三角形的内切圆和外接圆

三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆和外接圆xxx公司三角形的内切圆和外接圆文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度三角形外接圆半径的求法及应用方法一：R＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴，∴AB·AC＝AE·AD方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证：2R＝AB/SinC证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.∴AE＝AB/SinE∵∠C＝∠E，SinC＝SinE∴AE＝AB/SinC∴2R＝AB/SinC若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。例1已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作AE⊥BC，垂足为E.设CE＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8∴△ABC外接圆⊙O的半径r为.例2已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。例3已知：如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R.分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，∠CAE＝∠DAB＝90°－60°＝30°CE＝AC＝1，AE＝，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。用方法二例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD)2．即52－MD2＝72－(MD＋3)2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例5如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9)；②B(－1，0)；C(5，0)．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π三角形内切圆半径r的求法1∵S△ABC=1/2(a+b+c)r∴r=2S△ABC/(a+b+c)2Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(为斜边长)．2、三角形的内切圆（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．（2）若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或.3、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．·I·IABACA一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形（2）如右图，I是的内心，则下列式子正确的是（）A、∠BIC=-2∠AB、∠BIC=2∠AC、∠BIC=+∠A/2D、∠BIC=-∠A/2（3）外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则的外心是的。（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则=．（6）圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为．（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．（8）等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是．（9）的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=，则为．例2．如图，△ABC中，I是内心，AI交BC于D，交△ABC的外接圆于E。求证：（1）IE=EC，（2）IE2=ED·EA。AABCEDI例3．如图，已知内接于⊙，AE切⊙于点A，BC∥AE，求证：是等腰三角形AABCOEP例4．已知三边长为6，8，10，则它的内心，外心间的距离为【经典练习】一、选择题1.下列命题中，正确的有（）①圆内接平行四边形是矩形②圆内接菱形是正方形③圆内接梯形是等腰梯形④圆内接矩形是正方形A．1个B．2个C．3个D．4个2.在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=3：5：6，那么∠D=（）A．80°B．90°C．100°D．120°3.如果一个直角三角形的一条直角边等于它的外接圆的半径r，那么此三角形的面积与其外接圆的面积之比为（）A．B．C．D．4.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=110°，则∠BCD=（）A．125°B．110°C．55°D．70°AABCDO图1ABDCO图2ADPBC图35.如图2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=60°，则∠ABC=（）︵A．30°B．60°C．120°D．90°︵6.如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AD上，则∠BPC为（）A．35°B．40°C．45°D．50°7.如图4，中，过点Q、M的圆与PQ、MN分别相交于点E、F，下列结论中正确的有（）①∠EFN=∠Q=∠N；②∠EFN+∠P=180°；③EF=PN=MQ；④∠M=∠FEP。A．1个B．2个C．3个D．4个A．50°B．80°C．100°D．130°OOFNPEQM图4AODCBE图5二、填空题9．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=，∠BOC=。10．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于，其内切圆的直径长为。11．直角三角形的一边为a，它的对角是30°，则此三角形的外接圆的半径是。12．如图6，⊙I切△ABC于D、E、F，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B=。DDABCIEF图6AFCEBDO图7ADBCO图813．如图7，⊙O内切于Rt△ABC，∠C=90°，D、E、F为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC=，∠B=；若AB=2cm，则AC=,△ABC的外接圆半径=，内切圆半径=。14．如图8，若弦AD∥BC，∠BAC=70°，∠ABC=80°，则∠ADC=度，∠ACD=度。15．如图9，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AE⊥CD，若∠ABC=130°，则∠DAE=。BBECDOA图9O图10PBCDA16．如图10，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB与DC的延长线交于P。已知∠A=60°，∠ABC=100°，则∠P=。【大展身手】一、选择题1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形2．下列命题中的假命题是（）A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心3．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形4．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm6．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．A． B． C． D．7．三角形的外心具有的性质是（）A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等C．外心在三角形外 D．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（）A．菱形 B．等腰梯形 C．矩形 D．正方形ADCADCBPQA、1对 B、