Ayry0·例题精解解：（1）设输入为，输出为41（4）消中间变量得（5）化标准型式中，为时间常数，单位（秒）；为传递系数，无量纲。（4）消中间变量得（5）化标准型式中，为时间常数，单位42例2.2已知单摆系统的运动如图2.2所示。（1）写出运动方程式；（2）求取线性化方程。解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角θ，摆球质量为m。

（2）由牛顿定律写原始方程式中，l为摆长；lθ运动弧长；h为空气阻力。（3）写中间变量关系式式中，α为空气阻力系数；ldθdt为运动线速度。mgθlh图2.2单摆运动l例2.2已知单摆系统的运动如图2.2所示。解：（1）设输43（4）消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化。在θ=0附近，非线性函数sinθ≈θ，故代入上式可得线性化方程为（4）消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。44例2.3已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。ωfJMƒ图2.3机械旋转系统解：（1）设输入量为作用力矩Mƒ，输出为旋转角速度ω。（2）列写运动方程式式中，fω为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为此为一阶线性微分方程，若输出变量改为θ，则由于ω=dθdt，代入方程得二阶线性微分方程式例2.3已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方45例2.4设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。

解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角θ。（2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为，于是

画出系统隔离体受力图如图2.5所示。例2.4设有一个倒立摆安装在马达传动车上46ou图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlcosθo图2.4倒立摆系统yuxθmgllPMAou图2.5隔离体受力图yMxllθAmgVVHHlc47式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿x轴方向运动方程为摆杆重心A沿y轴方向运动方程为即（2.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆杆重心A沿y轴方向48小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）~（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sinθ和cosθ项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。（3）当θ很小时，可对方程组线性化，由例2.2可知sinθ≈θ，同理可得到cosθ≈1。则方程式（2.1）~（2.4）可用线性化方程表示为小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）49用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x得将微分算子还原后得此为二阶线性化偏量微分方程。用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x50例2.5RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc2（s）/Ur（s）。uruc2R1R2i1i2C1C2图2.6RC无源网络解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（s）分别是R、1/Cs或Ls。（1）用复阻抗写电路方程式：例2.5RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗51（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7（a）、（b）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。独立回路有三个：（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，52回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征式为回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征53前向通路只有一条由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为代入梅逊公式得传递函数前向通路只有一条由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支54图2.7（a）+－+－+－图2.7（a）+－+－+－55+－+－+－图2.7（c）+－+－+－图2.7（b）+－+－+－图2.7（c）+－+－+－图2.7（b）56+－图2.7（d）图2.7（e）+－图2.7（d）图2.7（e）57例2.6有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。

解：图2.8中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即UA≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2则有故传递函数为对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器，有例2.6有源网络如图2.8所示，试用复阻抗58故+ZfZii1i2uiuc图2.8有源网络uc+uiR1R2C图2.9PI调节器故+ZfZii1i2uiuc图2.8有源网络u59例2.7求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ（0）=0，χ（0）=3。.解：对方程两端取拉氏变换为代入初始条件得到解出X（s）为例2.7求下列微分方程的时域解x（t）。已知χ60反变换得时域解为例2.8已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。

解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图2.11（a）所示。（2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。（3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c）。反变换得时域解为例2.8已知系统结构图如61G1G2H++++C（s）R（s）图2.10系统结构图G1H–+++G2G1R（s）C（s）(a)G1G2H++++C（s）R（s）图2.10系统结构图G62G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）(b)G1+G21+G1HR（s）C（s）(c)图2.11系统结构图的简化例2.9已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。G1G2++++R（s）C（s）图2.12系统结构图G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）63解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2.13（c）。++++G1G2（a）++G2G1+1R（s）R（s）C（s）C（s）G1G2+G2+1R（s）C（s）（b）（c）图2.13系统结构图化简解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.1364例2.10已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。χiy0χF1FF2ƒ1ƒ2k1k2（a）••••••••R1R2ii1i2eie0（b）C1C2图2.14系统结构图（a）机械系统（b）电气系统解：（1）列写图2.14（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：例2.10已知机械系统如图2.14（a）所65取拉氏变换，并整理成因果关系有：画结构图如图2.15。取拉氏变换，并整理成因果关系有：画结构图如图2.15。66++++–+ƒs11ƒs2k11k2χiχ0χ0FY图2.15机械系统结构图求传递函数为：++++–+ƒs11ƒs2k11k2χiχ0χ0FY图67(2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似