高等数学 学习指南

高等数学学习指南第一章函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解函数的概念．2.了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念．3.了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构.4.会建立简单实际问题的函数模型.重点函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域.难点分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型.（二）内容提要1.函数的定义函数的定义定义1设和是两个变量,是一个给定的数集,如果对于每个数,变量按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称是的函数,记作.数集称为该函数的定义域,称为自变量,称为因变量.当自变量取数值时，因变量按照法则所取定的数值称为函数在点处的函数值，记作.当自变量遍取定义域的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集=称为函数的值域.定义2设与是两个非空实数集，如果存在一个对应规则，使得对中任何一个实数，在中都有惟一确定的实数与对应，则对应规则称为在上的函数，记为,称为对应的函数值，记为,其中，称为自变量，称为因变量.由定义2知,函数是一种对应规则，在函数中，表示函数，是对应于自变量的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在处的函数值称为函数，并用的形式表示是的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则.例如就是一个特定的函数，确定的对应规则为

就是一个函数.(2)函数的两要素函数的定义域是自变量的取值范围，而函数值又是由对应规则来确定的，所以函数实质上是由其定义域和对应规则所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如，就是相同的函数.2．函数的三种表示方法图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法.这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间上的分段函数.②用参数方程确定的函数用参数方程（）表示的变量与之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数可以用参数方程表示.隐函数如果在方程中，当在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的值存在，则称方程在区间I内确定了一个隐函数.例如方程就确定了变量是变量之间的函数关系.注意能表示成(其中仅为的解析式)的形式的函数,称为显函数.把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如可以化成显函数.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如.3．函数的四种特性设函数的定义域为区间，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表函数的特性定义图像特点奇偶性设函数的定义域关于原点对称，若对任意满足则称是上的偶函数；若对任意满足则称是上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数偶函数的图形关于轴对称;奇函数的图形关于原点对称单调性若对任意，当时，有,则称函数是区间上的单调增加函数；当时，有,则称函数是区间上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数是区间上的单调函数，则称区间为单调区间单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线;单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线有界性如果存在，使对于任意满足则称函数是有界的图像在直线与之间周期性如果存在常数，使对于任意，，有则称函数是周期函数，通常所说的周期函数的周期是指它的最小周期在每一个周期内的图像是相同的4．基本初等函数六种基本初等函数见下表六种基本初等函数表函数解析表达式常函数（为常数）幂函数（为常数）指数函数（,为常数）对数函数（,为常数）三角函数反三角函数arcarc,arc5.反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表几种函数的定义表函数种类定义举例反函数设函数为定义在数集上的函数，其值域为．如果对于数集中的每个数，在数集中都有惟一确定的数使成立，则得到一个定义在数集上的以为自变量，为因变量的函数，称其为函数的反函数，记为，其定义域为，值域为函数的反函数为复合函数若函数的定义域为，函数在上有定义，其值域为且，则对于任一，通过函数有确定的与之对应，通过函数有确定的值与之对应．这样对于任一，通过函数有确定的值与之对应，从而得到一个以为自变量，为因变量的函数，称其为由函数和复合而成的复合函数，记为，其定义域为，称为中间变量由函数和复合而成的复合函数为．由函数和不能复合成复合函数初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法例1求下列函数的定义域:(1)=+，(2)=.解(1)由所给函数知,要使函数有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得这两个不等式的公共解为与所以函数的定义域为.(2)由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即推得即,因此，所给函数的定义域为.小结函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I)在式子中分母不能为零；(II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数，要满足；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI)分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求.2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例2将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1)，（2）.解(1)最外层是二次方，即，次外层是正弦，即，从外向里第三层是幂函数，即，最里层是多项式，即,所以，分解得，，，.(2)最外层是对数，即次外层是正切，即,从外向里第三层是指数函数，即，最里层是简单函数，即+2,所以，分解得，，，+2.小结（I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数.建立实际问题的函数模型的方法例3某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.解设某产品年产量为台，收益函数为..因为产量超过600台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有即收益函数模型为例4一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为，是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为，底宽为，试建立与的函数模型.解设矩形高为，根据等量关系写关系式①显见，在关系式①中有两个变量及，此外我们应把表成的一元函数.为此，需把变量也表示成与有关的量.根据题中所给限制条件——截面积为,建立与的关系.即②将②代入①得此式即为我们所要找的周长与底宽的函数模型.小结运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为：(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2)根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3)具体写出解析式，并指明其定义域.三、学法建议1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法.2．本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高.3．从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.第二章极限与函数一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解极限的描述性定义．2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．3．会用两个重要极限公式求极限．4．掌握极限的四则运算法则．5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）．7．会用函数的连续性求极限．重点极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念．难点间断点的分类，分段函数在分段点的连续性．（二）内容提要１．极限的定义(1)函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号设函数在为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限或设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限或设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限或设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限或设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限或设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限或数列的极限对于数列，若当自然数无限增大时，通项无限接近于某个确定的常数,则称为当趋于无穷时数列的极限，或称数列收敛于或若数列的极限不存在，则称数列发散不存在（2）单侧极限与极限的关系定理①的充分必要条件是．②的充分必要条件是．（３）极限存在准则①单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限．②夹逼准则若当时，有，且，，则．夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立.2.极限的四则运算法则设及都存在，则(1)；(2),(为任意常数);(3)．上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．3．两个重要极限(1)一般形式为（其中代表的任意函数）．(2)一般形式为（其中代表的任意函数）．４．无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时,均以的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论．（１）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果，则称当时,是无穷小量．注意一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．（２）无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大．应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时,是无穷大量”．（３）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．（４）无穷小量的运算①有限个无穷小量的代数和是无穷小量．②有限个无穷小量的乘积是无穷小量．③无穷小量与有界量的乘积是无穷小量．④常数与无穷小量的乘积是无穷小量．（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．无穷小量的比较表设在自变量的变化过程中，均是无穷小量无穷小的比较定义记号（）（）（６）极限与无穷小量的关系定理的充分必要条件是，其中是当时的无穷小量．（７）无穷小的替换定理设当时，，，存在，则．5．函数的连续性⑴函数在一点连续的概念①函数在一点连续的两个等价的定义：定义１设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即，则称函数在点处连续，或称是的一个连续点．定义２若，则称函数在点处连续．②左右连续的概念若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续．⑵函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续．由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：①函数在点的某邻域内有定义，②存在，③这个极限等于函数值．⑶函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．⑷间断点若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点．⑸间断点的分类设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点．对于第一类间断点有以下两种情形：当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点；②当存在，但极限不等于时，称为的可去间断点．⑹初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．⑺闭区间上连续函数的性质①最大值和最小值存在定理闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．②根的存在定理设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得．③介值定理设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点，使得．二、主要解题方法1．求函数极限方法利用极限存在的充分必要条件求极限例1求下列函数的极限：（1），（2）当为何值时，在的极限存在.解(1),,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．于是，有，，为使存在，必须有=，因此，当=1时，存在且=1．小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．（3）利用极限运算法则求极限例2求下列函数的极限：(1)，(2)，(3)，(4)．解(1)==．(2)当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=．(3)当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=．(4)当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以，将无穷大的约去，再用法则求原式=．小结（）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II）求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。常使用的有以下几种方法．（）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限，（）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（）对分子、分母进行因式分解，再求极限，（）对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．（3）利用无穷小的性质求极限例3求下列函数的极限（1），（2）．解（1）因为而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即．（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得.小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．（4）利用两个重要极限求函数的极限例4求下列函数的极限：（1），（2）．解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式==．（2）解一原式==，解二原式==．小结（）利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；（）用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型,为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；（）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。(5)利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当时,,,．例5求下列函数的极限（1），（2）．解（1）=（）．（2）===（）．小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。否则会出错．如上题,即得一错误结果．（6）利用函数的连续性求极限例6求下列函数的极限（1），（2）．解(1)因为是初等函数，在处有定义，所以，(2)函数看成由复合而成，利用分子有理化，然后利用复合函数求极限的法则来运算=．小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．2．判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性．例7讨论函数，在点处的连续性．解由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续．三、学法建议1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习．2．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此读者要注意弄清它们之间的实质关系．3．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性．第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点求复合函数和隐函数的导数的方法.（二）内容提要1.导数的概念⑴导数设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在点处有增量，仍在该邻域内时，相应地，函数有增量，若极限存在，则称在点处可导，并称此极限值为在点处的导数，记为，也可记为，即.若极限不存在，则称在点处不可导.若固定，令，则当时，有，所以函数在点处的导数也可表示为.⑵左导数与右导数①函数在点处的左导数＝.②函数在点处的右导数＝.③函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数和右导数都存在且相等．２．导数的几何意义⑴曲线的切线在曲线上点的附近，再取一点，作割线，当点沿曲线移动而趋向于时，若割线的极限位置存在，则称直线为曲线在点处的切线．⑵导数的几何意义函数在点处的导数表示曲线在点处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:①曲线上点处的切线斜率是纵标变量对横标变量的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.②如果函数在点处的导数为无穷(即,此时在处不可导),则曲线上点处的切线垂直于轴.③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.4.可导与连续的关系若函数在点处可导，则在点处一定连续.但反过来不一定成立，即在点处连续的函数未必在点处可导.高阶导数⑴二阶导数函数的一阶导数仍然是的函数，则将一阶导数的导数称为函数的二阶导数，记为或或，即=或=.⑵阶导数阶导数的导数称为阶导数（=3，4，,,）分别记为 ,,,,，或,,,,，或,,,，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6.微分⑴微分的定义如果函数在点处的改变量，可以表示成，其中是比高阶的无穷小，则称函数在点处可微，称为的线性主部，又称为函数在点处的微分，记为或，即.⑵微分的计算，其中,为自变量.⑶一阶微分形式不变性对于函数,不论是自变量还是因变量,总有成立.7.求导公式微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表3.1求导与微分公式求导公式微分公式基本初等函数求导公式基本初等函数微分公式对求导公式作如下两点说明:求导公式表示函数对自变量的导数，即=,求导公式表示函数对函数的导数，即=.8.求导法则微分法则⑴求导法则,微分法则见下表3.2⑵复合函数求导法则⑶参数方程求导法则⑷隐函数求导法⑸对数求导法表3.2求导与微分法则表求导法则微分法则函数的四则运算求导法则函数的四则运算微分法则复合函数求导法则设，，则复合函数的导数为复合函数微分法则设函数，,则函数的微分为，此式又称为一阶微分形式不变性参数方程确定的函数的导数若参数方程确定了是的函数，则或=反函数求导法则设的反函数为，则或9.微分近似公式（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数,若在点处可导且导数，则当很小时，有函数的增量近似等于函数的微分,即有近似公式.(2)微分进行近似计算的4个近似公式设函数在点处可导且导数，当很小时，有近似公式，即，，令，则，特别地，当，很小时，有.二、主要解题方法1．用导数的定义求函数导数的方法例1求在处的导数.解由导数的定义知.例2求，的导数.解当时，，当时，，当时，，所以，，因此，于是小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3设求.解，.例4设求.解利用复合函数求导法求导，得.小结若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数在点可导，否则法则失效.如在点，用四则运算法则求导，不存在，但由例1知在的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.3．对数求导方法例5已知=，求.解两边取对数，得：，两边对同一自变量求导，得，.小结对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4．隐含数的求导法例6已知求.解两端对求导，得，，整理得，故，上式两端再对求导，得=，将代入上式，得.小结在对隐函数求二阶导数时，要将的表达式代入中，注意，在的最后表达式中，切不能出现.5．由参数方程所确定的函数的求导法例7设求.解，.小结求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导.6．求函数微分的方法例8求函数的微分.解一用微分的定义求微分，有.解二利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得.小结求函数微分可利用微分的定义，微分的运算法则，一阶微分形式不变性等.利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系，有时求微分更方便.7．利用微分求近似值例9求的近似值.解设，由近似公式，得，取，则有.例10有一批半径为的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为，估计每只球需要用铜多少克？（铜的密度为）解所镀铜的体积为球半径从增加时，球体的增量.故由知，所镀铜的体积为，质量为.小结利用公式计算函数近似值时，关键是选取函数的形式及正确选取.一般要求便于计算，越小，计算出函数的近似值与精确值越接近.另外，在计算三角函数的近似值时，必须换成弧度.8．求曲线的切线方程例11求曲线的切线，使该切线平行于直线.解方程两端对求导，得，，，由于该切线平行于直线所以有，，，.因为切线必在曲线上，所以，将代入曲线方程得，，解之，此时，切点的坐标为,，切线的斜率分别为，，因此得切线的方程分别为，即，，即.9．求函数的变化率例12落在平静水面上的石头，产生同心圆形波纹，若最外一圈半径的增大率总是，问2末受到扰动的水面面积的增大率为多少？解设最外圈波纹半径为，扰动水面面积为，则两边同时对求导，得从而，又为常数，故（类似于匀速直线运动路程与速度、时间的关系），因此，故有.因此，2末受到扰动的水面面积的增大率为.小结对于求变化率的模型，要先根据几何关系及物理知识建立变量之间的函数关系式.若是相关变化率模型，求变化率时要根据复合函数的链式求导法，弄清是对哪个变量的导数.三、学法建议1．本章重点为导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法，其难点是求复合函数和隐函数的导数方法.要正确理解导数与微分的概念，弄清各概念之间的区别与联系.比如，可导必连续，反之，不一定成立.可导与可微是等价的.这里等价的含义是：函数在某点可导必定得出在该点可微，反之，函数在某点可微，必能推出在该点可导.但并不意味着可导与可微是同一概念.导数是函数改变量与自变量改变量之比的极限，微分是函数增量的线性主部，在概念上两者有着本质的区别.复合函数求导法既是重点，又是难点，不易掌握，怎样才能达到事半功倍的效果呢？首先，必须熟记基本的求导公式，其次，对求导公式必须弄清每一项是对哪个变量求导，如,因为理解公式还要和微商结合起来，右边的微分约分之后必须等于左边的微商.另外，要想达到求导既迅速又准确，必须多做题.但要牢记，导数是函数改变量之比的极限，不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后，就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质.4．利用导数解决实际问题，本章主要有三类题型.一类几何应用，用来求切线、法线方程.其关键是求出切线的斜率及切点的坐标；另一类是变化率模型，求变化率时，一定要弄清是对哪个变量的变化率，如速度再有一类是用微分近似计算求某个量的改变量，解决这类问题的关键是选择合适的函数关系，正确选取及，切莫用中学数学方法求问题的准确值，否则是不符合题意的.第四章微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1.三个微分中值定理⑴罗尔（Rolle）定理如果函数满足下列三个条件：①在闭区间上连续;②在开区间内可导;③,则至少存在一点使.⑵拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数满足下列两个条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导,则至少存在一点，使得或.⑶柯西（Cauchy）中值定理如果函数与满足下列两个条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，且,则在内至少存在一点，使得.2.洛必达法则如果①;②函数与在某个邻域内（点可除外）可导，且；③,则.注意上述定理对于时的型未定式同样适用,对于或时的型未定式也有相应的法则.3.函数的单调性定理设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则有①若在内，则函数在上单调增加；②若在内，则函数在上单调减少.4.函数的极值、极值点与驻点⑴极值的定义设函数在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极大值；如果对于该邻域内任一点，都有，则称是函数的极小值.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点.⑵驻点使的点称为函数的驻点.⑶极值的必要条件设函数在处可导，且在点处取得极值，那么.⑷极值第一充分条件设函数在点连续，在点的某一去心邻域内的任一点处可导,当在该邻域内由小增大经过时，如果①由正变负，那么是的极大值点，是的极大值；②由负变正，那么是的极小值点，是的极小值；③不改变符号，那么不是的极值点.⑸极值的第二充分条件设函数在点处有二阶导数，且，，则是函数的极值点，为函数的极值，且有①如果，则在点处取得极大值；②如果，则在点处取得极小值.5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6.函数图形的凹、凸与拐点⑴曲线凹向定义若在区间内曲线各点的切线都位于该曲线的下方，则称此曲线在内是向上凹的（简称上凹，或称下凸）；若曲线各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲线在内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.⑵曲线凹向判定定理设函数在区间内具有二阶导数，①如果在区间内，则曲线在内是上凹的.②如果在区间内，则曲线在内是下凹的.⑶拐点若连续曲线上的点是曲线凹、凸部分的分界点，则称点是曲线的拐点.7.曲线的渐近线⑴水平渐近线若当(或或)时，有（为常数），则称曲线有水平渐近线.⑵垂直渐近线若当(或或)（为常数）时，有，则称曲线有垂直渐近线.⑶斜渐近线若函数满足，(其中自变量的变化过程可同时换成或)，则称曲线有斜渐近线.二、主要解题方法1.用洛必达法则求未定式的极限的方法例1求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）解（1）由于时，，故原极限为型，用洛必达法则所以（分母等价无穷小代换）.（2）此极限为，可直接应用洛必达法则所以=.（3）所求极限为型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成或型..（4）所求极限为型，得（型）==（5）此极限为型，用洛必达法则，得不存在，但.小结使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用，但每次使用法则前，必须检验是否属于或未定型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当不存在时，并不能断定也不存在，此时应使用其他方法求极限.2.单调性的判别与极限的求法例2试证当时，.证令，易见在内连续，且.当时，可知为上的严格单调减少函数，即当时，，可知为上的严格单调增加函数，即.故对任意有即.例3求函数的单调性与极值.解函数的定义域为.，令驻点列表-0-0+极小由上表知，单调减区间为，单调增区间为，极小值求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中不能确定处是否取极值，得是极小值.小结用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数；利用导数判定的单调性；最后利用已知条件与单调性，得到不等式。由例3知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使用范围有限，对、及同时不存在的点不能使用.3.求函数的凹向及拐点的方法例4求函数的凹向及拐点.解函数的定义域，，令得，列表1(1,1)10+0拐点拐点由此可知，上凹区间,下凹区间，曲线的拐点是.小结求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使不存在的点取得.4.求函数的最大值与最小值的方法例5求函数在区间上的最大值与最小值.解函数在上连续，由于，令，则，在处不存在.故.小结函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出在内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5.求曲线渐近线的的方法.例6求下列曲线的渐近线（1）（2）.解（1）所给函数的定义域为.由于，可知为所给曲线的水平渐近线.由于，可知为曲线的铅直渐近线.所给函数的定义域,.由于，，可知为所给曲线的铅直渐近线（在的两侧的趋向不同）.又，，所以是曲线的一条斜渐近线.6.函数图形的描绘例7作出函数的图形.解函数的定义域，，，令，解得.列表-10+0+++++++0极小拐点由上表可知：极小值，拐点.（3）渐近线，-1xy-1xyO，所以是铅直渐近线.（4）作图如图所示.7.求实际问题的最大值，最小值的方法例8一条边长为的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解设截取的小方块的边长为，则方盒子的容积为令，得驻点（不合题意，舍去）由于在内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.因此，当时取得最大值.故当正方形薄片四角各截去一个边长是的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最大.小结求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数，若根据实际问题本身可以断定可导函数一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部有惟一的极值点，则该极值点一定是最值点.三、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例1中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用.4.函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.第五章不定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．了解原函数、不定积分的概念及其性质．2．掌握不定积分的基本公式．3．掌握不定积分的换元法和分部积分法．重点原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法．难点不定积分的换元法和分部积分法．（二）内容提要1．原函数与不定积分（1）原函数设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有,则称为在该区间上的一个原函数．关于原函数的问题，还要说明两点:①原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）．②原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数．(2)不定积分若是在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：①,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消．②此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数．对于这两个式子，要记准，要熟练运用．2．不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式如下：3．不定积分的性质（1）积分对于函数的可加性，即,可推广到有限个函数代数和的情况，即．(2)积分对于函数的齐次性，即．4．分部积分公式．二、主要解题方法1．直接积分法例1计算（1），（2）．解（1）不能直接用公式，用加项减项变换，即==（2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换．得原式==+=．小结计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算．2．换元积分法（1）第一换元积分法(凑微分法）=.例2计算（1），（2）．解（1）选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果．为此，令，则，于是===．为简便起见，令这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可,==（称为凑微分）．（2）==．小结凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便．（2）第二换元积分法=（其中是单调可微函数）例3计算（1），（2）．解（1）令,则,,于是原式=====.（2）设,,,于是1原式===1===．小结第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式，像也可用函数的三角代换求出结果．通常当被积分函数含有根式时，可令,当被积分函数含有根式时，可令,当被积分函数含有根式时，可令.分部积分法分部积分的公式为=.应用此公式应注意:（1）要用凑微分容易求出,（2）比容易求.例4计算（1），（2）．解（1）选，，，,于是原式,对于再使用分部积分法,选，,则，,从而==．原式=（）,为了简便起见，所设,等过程不必写出来，其解题步骤如下:==.（2）=====+=+,式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得=[+]+．小结此积分一般用于被积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数．三、学法建议1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如，，，,等等．2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法．如，先换元，令，再用分部积分法即可，=，也可多次使用分部积分公式．3．求不定积分比求导数要难得多，尽管有一些规律可循，但在具体应用时，却十分灵活，因此应通过多做习题来积累经验，熟悉技巧，才能熟练掌握．第六章定积分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解定积分的概念及其性质．2．了解定积分的几何意义．3．了解变上限的定积分的性质，熟练掌握牛顿莱布尼茨公式．4．掌握定积分的换元法和分部积分法．5．了解无穷区间上的广义定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定各分的换元法和分部积分法．重点定积分的概念及定积分的几何意义，牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法．难点变上限的定积分，定积分的换元法和分部积分法．（二）内容提要1．曲边梯形所谓曲边梯形是指由曲线、直线和数轴所围成的平面图形．2．定积分的概念与定积分的几何意义（1）定积分的概念设函数在区间上有定义，任取分点，把区间分成个小区间，记为，再在每个小区间上，任取一点，取乘积的和式，即．如果时上述极限存在（即这个极限值与的分割及点的取法均无关），则称函数在闭区间上可积，并且称此极限值为函数在上的定积分，记做，即，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，与分别称为积分下限与积分上限，符号读做函数从到的定积分．关于定积分定义的说明：①定积分是特定和式的极限，它表示一个数．它只取决于被积函数与积分下限、积分上限，而与积分变量采用什么字母无关，例如，一般地有=．②定积分的存在定理：如果在闭区间上连续或只有有限个第一类间断点，则在上可积．（2）定积分的几何意义设在上的定积分为，其积分值等于曲线、直线和所围成的在轴上方部分与下方部分面积的代数和．3．定积分的性质（1）积分对函数的可加性，即,可推广到有限项的情况，即．（2）积分对函数的齐次性，即．（3）如果在区间上，则．（4）（积分对区间的可加性）如果，则．注意：对于三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，仍有．（5）（积分的比较性质）如果在区间上有，则．（6）（积分的估值性质）设与分别是函数在闭区间上的最大值与最小值，则．（7）（积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在区间上至少存在一点，使得．4．变上限的定积分（1）变上限的定积分当在上变动时，对应于每一个值，积分就有一个确定的值，因此是变上限的一个函数，记作，称函数为变上限的定积分．（2）变上限的定积分的导数如果函数在闭区间上连续，则变上限定积分在闭区间上可导，并且它的导数等于被积函数，即．5．无穷区间上的广义积分设函数在上连续，任取实数，把极限称为函数在无穷区间上的广义积分，记做，若极限存在，则称广义积分收敛；若极限不存在，则称广义积分发散．类似地，可定义函数在上的广义积分为．函数在区间上的广义积分为，其中为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的；否则广义积分是发散的．6．微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）设函数在闭区间上连续，如果是的任意一个原函数，则，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式．7．定积分的计算（1）定积分的换元法设函数在上连续，令，则有，其中函数应满足以下三个条件：①；②在上单值且有连续导数；③当在上变化时，对应值在上变化．上述公式称为定积分换元公式．在应用换元公式时要特别注意：用变换把原来的积分变量换为新变量时，原积分限也要相应换成新变量的积分限，也就是说，换元的同时也要换限．原上限对应新上限，原下限对应新下限．（2）定积分的分部积分公式设函数在区间上均有连续导数，则．以上公式称为定积分的分部积分公式，其方法与不定积分类似，但结果不同，定积分是一个数值，而不定积分是一类函数．（3）偶函数与奇函数在对称区间上的定积分设函数在关于原点对称区间上连续，则①当为偶函数时，，②当为奇函数时，．利用上述结论，对奇、偶函数在关于原点对称区间上的定积分计算带来方便．二、主要解题方法1．变上限的定积分对上限的求导方法例1已知，求．解=+=，=+=．小结如果定积分上限是的函数，那么利用复合函数求导公式对上限求导；如果定积分的下限是的函数，那么将定积分的下限变为变上限的定积分，利用复合函数求导公式对上限求导；如果复合函数的上限、下限都是的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是的函数，另一个定积分的下限也是的函数，都可以化为变上限的定积分来求导．利用换元积分法计算定积分的方法例2计算（1），（2）．解（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令，，，当时，，当时，，于是==（2）=．小结用换元积分法计算定积分，如果引入新的变量，那么求得关于新变量的原函数后，不必回代，直接将新的积分上下限代入计算就可以了．如果不引入新的变量，那么也就不需要换积分限，直接计算就可以得出结果．利用分部积分法计算定积分的方法分部积分公式为.例3计算（1），（2）．解（1）===．（2）由于在[]上；在[]上，所以=+=+=[+]+[]=（+）+（+）=+．小结被积函数中出现绝对值时必须去掉绝对值符号，这就要注意正负号，有时需要分段进行积分.广义积分的计算方法例4判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值.(1)，(2)．解(1)因为积分区间为无穷区间，所以原式=====，故所给广义积分收敛，且其值为．(2)因为时，，所以为间断点．原式=+=+=+=，故广义积分发散．小结由上例可见，对于积分区间是有限的积分，首先要判断是定积分（称常义积分）还是被积函数有无穷间断点的广义积分．否则会出现错误的结果．如上例===错误结果．三、学法建议1．本章的重点是定积分的概念及几何意义．牛顿–莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法．2．学好本章内容，首先要理解定积分的概念，掌握用定积分的思想分析问题解决问题的方法．3．要深刻理解微积分基本定理：牛顿–莱布尼茨公式。微积分基本定理，一方面揭示了定积分与微分的互逆性质；另一方面它又是联系定积分与原函数（不定积分）之间的一条纽带．4．计算定积分的着眼点是算出数值，因此我们除了应用牛顿–莱布尼茨公式及积分方法（换元法、分部积分法）计算定积分以外，还要尽量利用定积分的几何意义、被积函数的奇偶性（对称区间上的定积分）以及递推公式=的已有结果来算出数值．5．应用牛顿–莱布尼茨公式计算有限区间定积分时，应注意不要忽略了被积函数在积分区间上连续或有第一类间断点的条件，否则会出现错误的结果．第七章定积分的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．掌握定积分的微元法.2．会用定积分的微元法求平面图形的面积.3．会用定积分的微元法求旋转体的体积.4．会用定积分的微元法求变力所做的功.5．会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点定积分的微元法，微元法在实际问题中的应用.（二）内容提要1．定积分的微元法(1)在区间上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为的微元)；（2）将微元上无限“累加”，即在上积分，得上述两步解决问题的方法称为微元法.关于微元，我们有两点要说明：①作为的近似表达式，应该足够准确，确切地说，就是要求其差是关于的高阶无穷小，即.称做微元的量，实际上就是所求量的微分.②具体怎样求微元呢？这是问题的关键，需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部上以“常代变”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元.2.面积微元与体积微元（1）面积微元①由曲线轴所围成的图形,其面积微元,面积.②由上下两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积.③由左右两条曲线所围成的图形，其面积微元，面积（注意，这时应取横条矩形为，即取为积分变量）.（2）体积微元不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元，在微小区间上视不变，即把上的立体薄片近似看作以为底，为高的柱片，于是其体积微元，再在的变化区间上积分，则有.3．弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线在上有一阶连续导数,仍用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，得弧长微元为,这里.二、主要解题方法（微元法）1．求平面图形的面积的方法例1求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线与直线，(2)圆.解(1)先画图，如图所示，并由方程，求出交点为（2，），（8，2）.解一取为积分变量,的变化区间为[，2]，在区间[，2]上任取一子区间[，+]，则面积微元=,则所求面积为==（）=9.解二取为积分变量，的变化区间为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间，需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[，+]，则面积微元1=,在区间[2，8]上任取一子区间[，+]，则面积微元2=[],于是得=1+2=+=+[]=9.显然，解法一优于解法二。因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便.(2)如图，利用极坐标计算.的变化区间为[，]则面积微元 ==,于是所求图形的面积为==2,利用对称性，得=4=2=2（+）=,事实上，表示一个半径为的圆.面积=是正确的.小结计算面积时要注意：（1）适当选择坐标系，以便简化计算.如题（2）若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系，曲边扇形宜采用极坐标系.（2）要考虑图形的对称性.（3）积分区间尽量少分块.2．求旋转体体积的方法例2求由曲线,直线,,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[,+]的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为==,于是，体积==1616=12.小结求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么；第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限.求曲线的弧长的方法例3(1)求曲线上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程,上相应于从0到的一段弧的长度.解(1)由公式=（）知,弧长为=====.(2)因为曲线方程以参数形式给出，所以弧微元为,=,=,故==,故所求弧长为====.4．求变力做功的方法设有一弹簧，假定被压缩0.5cm时需用力1N（牛顿）,现弹簧在外力的作用下被压缩3cm，求外力所做的功.解根据胡克定理，在一定的弹性范围内，将弹簧拉伸（或压缩）所需的力与伸长量（压缩量）成正比，即 =（为弹性系数）按假设当=0.005m时，=1N，代入上式得=2N/m,即有=200,所以取为积分变量，的变化区间为[0，0.03]，功微元为==200,于是弹簧被压缩了3cm时，外力所做的功为===0.09（J）.5．求液体对侧面的压力的方法例5一梯形闸门倒置于水中，两底边的长度分别为，（）,高为，水面与闸门顶齐平，试求闸门上所受的压力.解取坐标系如图所示,则的方程为,取水深为积分变量，的变化区间为[0，]，在[0，]上任取一子区间[，+]，与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强=(为水的比重),小梯形上所受的水压力=()=2（）小梯形上所受的总压力为=2=2=2（）=（）.三、学法建议1．本章的重点是定积分的微元法，利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法，解决一些实际问题，这也是本章的难点.2．首先要弄清楚哪种量可以用积分表达，即用微元法来求它，所求的量必须满足（1）与分布区间有关，且具有可加性；（2）分布不均匀，而部分量可以表示出来.3．用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式，即微元.如面积微元，功微元.微元一般是部分量的线性主部，求它虽有一定规律，可以套用一些公式，但我们不希望死套公式，而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.4．用微元法解决实际问题应注意：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题；（2）取好微元，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部，这关系到结果正确与否的问题.（3）核对的量纲是否与所求总量的量纲一致.第八章常微分方程一、本章学习要求与内容提要（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5．会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6.知道特殊的高阶微分方程（，，）的降阶法.7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.（二）内容提要⒈微分方程的基本概念⑴微分方程的定义①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程.⑵微分方程的阶、解与通解微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.⑶初始条件与特解用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解.⑷独立的任意常数①线性相关与线性无关设是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数，使得对于区间内的任一，恒有成立，则称函数在区间内线性相关，否则称为线性无关.显然，函数线性相关的充分必要条件是在区间内恒为常数.如果不恒为常数，则在区间内线性无关.②独立的任意常数在表达式(,为任意常数)中,,为独立的任意常数的充分必要条件为,线性无关.2.可分离变量的微分方程⑴定义形如的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是的函数，另一个仅是的函数，即分别是变量的已知连续函数.⑵求解方法可分离变量的微分方程的求解方法,一般有如下两步:第一步:分离变量，第二步:两边积分.3.线性微分方程⑴一阶线性微分方程①定义形如.的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中都是的已知连续函数，“线性”是指未知函数和它的导数都是一次的.②求解方法一阶线性微分方程的求解方法,一般有如下两步:第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程所对应的齐次线性微分方程的通解.第二步：设为一阶线性微分方程的解,代入该方程后,求出待定函数.第三步:将代入中,得所求一阶线性微分方程的通解.注意只要一阶线性微分方程是的标准形式,则将代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有,该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程.③一阶线性微分方程的求解公式(其中为任意常数).⑵二阶常系数齐次线性微分方程①定义形如的微分方程（其中均为已知常数，称为二阶常系数齐次线性微分方程.②求解方法求解二阶常系数齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步写出方程的特征方程，第二步求出特征方程的两个特征根,，第三步根据下表给出的三种特征根的不同情形，写出的通解.有两个不同特征实根有两个相同特征实根有一对共轭复根⑶二阶常系数非齐次线性微分方程①定义形如的微分方程（其中均为已知常数），称为二阶常系数非齐次线性微分方程.求解方法求解二阶常系数非齐次线性微分方程,一般分为如下三步:第一步先求出非齐次线性微分方程所对应的齐次线性微分方程方程的通解;第二步根据下表设出非齐次线性微分方程的含待定常数的特解,并将代入非齐次线性微分方程解出待定常数,进而确定非齐次方程的一个特解;第三步写出非齐次线性微分方程的通解.方程的特解的形式表自由项的形式特解的形式的设法 不是特征根 是特征单根 是二重特征根或①令,构造辅助方程=②求出辅助方程的特解③则是方程特解是方程特解注:表中的为已知的次多项式，为待定的次多项式，如（为待定常数）.4.二阶线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数和是齐次线性微分方程的两个解，则函数也是方程的解；且当与线性无关时，就是方程的通解（其中是任意常数）.⑵非齐次线性微分方程解的叠加原理如果函数为非齐次线性微分方程的一个特解，为齐次线性微分方程的通解，则为该非齐次线性微分方程的通解.⑶非齐次线性微分方程解的分离定理如果是方程的解，是方程的解，则是方程的解.5.高阶微分方程的降阶法方程的形式引入的形式降阶后的方程设设则对方程两边逐次积分次，即可得到该方程的通解二、主要解题方法1．一阶微分方程的解法例1求微分方程满足条件的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有，两边积分，得，求积分得，，，，记，得方程的解.可以验证时，，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为（为任意常数）.代入初始条件得，所以特解为.例2求微分方程（1），（2）的通解.（1）解一原方程可化为，令，则，即，两边取积分，积分得，将代入原方程，整理得原方程的通解为（为任意常数）.解二原方程可化为为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程，得其通解为.设为原方程的解，代入原方程，化简得，，所以原方程的通解为，即（为任意常数）.（2）解一原方程对应的齐次方程分离变量，得，，两边积分，得，，，，用常数变易法.设代入原方程，得，，，故原方程的通解为（为任意常数）.解二这里，代入通解的公式得===（为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式，也可直接利用公式）求通解.可降阶的高阶微分方程例3求微分方程的通解.解方程中不显含未知函数，令，，代入原方程，得，，这是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以）=）=）=）=，由此=，=，因此，原方程的通解为=（为任意常数）.例4求微分方程满足初始条件，的特解.解方程不显含，令，，则方程可化为，当时，于是.根据，，知代入上式，得，从而得到，积分得，再由，求得，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为，当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即.二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5求微分方程的通解.解原方程对应的特征方程为，=，当，即或时，特征方程有两个不相等的实根，，故原方程的通解为.当，即或时，特征方程有两个相等的实根，故原方程的通解为.（3）当，即时，特征方程有两个共轭复根，故原方程的通解为.4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例6求微分方程满足初始条件，的特解.解对应齐次方程的特征方程为，特征根．故对应齐次微分方程的通解为.因为是特征方程的单根，所以设特解为，代入原方程得，比较同类项系数得，，从而原方程的特解为，故原方程的通解为，由初始条件时，，得从而，.因此满足初始条件的特解为.例7求微分方程的通解.解对应的齐次微分方程的特征方程，特征根.于是所对应的齐次微分方程通解为．为了求原方程的一个特解,先求（）的特解.由于是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为，代入原方程，化简得,比较同类项系数，得，.所以，方程（）的特解为=,其虚部即为所求原方程的特解.因此原方程通解为.小结在设微分方程的特解时，必须注意把特解设全.如：，那么，而不能设.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.用微分方程解决实际问题的方法例8已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解设所求曲线方程为，为其上任一点，则过点的曲线的切线方程为，由假设，当时，从而上式成为.因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题，的特解.由公式，得=，代入得，故所求曲线方程为.例9一质量为的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉速度成正比，求此质点的运动规律.解设质点的运动规律为.由题意，有（为比例系数）方程变为，齐次方程的特征方程为，，，.故原方程所对应的齐次方程的通解为，因是特征单根，故可设，代入原方程，即得，故，所以原方程的通解,由初始条件得，，因此质点的运动规律为.小结用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主