电磁场与电磁波：有限差分法

3.6有限差分法基本思想

有限差分法是一种数值方法。其原理是：把求解的区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用网格结点上的离散的数值解代替。用许多个能联系每点的电位与其邻近点的电位的线性方程，组成简单的差分方程组来代替连续场的偏微分方程，得到有规则的分布于所描述场的整个区域的离散点的位函数的数值解。基本思想

hhhh1234故3点的电位为故1点的电位为xy当很h小时，4阶以上的高次项可以忽略不计，得同样地，可得将上面两式相加，得在上式中代入得上式表示任意点的电位等于围绕它的四个点的电位平均值。当用网格将区域划分后，对每一网格点写出类似的式子，就得到方程数与未知电位的网格点数相等的线性方程组。已知的边界条件在离散化后成为边界上节点的已知电位值。拉普拉斯方程的有限差分形式其中，即对于的区域，得到二维迭代法

要计算场域内各结点的值，需利用边界条件，对各点的初值进行迭代。迭代法分为简单迭代法和超松弛法。一、简单迭代法迭代式为二、超松弛法简单迭代在解决问题时收敛速度比较慢，一般来说，实用价值不大。实际中常采用超松弛法，相比之下它有两点重大的改进，其迭代式为：

应用举例有限差分法的应用很广泛，其中，最多的是计算解析无法解决的带电体的电势、电压及电荷分布问题．下面，将分别介绍一些实例．1、GTEM室内的场强分布2、有限长导体棒的电荷分布

GTEM室

吉赫横电磁波小室(GTEM)是一种用于测量电磁兼容和场强实验设备。但是，由于小室形状复杂，理论分析困难，所以在准确度要求较高的计量标准领域的应用进展相对迟缓。被测物所在处的场强到底是多少，以及满足误差要求的空间区域是否仍然能够包容被测物，将直接决定校准的准确度，甚至决定校准方案是否成立。下面将利用有限差分法对场强、电势进行数值模拟，进而对室中放置被测物后的电磁场分布进行分析研究。物理模型的建立

0.9m

1m

GTEM室截面示意图

1.5m

1.2m场强分布三维图由图可以看到，场强值大约在高度为0.9m的地方取得极大值，因为此处正是室内极板所在的位置，且从趋势看，渐渐汇集到了两点，这两点正是极板的两端点。而在极板以外的区域，图象比较平滑，这说明场强在这些区域的分布基本上是均匀的，可视为匀强场。从整体上看，图象以x轴中线为对称轴呈对称分布。板上方的区域的场强要稍高于板下部分，在边缘，场强呈波浪形分布。由此可知，当将其作为实验室测试设备时，待测物应尽量放置于极板下方的空旷区域内，这样待测物才是处于匀强场中，测量结果才是准确，客观的。场强分布平面图左图是场强分布的平面图。因为看起来酷似一张笑脸，故这种图被称为“微笑图”。从图上可看到，在极板两端点处颜色最深，其余部分逐渐变浅，与三维分布图情况一致电势分布三维图由左图可看出，电势也在高度为0.9米处取得最大值，且数值约为22.36伏，这正是极板上所加电势，最大值所在平面的宽度约为1米，这也正是极板的宽度。整体上看，电势从底边开始，向上逐渐递增，在极板处取得最大值，然后开始递减，整个图形也呈中心对称。

电势分布平面图由左图可以看到等位线的分布特点。线间颜色的深浅表示电势值的大小，极板处颜色最深，向外逐渐递减。旁边的颜色条表示颜色以3伏为等级划分。

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有限长导体棒有限长带电导体棒表面的电荷分布情况是一个经典的电学问题.由于解析方法有限,大学物理电磁学部分提及孤立导体表面电荷密度与外表面的曲率有关，还与导体的整体形状以及外电场有关，而并没有这些因素对导体棒产生什么样的影响。下面将利用有限差分法对电势、电荷的数值模拟，讨论导体棒尺寸以及外界带电体对导体棒面电荷分布的影响。孤立导体棒物理模型0V100V导体棒差分边界的确定孤立导体棒电势分布图左图为直径1cm、长20cm的带电导体棒的等电位曲面图底截面图。从图中我们可以看出导体棒周围的等势线在远离棒处近似为椭圆，当逼近棒时，变为棒的截面矩形的形状，而且可以看出电场线在接近导体表面的地方是垂直于导体表面的，向外发散，并且，离棒越近电场线越密.孤立导体棒电荷分布

从图中我们可以看出，导体棒两端的电荷面密度最大，而中央最小，电荷面密度从导体棒两端向中央递减。有限长带电代替棒的面电荷分布并不像很多书上介绍的近似均匀。并且，两导体棒的面电荷分布对比我们也可以看出：即对于相同长度的导体棒，直径越大，导体棒的面电荷分布越小。两带电导体棒物理模型的建立100V0V两带电导体棒的电势平面图导体棒直径为1厘米，长为10厘米，两导体棒的间距为30厘米左边导体棒的电荷分布从图中我们可以明显的看出，当外界存在带电体时，导体棒的面电荷分布不再像孤立导体棒具有对称性，而是发生了变化：靠近另一带电体的一端电荷分布较远离另一带电体的一端电荷分布疏。并且，随着的增加，导体棒的面电荷密度增加，越靠近另一带电导体，面电荷密度减少得越明显。