不定积分解题方法计划及技巧总结计划材料

不定积分解题方法方案及技巧总结方案资料不定积分解题方法方案及技巧总结方案资料不定积分解题方法方案及技巧总结方案资料适用标准文案不定积分解题方法总结纲领：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。可是在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循〞。本文阐述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。重点词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变化多端，但其实不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，其实不是全部相像题型都适用，详细情况仍需要详细分析。1.利用根本公式。〔这就不多说了~〕2.第一类换元法。〔凑微分〕设f(μ)拥有原函数F(μ)。那么f[(x)]'(x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C其中(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，第一要仔细察看被积函数，找寻导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特色时，不如从被积函数中取出局部算式求导、试一试，也许从中能够获得某种启示。如例1、例2：例1：ln(x1)lnxdxx(x1)【解】(ln(x1)lnx)'1111xx(x1)xln(x1)lnxdx(ln(x1)lnx)d(ln(x1)lnx)1(ln(x1)lnx)2Cx(x1)2文档适用标准文案例2：1lnx2dx(xlnx)【解】(xlnx)'1lnx1lnxdxdxlnx1Cx(x1)2(xlnx)2xlnx3.第二类换元法：设x(t)是单一、可导的函数，而且'(t)0.又设f[(t)]'(t)拥有原函数，那么有换元公式f(x)dxf[(t)]'(t)dt第二类换元法主假如针对多种形式的无理根式。常有的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：(1)a2x2：xasint；xacost(2)x2a2：xatant；xacott；xasht(3)x2a2：xasect；xacsct；xacht(4)naxnbtb：ax(5)naxbnaxbtcx：cxdd(6)当被积函数含有xmax2bxc，有时倒代换x1也见效。t〔7〕当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sinxdxtx2tsintdttttdt)2(coscos2tcost2sintC2xcosx2sinxC但当根号内出现高次幂时可能保留根号，文档适用标准文案dxx1t11dtxx121t1t2t1211t6dtt5tt12dt11t1211dt661t121arcsinx6c6〔7〕当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。sinxdxtx2tsintdttttdt)2(coscos2tcost2sintC2xcosx2sinxC但当根号内出现高次幂时可能保留根号，dxx1t11dtxx121t1t2t1211t6dtt5dttt1211t1211dt661t121arcsinx6c64.分部积分法.公式：dd分部积分法采纳迂回的技巧，闪避难点，挑简单积分的局部先做，最后达成不定积分。详细采纳、时，平常鉴于以下两点考虑：〔1〕降低多项式局部的系数〔2〕简化被积函数的种类举两个例子吧~！文档适用标准文案例3：x3arccosxdx1x2【解】察看被积函数，采纳变换tarccosx,那么x3arccosxcos3tt(sint)dt31x2dxsinttcostdtt(sin2t1)dsinttd(1sin3tsint)31tsin3tsint(1sin3tsint)dt331tsin3tsint(1sin2t1)dcost331tsin3tsint2cost1cos3tC3391x32x1(x22)1x2arccosxC933例4：arcsin2xdx【解】arcsin2xdxxsin2xx2arcsinx1dx1x2xarcsinx2arcsinxd1x2xarcsinx21x2arcsinx1x22dx1x2xarcsinx21x2arcsinx2xC上边的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的种类。有时，分部积分会产生循环，最后也可求得不定积分。在dd中，、的采纳有下边简单的规律：(1)，ax,sinax,cosaxPm(x)e(2)，Pm(x)lnx,arctanx,arcsinx(3)eax，cosx,sinx会出现循环，注意，采纳的函数不可以够改变。将以上规律化成一个图就是：文档适用标准文案〔lnxarcsinx〕Pm(x〔a^xsinx)μ)ν可是，当lnx，arcsinx时，是没法求解的。关于〔3〕情况，有两个通用公式：I1eaxsinbxdxeax(asinbxbcosbx)Ca2b2I2axcosbxdxeax(acosbxbsinbx)Cea2b2〔分部积分法用途多多~在本册杂志的?波及lnx的不定积分?中，常能够看到分部积分〕不定积分中三角函数的办理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数1dx上下同乘sinx变形为2xcos2xsin1dxcosxdcosx1cos2x1cosxsinxcosx令ucosx，那么为udu1u21u(2111lncosx41lntan2x1sec2224

11121241u)duu41u1cosx1ccosxxc22.只有三角函数时尽量找寻三角函数之间的关系，注意sin2xcos2x1的使文档适用标准文案用。sinxcosxdx21dx1sinxcosxsinxcosx2sinxcosx1sinxcosx2sin(dx/4)2x1sinxcosx1xc22lntan282三角函数之间都存在着变换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适合的使用三角函数之间的变换能够使解题的思路变得清楚。函数的降次①形如sinmxcosnxdx的积分〔m，n为非负整数〕当m为奇数时，可令ucosx，于是m1sinmxcosnxdxsinm1xcosnxdcosx1u22undu，转变成多项式的积分当n为奇数时，可令usinx，于是mnmn1m2u1sinxcosxdxsinxcosxdsinxu1u2du，相同转变成多项式的积分。当m，n均为偶数时，可频频利用以下三角公式：sinxcosx12x,sin2sin2x1cos2,x2cos2x1cos2x,2不停降低被积函数的幂次，直至化为前两种情况之一为止。文档适用标准文案②形如tannxdx和cotnxdx的积分〔n为正整数〕令utanxdx，那么xarctanu，dxdu，进而u21tannxdxundu1u2,已转变成有理函数的积分。近似地，cotnxdx可经过代换ucotx转为成有理函数的积分。③形如secnxdx和cscmxdx的积分〔n为正整数〕当n为偶数时，假定令utanx，那么xarctanu,dxdu，于是u21secnxdx1tan2nn11n1x2dx1u22u22du1u2du已转变成多项式的积分。近似地，cscnxdx可经过代换ucotx转变成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。xsin2xdxx1cos2xdx1x21xcos2xdx2421x21xdsin2x1x21xsin2x1sin2xdx444441x21xsin2x1cos2xc4485.几种特别种类函数的积分。文档适用标准文案〔1〕有理函数的积分有理函数P(x)先化为多项式和真分式P*(x)之和，再把P*(x)分解为假定干Q(x)Q(x)Q(x)个局部分式之和。〔对各局部分式的办理可能会比较复杂。出现Indx(a2x2)n时，记得用递推公式：Inx2n3〕2(n1)(x2a2)n1In12a2a2(n1)1.有理真分式化为局部分式之和求解①简单的有理真分式的拆分11x3x1x4dxx1x4dxlnx1ln1x4c4②注意分子和分母在形式上的联系dxx6dxtx7dtx3x7x73x7t3t111lntln3t3t3tdtc33lnx7ln3x73c此类题目一般还有其他一种题型：x1dx12x2dxx22x2x22x551lnx22x5c22.注意分母〔分子〕有理化的使用dx2x32x11313x323C2222x32x141212例5：x6x44x22dxx3(x21)2文档适用标准文案x6x44x22x6x44x22x4x22【解】3(x21)2x3(x21)2x3(x21)2x21x3(x21)2xx2xdx1ln(x21)C124x22dx4x22xdx2x21dx2x2x3(x21)24(x21)2x4(x21)2x21d(1)21)22d2(1)22((112)d11C1C2(1)1x2(x21)故不定积分求得。〔2〕三角函数有理式的积分2tanxsinx2xtan21全能公式：2tan2x1cosx2tan2x12P(sinx,cosx)dx可用变换ttanx化为有理函数的积分，但因为计算较烦，Q(sinx,cosx)2应尽量防备。关于只含有tanx〔或cotx〕的分式，必化成sinx或cosx。再用待定系数cosxsinxA(acosxbsinx)B(acos'xbsin'x)来做。〔注：没举例题其实不代表不重要~〕acosxbsinx〔3〕简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。文档适用标准文案像一些简单的，应灵巧运用。如：同时出现x和1x时，可令xtan2t；同时出现x和1x时，可令xsin2t；同时出现1x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1x2和arccosx时，可令x=cost等等。〔4〕擅长利用ex，因为其求导后不变。x1dxexx1dx1dxexx1xexxx1xexx1xexexetxex11dtlntctt1tlnxexc1xex这道题目中第一会注意到xex，因为其形式比较复杂。可是能够发现其求导后为exxex与分母差ex，其他因为ex求导后不变，因此简单想到分子分母同乘以ex。〔5〕某些题正的不可以够倒着来lnsinxdxsinx1u2lnu1dusin2xu11u2u2ulnudulnudu21u21u21lnuu21duuu21duusecytanysecytanydyusecytan2ydytanyyc原式sinxdcotxcotxlnsinxcotxdlnsinxcotxlnsinxcosxcosxsinxsindxxcotxlnsinxcot2xdxcotxlnsinxcotxxc这道题换元的思路比较奇异，一般我们会直接使用usinx，可是这样的文档适用标准文案换元方法是解不出本题的。我归纳此类题的方法为“正的不可以够倒着来〞，当usinx这种一般的换元法行不通时试一试下1sinx。这种思路近似于证明u题中的反证法。〔6〕注意复杂局部求导后的导数lnx2dxtlnxt2dtxlnx12xln2x2tt12te注意到:12t2t3ty6tee1t2t3tet2t3tye22t3ett122ty3tet12t2ett2y1-y23y3t12t2ett22t3tt3t2tdt16te2tedt2tedt312tedt2t3t3t2tt2tett12tet12te2telnt3tt3lntc2telnlnx2lnx3lnxlnx3lnlnxce本题把被积函数拆为三局部：y1